北师大版八年级上册1 函数优秀教学设计

4．2　一次函数与正比例函数

1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)

2．掌握正比例函数的概念．(重点)

一、情境导入

生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min……

那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？

二、合作探究

探究点一：一次函数与正比例函数

【类型一】 一次函数与正比例函数的识别

下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

(1)y＝－x－4;  　　　　(2)y＝5x2－6；

(3)y＝2πx;  　　　　(4)y＝－；

(5)y＝；  　　　　(6)y＝8x2＋x(1－8x)．

解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)的形式，如果x的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b＝0，那么它是正比例函数．

解：(1)是一次函数，不是正比例函数；

(2)不是一次函数，也不是正比例函数；

(3)是一次函数，也是正比例函数；

(4)是一次函数，也是正比例函数；

(5)不是一次函数，也不是正比例函数；

(6)是一次函数，也是正比例函数．

方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．

【类型二】 根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值

已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.

(1)若它是一次函数，求m的值；

(2)若它是正比例函数，求m的值．

解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x的指数m2－24＝1，且一次项系数m－5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m＋1＝0这个条件．

解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．

(2)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．

方法总结：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．

探究点二：一次函数关系式的确定

某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：

煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．

(1)写出m与x的关系式；

(2)写出y与x的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)

解析：(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x变化时，那么乙产品的产量m将随之变化，m和x是动态变化的两个量；(2)题目中的等量关系为总利润y＝甲产品的利润＋乙产品的利润．

解：(1)因为4m＋10x＝300，所以m＝.

(2)生产1吨甲产品获利为4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利为5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y＝600x＋1000m.将m＝代入，得y＝600x＋1000×，即y＝－1900x＋75000.

方法总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．

三、板书设计

 一次函数

 经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．