培优专题10 等腰三角形的性质与判定-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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◎类型一：巧用三线合一解决问题
性质：
①两腰相等
②两底角相等（简称等边对等角）
③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）
④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。
证明题目中的写法：
①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD
1．（2022·辽宁·本溪市第十二中学八年级阶段练习）等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（ ）
A．8cmB．7cmC．6cmD．4cm
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的定义可得是顶角，再画出图形，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：等腰三角形中，，
是等腰三角形的顶角
由题意画出图形如下：
为的中点
又
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
2．（2022·陕西·西安凤凰城初级中学七年级阶段练习）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
CP+EP的最小值是：8．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______
【答案】15°##15度
【分析】先判断出AD是等边三角形ABC中BC边上的中线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是等边三角形ABC中BC边上的中线，（三线合一）
∴BD=CD=，
∵2ED＝BC，即ED=
∴CD=ED，
∴△CDE是等腰直角三角形
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故答案为：15°.
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，求出是解本题的关键．
4．（2022·江苏·沛县汉城文昌学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为：__________
【答案】2
【分析】根据题意求出FC，根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝CB−BF＝6−2＝4，
∵AB＝CB，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵E为AF的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（2022·浙江省金华市永康中学八年级阶段练习）已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由等腰三角形的性质可证明F为AD的中点，可得EF为△ABD的中位线，可证得结论．
【详解】证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，
∴CF为AD边上的中线，
∴F为AD的中点，
又AE＝EB，
∴E为AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF＝BD．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形中位线定理，利用等腰三角形“三线合一”的性质证得F为AD边的中点，是解题的关键．
◎类型二：等腰三角形的构造
“角平分线+平行线”构造等腰三角形
①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形
②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形
“角平分线+垂线”构造等腰三角形
如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形
“角平分线+中线”构造等腰三角形
如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形
“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示

(5)“平行+等腰”构造等腰三角形
已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线

6．（2019·河北保定师范附属学校八年级期中）如图，在中，，，是边上的两点，且有，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2B．6C．5D．7
【答案】B
【分析】根据等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠DAB=∠ADE－∠B=36°，∠EAC=∠AED－∠C=36°，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴△DAB和△EAC都是等腰三角形，
∵∠B＋∠BEA＋∠BAE=180°，∠C＋∠CDA＋∠CAD=180°，
∴∠BAE=180°－∠B－∠BEA=72°，∠CAD=180°－∠C－∠CDA=72°，
∴∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA，
∴△BAE和△CAD都是等腰三角形，
综上：共有6个等腰三角形．
故选B．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，掌握等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
7．（2019·湖北荆门·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断．
【详解】∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形；
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形；
∴共有3个等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．
8．（2019·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy
中，已知A(3，-4)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有_____个
【答案】4
【分析】此题要分3种情况：①当OA=OP时，②当AO=AP时，P（0，-8），③当PA=PO时，分别计算出P点坐标．
【详解】如图，
∵A（3，-4），
∴AO==5，
当OA=OP时，P（0，5）或（0，-5）；
当AO=AP时，P（0，-8）；
当PA=PO时，P（0，-）．
故答案为4.
【点睛】此题综合考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形的性质，注意分情况考虑．
9．（2022·安徽宿州·八年级期中）如图，，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝________时，△POQ是等腰三角形．
【答案】或10s
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上．
【详解】解：当时，是等腰三角形；
如图1所示：
，
当时，
解得；
当时，是等腰三角形；
如图2所示：
，；
当时，；
解得；
故答案为：或10s．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质得出方程进行求解，注意分类讨论．
10．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
(3)在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长．
【答案】(1)AE=DB，理由见解析
(2)AE=DB，理由见解析
(3)CD=3
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠D＝∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD∠ACB＝30°，然后证∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出结论；
（2）过点E作EFBC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE＝EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出结论；
（3）过点E作EFBC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECF(AAS)，由DB＝EF＝2，BC＝1，即可得出答案．
（1）
解：如图1，
∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEC=120°，
∴∠DEB=120°−90°=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴BD=BE=AE，
即AE=DB．
（2）
解：当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
如图2，过E作EFBC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF(AAS)，
∴BD=EF=AE，即AE=BD，
（3）
解：过点E作EFBC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF＝2，
∵∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°，
∴∠DBE=∠ABC=∠EFC =60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵EFBC，
∴∠ECD=∠CEF，
∴∠D＝∠CEF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF(AAS)，
∴DB＝EF＝2，
∵BC＝1，
∴CD＝BC+DB＝3．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
◎类型三：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）
总结：
11．（2022·湖南娄底·八年级期中）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
【答案】D
【分析】过点D作DG⊥AC于G，先根据等角对等边求出DE=AE=8，再由三角形外角的性质求出∠DEC=30°，即可推出DG=4，由平行线的性质得到∠BAC=30°，可推出∠BAD=∠DAC，再由角平分线的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥AC于G，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEG=∠ADE+∠DAE=30°，AE=DE=8，
∴，
∵DEAB，
∴∠BAC=∠DEG=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=15°，
∴∠BAD=∠DAC，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG=4，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则△AMN的周长为（）
A．13B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】先根据BO平分∠CBA可得∠MBO＝∠OBC，由MNBC可得∠MOB＝∠OBC，进一步得到∠MBO＝∠MOB，即MO＝MB，同理NO＝NC；最后根据三角形的周长公式即可求解．
【详解】解：∵BO平分∠CBA，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MNBC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴MO＝MB，
同理：NO＝NC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝14．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，说明MO＝MB，NO＝NC是解答本题的关键．
13．（2021·湖南株洲·八年级期中）如图所示，在中，，分别是和的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则的周长是_________．
【答案】8
【分析】根据分别是和的平分线，可得∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠BCP，再由PD∥AB，PE∥AC，可得∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，从而得到∠CBP=∠BPD，∠BCP=∠CPE，进而得到PD=BD，PE=CE，即可求解．
【详解】解：∵分别是和的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠BCP，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠CBP=∠BPD，∠BCP=∠CPE，
∴PD=BD，PE=CE，
∴PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC=8cm．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2022·广东·珠海市第九中学三模）如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为_____米．
【答案】25
【分析】由题意可知：，，，，利用三角形外角性质可知，所以，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求出MN．
【详解】解：由题意可知：
，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：25
【点睛】本题考查解直角三角形，所对的直角边等于斜边的一半，三角形外角性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上知识点，求出．
15．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵，CD∥AB，∴．∵，，∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）得∴，∵，，，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
◎类型四：等腰三角形中巧用全等三角形解决问题
16．（2019·山东·肥城市湖屯镇初级中学八年级阶段练习）如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD 交于 E 点，下列结论中正确的有（ ）
①∠DAE=∠CBE ②CE=DE ③△DEA≌△CBE ④△EAB 是等腰三角形．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定解题即可．
【详解】在△ABD和△BAC中
∵∠1=∠2,∠C=∠D,AB=BA,
∴△ABD≌△BAC(AAS),
故∠DAB=∠CBA，AD=BC,
∴△DEA≌△CBE(ASA),
故∠DAE=∠CBE ,CE=DE,AE=BE,
故△EAB是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的基本概念和全等三角形的应用．熟练掌握判定方法是解题关键．
17．（2022·陕西榆林·七年级期末）习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】添加，，∠BEO=∠BOE，不能判断三角形全等，故A，B，D选项不正确，
若添加条件：∠BEO=∠CDO
∵在△EBO和△DCO中，
，
∴△EBO≌△DCO（AAS），
∴∠EBO=∠DCO，
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，掌握以上知识是解题的关键，
18．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图，一张四边形纸片，，，，，且，连接，点在边上，把沿直线对折，使点落在线段上的点处，连接．若点，，在同一条直线上给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______
【答案】①②③
【分析】由，得∠ABE＝∠BED，根据把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，得∠BED＝∠AEB，即可判断①正确；由S△ACE＝S△BCE，得S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF，即可判断②正确；由∠CAE＝∠ABF，AB＝AE，根据AAS可判断③正确；假设BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC，可推得BDBC，可判断④不正确．
【详解】解：∵，
∴∠ABE＝∠BED，
∵把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，
∴∠BED＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，故①正确；
∵，，
∴∠ACD=∠D=90°，
∵AC＝BD，
∴CE•ACCE•BD，即S△ACE＝S△BCE，
∴S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF，
∴S△BEF＝S△ACF，故②正确；
∵BD⊥CD，把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，
∴∠BFE＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠FAB，
∵，
∴，
∴，
∴∠CAE＝90°﹣∠FAB，
∴∠CAE＝∠ABF，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
在△ACE和△BFA中，
，
∴△ACE≌△BFA（AAS），故③正确；
若BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC，
而∠ECB＝∠ABC，∠EBC＝∠EBD，
∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD，
∵∠ABC+∠EBC+∠EBD＝90°，
∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD＝30°，
∴BDBC，但根据已知不能得到BDBC，故④不正确；
综上分析可知，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质、三角形面积、翻折的性质等知识，解题的关键是掌握翻折性质，证明△ACE≌△BFA．
19．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是____________．
【答案】①③或②③
【分析】根据全等三角形和等腰三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】当、时
在和中

∴
∴，
∵，
∴
在和中
∴
∴是等腰三角形，即①③可以证明是等腰三角形；
当、时
在和中

∴
∴，，
∵，
∴
在和中
∴
∴是等腰三角形，即②③可以证明是等腰三角形；
故答案为：①③或②③．
【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
20．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，BD＝CD．
(1)求证：DE＝DF；
(2)判断△ABC的形状并证明．
【答案】(1)见解析
(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF；
（2）根据题意可得∠DEB=∠DFC，BD=CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B=∠C，得AB=AC，进而可以解决问题．
（1）
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF；
（2）
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
21．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，已知，
(1)求证：；
(2)若平分，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得∠A＝∠D，利用SAS证明△ABE≌△DCF即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，进而可得∠BEF＝∠CFE，然后利用角平分线的定义等量代换后可得∠BEF＝∠BFE，求出BE＝BF可得结论．
（1）证明：∵，∴∠A＝∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝CF；
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠CFE＝180°－∠DFC，∴∠BEF＝∠CFE，又∵平分，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．