初中数学北师大版八年级上册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数优质教案设计

第五章   二元一次方程组

5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数

【教学目标】

1.知识目标

1）用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。

      2）归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

2.能力目标

让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实           

世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。

3. 情感目标

在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和

勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。

【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。

【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。

【教学过程】

第一环节  课前热身

1.一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：10ｘ＋ｙ.

2.一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数可表示为：

100ａ＋10ｂ＋ｃ.

3.一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，

则这个三位数可表示为：100ａ＋ｂ.

4. 已知ａ是一个两位数，ｂ是一个三位数。若把ａ放在ｂ的左边，得到一个五位数，则这个五

位数可表示为： 1000ａ＋ｂ.

第二环节  情境引入（学生表演，情景展示）

有一对父子，他们的年龄都是一个两位数。下面是父子两人对话：

    爸爸说: “咱俩的年龄之和才68岁，爸爸还是很年轻的！”

    儿子说:“若把你的年龄写在我的年龄的左边，得到一个四位数；若把你的年龄写在我的年龄的

右边，同样得到一个四位数。”

    爸爸说:“如果这样的话，前一个四位数会比后一个四位数大2178，这样看来爸爸已经很老了！”

    聪明的同学们，听完他们的对话，你认为爸爸是很年轻还是很老呢？你能求出这对父子的年龄

吗？

【分析】

列方程（组）解应用题的关键是找等量关系。本题有两个等量关系：

        1.（父亲年龄）+（儿子年龄）= 68

        2.（前一个四位数）-（后一个四位数）= 2178

解：设爸爸年龄为x岁，儿子年龄为y岁，根据题意得：

　　   x＋y＝68　　　   

（100x+y）－（100y+x）＝ 2178

整理得：   x＋y ＝68     解方程组得：  x = 45

               x-y ＝22                    y = 23

答：爸爸的年龄为45岁，儿子的年龄为23岁。

第三环节  学以致用

一个两位数，它的十位数字与个位数字的和为7.如果将这个两位数的十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数比原两位数小27，求原来的两位数。

【分析】

此数字问题应考虑设间接未知数，即设数位上的数字。

解：设原来两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得：   

x＋y ＝7               解得：   x=5

        10x+y-27＝ 10y+x                y=2

答：原来的两位数为52。

第四环节  例题赏析

例1   甲、乙二人在一环形场地上从 A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇此时乙还需要跑 300米才能跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长。

【分析】

1.行程问题的基本等量关系是：路程=速度×时间

2.环形问题中同向追及问题的等量关系是：快者路程-慢者路程=1圈

解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米。

根据题意，得:   y=2.5x×4-4x     解得：   x=150

                    y=4x+300                 y=900

所以，2.5x=2.5*150=375

答：甲、乙二人的速度分别为375米/分，150米/分，环形场地的周长为900米。

例2  小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况。你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？

12:00是一个两位数，它的两个数字之和为7；

13:00十位与个位数字与12:00所看到的正好颠倒了；

14:00比12:00时看到的两位数中间多了个0．

【分析】

设小明在12:00看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么

相等关系：1. 12:00看到的数，两个数字之和是7，

　　　　　2. 每隔一小时的路程差相等。　　　　　　

解：设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ,根据题意，得:

　　   x＋y＝7　，　　

　    （10y＋x）－（10x＋y）＝ （100x＋y）－（10y＋x）

解方程组：   x＋y ＝7，

（10y＋x）－（10x＋y）＝ （100x＋y）－（10y＋x）.

整理得：  x＋y＝7，     解得：  x = 1

          y＝6x.                y = 6

因此，小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．

提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后根据等量关系列方程。

【小结】

对较复杂的实际问题可以通过列表格的方法帮助理清题中的未知量，已知量之间的数，以便根据等量关系列方程（组）。

第五环节  巩固提高

甲、乙两人分别从相距 30千米的 A，B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙两人的速度吗？

解：设甲的速度为为x千米/时，乙的速度为y千米/时。

   （1）当两人相遇之前相距3千米时，根据题意，得:

         3x＋3y＝30-3                 解得：    x=4

         30-5x＝2(30-5y)                        y=5

(2）当两人相遇之后相距3千米时，根据题意，得:

         3x＋3y＝30+3                 解得：    x=

         30-5x＝2(30-5y)                        y=

综上，甲的速度为 4千米/时，乙的速度为 5千米/时；或甲的速度为千米/时，乙的速度为   千米/时。

【小结】

解有关行程问题的应用题时，要注意分类讨论的数学思想。

第六环节  能力升华

你愿意当一次编题小老师吗？   

请以小组为单位开展讨论，根据实际背景编一道应用题，使得其中的未知数满足方程组：

x+y=3600

=50   试试看，比比谁做得更好！

第七环节  课堂小结

通过本节课的学习你有什么收获？

1. 关于数字问题的应用题，一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列方程(组)。   

2.对较复杂的实际问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量，已知量之间的数，以便根据等量关系列方程（组）。

3.解有关行程问题的应用题时，要注意分类讨论的数学思想。

4.用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

①审清题意； ②找出等量关系； ③设未知数x,y；  ④列出二元一次方程组；     

⑤解方程组； ⑥检验； ⑦作答。

第八环节  课后作业

A组：

1）小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另

一个加数的后面多写一个0，所得和是341，求原来的两个加数分别是多少?

 2）甲、乙两人相距42km，如果两人从两地相向而行，2小时后相遇，如果二人同时从两地出发，

同向而行，14小时后乙追上甲，求二人的速度。

3）汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？

B组：

1）一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？

2）A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？

3）儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？