沪教版数学九年级上册 21.4　二次函数的应用（第1课时） 教案

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第21章　二次函数与反比例函数
21.4　二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决几何图形面积的最值问题
教学目标
1.通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养整体性思想.
2.能通过设置的问题, 概括出用二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学问题的结论,分析是不是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法.
3.体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察、不断反思、主动纠错的能力和乐于思考、认真严谨、细心的好习惯.
教学重难点
重点：利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题.
难点：探究在自变量取值范围内求出实际问题的解.
教学过程
导入新课
二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线型问题和最值问题.而最值问题考试类型有两类:
(1)利润最大问题；
(2)几何图形中的最值问题:面积的最值、用料的最佳方案等.本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题.
【互动】如何求二次函数的最值？
1.当自变量的取值范围是全体实数时，二次函数在顶点的横坐标处取得最值.即当x＝时，y最值＝ .当a＞0时，在顶点的横坐标处取得最小值，此时不存在最大值；当a＜0时，在顶点的横坐标处取得最大值，此时不存在最小值.
2.当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若x＝ 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，则最大值与最小值同时存在.如图(1)，当a＞0时， 最小值在x＝处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；当a＜0时，最大值在x＝处取得，最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值.
(2)若x＝不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数在x＝x1，x＝x2时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图(2).

① ②
(1)　　　　　　　　　　　　　(2)
【活动】例1 分别在下列范围内求函数y＝x2-2x-3的最值.
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，∴该二次函数图象的顶点坐标为(1，-4).
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝-4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，∴在直线x＝1两侧二次函数的图象左右对称，端点处取不到，∴不存在最大值.
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内，而函数y＝x2-2x-3(2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2-2x-3的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时， y最大值＝32-2×3-3＝0；
当x＝2时， y最小值＝22 -2×2-3＝-3.
【探究】几何图形面积的最值.
【思考】(小组合作，老师指导)如何利用二次函数的性质求几何图形面积的最值？
例2 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？


【互动】(引发学生思考，老师指导)写出解题过程.
解：（1）由题意可得△EDC∽△EAF，
∴ ，∴ ，
∴ DE＝，∴ AD＝30-.
(2)矩形的面积S＝x·＝
∴ 当x＝20时，y有最大值，最大值是300.
【总结】1.利用二次函数求几何图形面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
(4)根据函数的表达式及自变量的取值范围求出其最值.
2.易错警示：实际问题中的最大(小)值未必就是抛物线的顶点的纵坐标，最大(小)值的取舍要结合自变量的取值范围.
【探究】(师生互动)下面我们用学到的方法，解决下面的问题.
例3 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x为多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m2)

解： ∵ 7x + 4y +πx＝15,∴ y＝ .
∵0 设窗户的面积是S m2，
则S＝ ＝
＝，
∴ 当x＝≈1.07(m)时，S最大＝≈4.02(m2).
因此，当x约为1.07 m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为 4.02 m2.
例4 〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15 m的墙和长38 m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门.(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数表达式.(2)当BC边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？



【互动】引导学生观察图形，表示出矩形的长和宽，同时也要考虑自变量的限制条件.
解：(1)由题意，得AB＝m，
∴ y＝x·＝x·
由题意知
∴0 (2)y＝＝(x-20)2+200.
∵ a＝<0，0 ∴当x＝15时，y有最大值，y最大值＝(15-20)2+200＝187.5.
答：当BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面积是187.5 m2.

课堂练习
1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A.25 cm2 B.50 cm2
C.100 cm2 D.不确定
2.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为(　　)
A.20 B.40 C.100 D.120
3.如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，从较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在(　　)
A.AD的中点 　　　
B.AE∶ED＝(-1)∶2
C.AE∶ED＝∶1 　　　
D.AE∶ED＝(-1)∶2

4.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成，已知墙长为18 m(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若苗圃园的面积为72 m2，求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有,求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m2时，直接写出x的取值范围.


参考答案
1.B 2.D 3.A
4.解：(1)根据题意，得(30-2x)x＝72，
解得x＝3或x＝12.
∵ 30-2x≤18，∴ x≥6，∴ x＝12.
(2)设苗圃园的面积为y，
∴ y＝x(30-2x)＝-2x2+30x＝
∵ a＝-2<0，
∴ 苗圃园的面积y有最大值，
∴ 当x＝时，平行于墙的一边长为15 m，
又8<15<18，∴ y最大值＝112.5 m 2.
∵ 30-2x≥8，∴ x≤11，∴ 6≤x≤11，

∴ 当x＝11时，y最小值＝88 m 2.
(3)由题意，得-2x2+30x≥100，
又30-2x≤18，解得6≤x≤10.

课堂小结
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题.
布置作业

教材P42第1，2题.
板书设计

利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：


易错警示：
例1

例2

例3
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