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【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5函数的应用（二）课时练习（含答案解析）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5函数的应用（二）课时练习（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.5函数的应用（二）
一、单选题（共14题）
1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．关于的方程有正实数解的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )
①y＝3x2－2x＋5；②③；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
A．①②③ B．⑤
C．①⑤ D．①④
5．已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线,且有部分对应值如表所示:那么函数一定存在零点的区间是
A． B． C． D．
6．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数,则方程根的个数为
A．3 B．5 C．7 D．9
9．函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的方程的所有根都大于，则实数的取值范围是．
A． B． C． D．
11．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．函数在上不存在零点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
13．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
15．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可知的一个零点的近似值可取为______（误差不超过0.005）．
16．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如下表所示：
1
2
3
4
4.00
5.61
7.00
8.87
若近似符合以下三种函数模型之一：①，②，③.则你认为最适合的函数模型的序号为______.
17．若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________．
18．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________．
三、解答题（共5题）
19．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分字）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中．若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
20．问在什么范围内时，关于的方程的两根在内．
21．设函数f（x）的定义域为I，对于区间，若，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．
（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；
（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；
（3）已知函数在区间[0，＋∞）上的图象连续不断，且在[0，＋∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间．
22．已知函数.
（1）若方程有解，求实数k的取值范围；
（2）当时，证明：在上是增函数.
23．已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．
参考答案
1．D
【详解】
由基本初等函数的性质，可得函数单调递增,而函数的一个零点在区间内，所以由题意可得，解得.故选D.
2．A
【详解】
因为，当时，，故关于的方程有正实数解的充要条件是，所以选项B，C，D都是方程有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，
故选：A.
3．C
【详解】
解：根据二分法，结合表中数据，由于，，
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选：C
4．B
【解析】
由二分法的过程可知，函数零点左右的函数值异号时才可以用二分法求解，
所以①②③④均可.
⑤中y＝x2＋4x＋8=0，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.
5．C
【解析】
由题意可知函数的图像是一条连续不断的曲线，由表知，
，
故函数一定存在零点的区间是
故选
6．C
【详解】
设，则关于的方程等价为，
作出的图象如图：
由图象可知当时，方程有三个根，
当时方程有两个不同的实根，
若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，
则等价为有两个根，一个根，
另外一个根，
不妨设，
对应的两个根为与，与，分别关于对称，
则，
则，且，
则，
则，
故选：C．
7．D
【详解】
由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.78相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，与0.39相差0.01，
当时，和0.78相差0.02；
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
8．C
【详解】
令,先解方程.
（1）当时,则,得；
（2）当时,则,即,解得,.
如下图所示：
直线,,与函数的交点个数为、、,
所以,方程的根的个数为.
故选：C.
9．B
【详解】
设，
作出的图象，
由图象知，，
由，得，
由，得，
则，
∵，∴，
则，
即，
此时，
即的取值范围是，
故选：B.
10．D
【详解】
由化简得，
即，因为方程所有的根都大于，
则满足方程的都大于0，
由韦达定理可得
又因为 ．
故选D
11．D
【详解】
关于的方程有两个不同的实数根，可得有两个实数根，
也就是与有两个交点，在坐标系中画出两个函数的图象，如图：
时，函数的最小值为：，
所以关于的方程有两个不同的实数根，
则实数的取值范围是：．
故选：D．
12．B
【详解】
若函数在上不存在零点，，
当时，或，或，
解得：，
当时，或，解得：，
若时， ，解得：，
综上可知，函数在区间上不存在零点的的取值区间是，
所以函数在区间上不存在零点的充分不必要条件是的真子集，只有B选项是真子集.
故选：B
13．B
【详解】
的定义域为，易得在上单调递增，
又，∴只有一个零点．
若和互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．
∴，解得或．
（1）若，即或时，只有一个零点，
显然当时，，当时，，不符合题意；
（2）若，即或，
①若在上存在1个零点，则，即，
解得，．
②若在上存在2个零点，则，∴．
综上，的取值范围是．
故选：B．
14．D
【详解】
函数恰有4个零点，即方程，
即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
故函数恰有4个零点时，
b的取值范围是故选D．
15．1.55935（答案不唯一）
【详解】
解：因为，，
根据零点存在性定理，可知零点在内，
由二分法可得零点的近似值可取为，
所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．
故答案为：1.55935（答案不唯一）.
16．①.
【详解】
符合条件的是①，
若模型为，则由，得，
即，
此时，，，与已知相差太大，不符合，
若模型为，则是减函数，与已知不符合，
故答案为：①
17．
【解析】
函数f（x）=有三个零点，
即函数y=与y=a的图象有3个交点；
当x＞0时，y=xlnx，y′=lnx+1，
故当lnx+1=0，即x=时，y=xlnx有极小值﹣；
当x≤0时，y=﹣x2﹣2x在x=﹣1时有极大值1；
作函数y=的图象如右图，
由图象可知，
当﹣＜a＜1时，函数y=与y=a的图象有3个交点；
故答案为：（﹣，1）．
18．
【详解】
函数有三个零点等价于与有三个不同的交点
当时，，则
所以在上单调递减，在上单调递增
且，，
从而可得图象如下图所示：
通过图象可知，若与有三个不同的交点，则
故答案为：
19．发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元/分钟．
【详解】
因为，，
当时，每分钟的净收益为
，
当且仅当，即时“”成立；
当时，每分钟的净收益为
，在单调递减，
故时，最大，最大值为24；
综上，时，最大，最大为120元．
即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元/分钟．
20．
【详解】
设，方程的两根均位于内，
等价于的图像与轴的两个交点的横坐标都在内．
所以，解得．
21．（1）证明详见解析；（2）a＞1；（3）证明详见解析.
【详解】
（1）设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）
若f（x1）＋f（x2）＝1，则
所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，
取，，满足定义
所以区间（0，2）是函数的V区间
（2）因为区间[0，a]是函数的V区间，
所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得
因为在[0，a]上单调递减
所以，，
所以，a-1＞0，a＞1
故所求实数a的取值范围为a＞1
（3）因为，，
所以f（x）在上存在零点，
又因为f（0）＝0
所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，
因为函数在区间[0，＋∞）上仅有2个零点，
所以f（x）在[π，＋∞）上不存在零点，
又因为f（π）＜0，所以，f（x）＜0
所以，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2），f（x1）＋f（x2）＜0
即因此不存在，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1
所以区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间．
22．（1）（2）证明见解析
【详解】
解：（1）由题意得方程有解，
∴，
因为函数在上的值域为.
所以k的取值范围为.
（2）证明：当时，，
设，
∵，∴，
∵，，∴，∴
∴，∴，
即在上是增函数.
23．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）设，由可得
，
故
（2）令
故
即，故
即，
故①
当时，，
故有两实根，且不为和
有一根，为
故有三实数根
故有三个零点.
4.5函数的应用（二）
一、单选题（共14题）
1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．关于的方程有正实数解的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )
①y＝3x2－2x＋5；②③；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
A．①②③ B．⑤
C．①⑤ D．①④
5．已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线,且有部分对应值如表所示:那么函数一定存在零点的区间是
A． B． C． D．
6．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数,则方程根的个数为
A．3 B．5 C．7 D．9
9．函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的方程的所有根都大于，则实数的取值范围是．
A． B． C． D．
11．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．函数在上不存在零点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
13．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
15．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可知的一个零点的近似值可取为______（误差不超过0.005）．
16．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如下表所示：
1
2
3
4
4.00
5.61
7.00
8.87
若近似符合以下三种函数模型之一：①，②，③.则你认为最适合的函数模型的序号为______.
17．若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________．
18．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________．
三、解答题（共5题）
19．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分字）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中．若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
20．问在什么范围内时，关于的方程的两根在内．
21．设函数f（x）的定义域为I，对于区间，若，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．
（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；
（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；
（3）已知函数在区间[0，＋∞）上的图象连续不断，且在[0，＋∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间．
22．已知函数.
（1）若方程有解，求实数k的取值范围；
（2）当时，证明：在上是增函数.
23．已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．
参考答案
1．D
【详解】
由基本初等函数的性质，可得函数单调递增,而函数的一个零点在区间内，所以由题意可得，解得.故选D.
2．A
【详解】
因为，当时，，故关于的方程有正实数解的充要条件是，所以选项B，C，D都是方程有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，
故选：A.
3．C
【详解】
解：根据二分法，结合表中数据，由于，，
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选：C
4．B
【解析】
由二分法的过程可知，函数零点左右的函数值异号时才可以用二分法求解，
所以①②③④均可.
⑤中y＝x2＋4x＋8=0，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.
5．C
【解析】
由题意可知函数的图像是一条连续不断的曲线，由表知，
，
故函数一定存在零点的区间是
故选
6．C
【详解】
设，则关于的方程等价为，
作出的图象如图：
由图象可知当时，方程有三个根，
当时方程有两个不同的实根，
若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，
则等价为有两个根，一个根，
另外一个根，
不妨设，
对应的两个根为与，与，分别关于对称，
则，
则，且，
则，
则，
故选：C．
7．D
【详解】
由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.78相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，与0.39相差0.01，
当时，和0.78相差0.02；
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
8．C
【详解】
令,先解方程.
（1）当时,则,得；
（2）当时,则,即,解得,.
如下图所示：
直线,,与函数的交点个数为、、,
所以,方程的根的个数为.
故选：C.
9．B
【详解】
设，
作出的图象，
由图象知，，
由，得，
由，得，
则，
∵，∴，
则，
即，
此时，
即的取值范围是，
故选：B.
10．D
【详解】
由化简得，
即，因为方程所有的根都大于，
则满足方程的都大于0，
由韦达定理可得
又因为 ．
故选D
11．D
【详解】
关于的方程有两个不同的实数根，可得有两个实数根，
也就是与有两个交点，在坐标系中画出两个函数的图象，如图：
时，函数的最小值为：，
所以关于的方程有两个不同的实数根，
则实数的取值范围是：．
故选：D．
12．B
【详解】
若函数在上不存在零点，，
当时，或，或，
解得：，
当时，或，解得：，
若时， ，解得：，
综上可知，函数在区间上不存在零点的的取值区间是，
所以函数在区间上不存在零点的充分不必要条件是的真子集，只有B选项是真子集.
故选：B
13．B
【详解】
的定义域为，易得在上单调递增，
又，∴只有一个零点．
若和互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．
∴，解得或．
（1）若，即或时，只有一个零点，
显然当时，，当时，，不符合题意；
（2）若，即或，
①若在上存在1个零点，则，即，
解得，．
②若在上存在2个零点，则，∴．
综上，的取值范围是．
故选：B．
14．D
【详解】
函数恰有4个零点，即方程，
即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
故函数恰有4个零点时，
b的取值范围是故选D．
15．1.55935（答案不唯一）
【详解】
解：因为，，
根据零点存在性定理，可知零点在内，
由二分法可得零点的近似值可取为，
所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．
故答案为：1.55935（答案不唯一）.
16．①.
【详解】
符合条件的是①，
若模型为，则由，得，
即，
此时，，，与已知相差太大，不符合，
若模型为，则是减函数，与已知不符合，
故答案为：①
17．
【解析】
函数f（x）=有三个零点，
即函数y=与y=a的图象有3个交点；
当x＞0时，y=xlnx，y′=lnx+1，
故当lnx+1=0，即x=时，y=xlnx有极小值﹣；
当x≤0时，y=﹣x2﹣2x在x=﹣1时有极大值1；
作函数y=的图象如右图，
由图象可知，
当﹣＜a＜1时，函数y=与y=a的图象有3个交点；
故答案为：（﹣，1）．
18．
【详解】
函数有三个零点等价于与有三个不同的交点
当时，，则
所以在上单调递减，在上单调递增
且，，
从而可得图象如下图所示：
通过图象可知，若与有三个不同的交点，则
故答案为：
19．发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元/分钟．
【详解】
因为，，
当时，每分钟的净收益为
，
当且仅当，即时“”成立；
当时，每分钟的净收益为
，在单调递减，
故时，最大，最大值为24；
综上，时，最大，最大为120元．
即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元/分钟．
20．
【详解】
设，方程的两根均位于内，
等价于的图像与轴的两个交点的横坐标都在内．
所以，解得．
21．（1）证明详见解析；（2）a＞1；（3）证明详见解析.
【详解】
（1）设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）
若f（x1）＋f（x2）＝1，则
所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，
取，，满足定义
所以区间（0，2）是函数的V区间
（2）因为区间[0，a]是函数的V区间，
所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得
因为在[0，a]上单调递减
所以，，
所以，a-1＞0，a＞1
故所求实数a的取值范围为a＞1
（3）因为，，
所以f（x）在上存在零点，
又因为f（0）＝0
所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，
因为函数在区间[0，＋∞）上仅有2个零点，
所以f（x）在[π，＋∞）上不存在零点，
又因为f（π）＜0，所以，f（x）＜0
所以，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2），f（x1）＋f（x2）＜0
即因此不存在，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1
所以区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间．
22．（1）（2）证明见解析
【详解】
解：（1）由题意得方程有解，
∴，
因为函数在上的值域为.
所以k的取值范围为.
（2）证明：当时，，
设，
∵，∴，
∵，，∴，∴
∴，∴，
即在上是增函数.
23．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）设，由可得
，
故
（2）令
故
即，故
即，
故①
当时，，
故有两实根，且不为和
有一根，为
故有三实数根
故有三个零点.
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