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数学人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理精品测试题
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这是一份数学人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理精品测试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
2．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知､､是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
4．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若，则“A，B，C，D四点共面”是“，，”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
13．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
16．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
17．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
18．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
三、解答题
19．如图，在三棱柱中，与交于点，试用向量表示向量．
20．若是空间的一个基底，试判断能否作为空间的一个基底.
21．如图，在三棱柱中，M是的中点.，，.将向量､分别表示为､､的线性组合.
22．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
参考答案：
1．C
根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】
项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
本题考查空间向量基本定理.
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得
2．C
结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】
如图，
，
所以，
所以.
故选：C
本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
3．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
4．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
5．A
根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，空间中四点A，B，C，D，若
若A，B，C，D四点共面，根据空间向量的共面定量，只需，
又由，，，可得，
所以“，，”时，A，B，C，D四点共面，即必要性成立，
反之不一定成立，即充分性不成立，
所以“A，B，C，D四点共面”是“，，”的必要不充分条件.
故选：A.
6．A
将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】
连接、，
因为，
因为是线段上一点，且，则，
因此，
因此，.
故选：A.
7．D
运用向量表示出，然后平方计算出结果.
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
故选：D.
本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后求出结果，属于中档题.
8．B
求出和，cos∠AOB和sin∠AOB，根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
||===，
||=，
则cos∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
9．B
将、用、、加以表示，利用空间向量的减法法则可得出关于、、的表达式，由此可求得的值.
【详解】
因为平面，且四边形为矩形，故、、为空间向量的一个基底，
，故，
，则，
因此，，
所以，，，，所以，.
故选：B.
10．C
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
)-()＝．
故选：C．
11．B
举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】
①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
12．B
根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】
在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
13．C
空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面
【详解】
解：，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．
故选：．
本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.
14．D
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
15．A
根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】
由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
本题考查空间向量基本定理，向量共面的条件，求正三棱锥的高，属于中档题.
16．
利用，即可求解．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17．x=，y=，z=．
利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】
∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
18．
根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】
解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
19．
根据空间向量基本定理，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】
解：根据题意：
所以
20．能作为空间的一个基底.
利用反证法，假设共面，再利用共面向量基本定理得到矛盾；
【详解】
假设共面，
则存在实数λ，μ，使得，
即.
∵是空间的一个基底，∴不共面.
∴此方程组无解.
即不存在实数λ，μ，使得，
∴不共面.
故能作为空间的一个基底.
本题考查空间中共面向量基本定理的运用，考查运算求解能力，求解时注意反证法的运用.
21．，.
利用空间向量的线性运算求解.
【详解】
解：；
，
，
.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）证明出、、为共面向量，结合、、有公共点可证得、、、四点共面，同理可证得、、、四点共面；
（2）证得，再由和无公共点可证得．
【详解】
（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，
，，
因为、无公共点，故.
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
2．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知､､是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
4．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若，则“A，B，C，D四点共面”是“，，”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
13．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
16．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
17．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
18．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
三、解答题
19．如图，在三棱柱中，与交于点，试用向量表示向量．
20．若是空间的一个基底，试判断能否作为空间的一个基底.
21．如图，在三棱柱中，M是的中点.，，.将向量､分别表示为､､的线性组合.
22．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
参考答案：
1．C
根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】
项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
本题考查空间向量基本定理.
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得
2．C
结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】
如图，
，
所以，
所以.
故选：C
本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
3．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
4．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
5．A
根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，空间中四点A，B，C，D，若
若A，B，C，D四点共面，根据空间向量的共面定量，只需，
又由，，，可得，
所以“，，”时，A，B，C，D四点共面，即必要性成立，
反之不一定成立，即充分性不成立，
所以“A，B，C，D四点共面”是“，，”的必要不充分条件.
故选：A.
6．A
将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】
连接、，
因为，
因为是线段上一点，且，则，
因此，
因此，.
故选：A.
7．D
运用向量表示出，然后平方计算出结果.
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
故选：D.
本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后求出结果，属于中档题.
8．B
求出和，cos∠AOB和sin∠AOB，根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
||===，
||=，
则cos∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
9．B
将、用、、加以表示，利用空间向量的减法法则可得出关于、、的表达式，由此可求得的值.
【详解】
因为平面，且四边形为矩形，故、、为空间向量的一个基底，
，故，
，则，
因此，，
所以，，，，所以，.
故选：B.
10．C
根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】
)-()＝．
故选：C．
11．B
举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】
①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
12．B
根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】
在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
13．C
空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面
【详解】
解：，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．
故选：．
本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.
14．D
由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】
依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
15．A
根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】
由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
本题考查空间向量基本定理，向量共面的条件，求正三棱锥的高，属于中档题.
16．
利用，即可求解．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17．x=，y=，z=．
利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】
∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
18．
根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】
解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
19．
根据空间向量基本定理，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】
解：根据题意：
所以
20．能作为空间的一个基底.
利用反证法，假设共面，再利用共面向量基本定理得到矛盾；
【详解】
假设共面，
则存在实数λ，μ，使得，
即.
∵是空间的一个基底，∴不共面.
∴此方程组无解.
即不存在实数λ，μ，使得，
∴不共面.
故能作为空间的一个基底.
本题考查空间中共面向量基本定理的运用，考查运算求解能力，求解时注意反证法的运用.
21．，.
利用空间向量的线性运算求解.
【详解】
解：；
，
，
.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）证明出、、为共面向量，结合、、有公共点可证得、、、四点共面，同理可证得、、、四点共面；
（2）证得，再由和无公共点可证得．
【详解】
（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，
，，
因为、无公共点，故.
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