初中数学第一章 勾股定理3 勾股定理的应用精品练习题

1.3《勾股定理的应用》同步练习2

一、选择题

1．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）

A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2

C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22

2．小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ）

A．16m B．20m C．24m D．28m

3．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（　　）

A．13米 B．12米 C．5米 D．米

4．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（    ）

A．              B． 

C． D．

5．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是(          )

A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺

7．某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿(　　)方向航行．

A.西南 B．东北 C．西北 D．东南

8．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    )

A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m

9．如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是（    ）

A．4米 B．5米 C．7米 D．10米

10．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）

A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm

二、填空题

1．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．

2．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长______尺(1丈=10尺).

3．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度______．

4．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．

5．如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行__________米.

6．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为_____cm．

7．如图，某海关缉私艇在点0处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里∕时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里∕时的速度准备在B处迎头拦截．经过_________小时能赶上。

8．如图， 有三条两两相交的公路，从地测得公路的走向是北偏东48°，从地测得公路的走向是北偏西42°，若、、的长分别为12千米，5千米、13千米。如果点是公路上任意一点，则线段的最小值为________________.

9．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．

10．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为_____cm．

三、解答题

1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．

2．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?

3．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题:小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵棕榈树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标.问:这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远?

4．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则等于多少尺？

5．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题:

（1）求PR、PQ的值；

（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)

6．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后，分别位于点Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，请求出“海天”号的航行方向？

7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．

（1）求BC间的距离；

（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

答案

一、选择题

A．C．A.C．A．D．C．C．C．B．

二、填空题

1.  1.3．

2.14.5

3．12米

4.15米

5.10.

6.2．

7.小时．

8.．

9.75．

10.180．

三、解答题

1.解：在中，，米，米，

．

在△中，，米，，

，

，

，

米，

米，

答：小巷的宽度为2.2米．

2.解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA=OB=AD=BC，

设OA=OB=AD=BC=r寸，

则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，

∴AE=（r1）寸，

在Rt△ADE中，

AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，

解得：r=50.5，

∴2r=101（寸），

∴AB=101寸．

3.由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，设EC为x肘尺，BE为（50﹣x）肘尺，

在Rt△ABE和Rt△DEC中，，，

又∵AE=DE，∴，解得：，

答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．

4.设尺，则尺，

由题意得：，

则是直角三角形，

由勾股定理得：，即，

解得，

即尺，

答：等于4尺．

5.（1）PR的长度为:12×1.5=18海里，

PQ的长度为:16×1.5=24海里；

（2）∵

∴，

∵“远航”号向北偏东方向航行，即，

∴，即 “海天”号向北偏西方向航行．

6.由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，

∵182+242=302，

∴△RPQ是直角三角形，

∴∠RPQ=90°，

∵“远航”号沿北偏东60°方向航行，

∴∠RPN=30°，

∴“海天”号沿北偏西30°方向航行.

7.解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．
理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，
72＞70，
∴这辆小汽车超速了．