初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式教案设计

14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》教案

一、教学目标

(一)知识与技能：1.理解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解；2.综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.

(二)过程与方法：在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.

(三)情感态度与价值观：感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的体验，进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.

二、教学重点、难点

重点：运用完全平方公式分解因式.

难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.

三、教学过程

课前练习

计算下列各式：

① (x+2)2=____________；        ② (x-2)2=____________；
③ (2x+3y)2=______________；    ④ (2x-3y)2=______________.

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2    (a-b)2=a2-2ab+b2

思考

多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？

完全平方式

    这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式.

完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.

判断下列各式是不是完全平方式.
(1) a2-2ab-b2 (   )         (2) a2+b2-2ab (   )      (3) -6xy+9x2+y2 (   )

(4) a2-6ab+b2 (   )         (5) x2+x+ (   )        (6) m2+4mn+2n2 (   )

    把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就得到运用完全平方公式因式分解：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

例5 分解因式：

(1) 16x2+24x+9   (2) -x2+4xy-4y2

分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即

16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32

             a2  +  2· a ·b + b2

解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2

(2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2

例6 分解因式：

(1) 3ax2+6axy+3ay2     (2) (a+b)2-12(a+b)+36

分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.

解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2

(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2

公式法

    把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分
解因式的方法叫做公式法.

练习

1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？

(1) a2-4a+4    (     )____________________；

(2) 1+4a2      (     )____________________；

(3) 4b2+4b-1   (     )____________________；

(4) a2+ab+b2   (     )____________________.

2.分解因式：

(1) x2+12x+36    (2) -2xy-x2-y2    (3) a2+2a+1

(4) 4x2-4x+1     (5) ax2+2a2x+a3    (6) -3x2+6xy-3y2

解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2

(2)原式= -(x2+2xy+y2)= -(x+y)2

(3)原式=(a+1)2

(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1 =(2x-1)2

(5)原式= a(x2+2ax+a2)= a(x+a)2

(6)原式= -3(x2-2xy+y2)= -3(x-y)2

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

    本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排. 其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.