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第14讲 反比例函数k的几何意义专题训练36题-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
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第14讲 反比例函数k的几何意义专题训练36题
【知识点睛】
【类题训练】
1．反比例函数y＝的图象如图所示，点A是其图象上的一点，AB⊥x轴，已知△AOB的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣12 D．12
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝6，
∴|k|＝12，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣12．
故选：C．
2．点P在反比例函数的图象上，PA垂直于x轴，垂足为A，PB垂直于y轴，垂足为B．则矩形OAPB的面积是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】设点P的坐标为（a，b），可求得PA＝|b|，PB＝|a|，再根据矩形的面积公式，即可求解．
【解答】解：设点P的坐标为（a，b），
则PA＝|b|，PB＝|a|，
把点P的坐标代入函数解析式，得：ab＝6，
∴矩形OAPB的面积是：PA⋅PB＝|b|⋅|a|＝|ab|＝6，
故选：C．
3．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣6 C．6 D．﹣3
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝3，
而S△OAB＝|k|，
∴＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：B．
4．如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求出S1+S2．
【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，
∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．
故选：B．
5．如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】由BC⊥y轴，推△ABC的面积等于△OBC的面积，因为△OBC的面积为（），根据已知求出面积．
【解答】解：连接OA、OB，
∵BC⊥y轴，
∴△ABC的面积等于△OBC的面积，
∵△OBC的面积：＝3，
∴△ABC的面积为：3．
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形OABC的面积是3，则a﹣b的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】利用△BOD和△AOD的面积差等于平行四边形面积的一半，求出b与a的差．
【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OB，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥x轴，即AD⊥y轴
由反比例的几何意义得，
S△AOD＝，S△BOD＝，
∵平行四边形OABC的面积是3，
∴△AOB的面积为，
∴，
∴b﹣a＝3，
∴a﹣b＝﹣3，
故选：B．
7．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形OABC于点C，交平行四边形的对角线OB于点M（4，2），点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形OABC的面积是24，则点B的坐标为（ ）
A．（6，3） B． C．（8，4） D．
【分析】先求出反比例函数解析式为，再求出直线OB的解析式为，设B（2m，m），则，则，由平行四边形OABC的面积是24，得到，解得m＝4，则B（8，4）．
【解答】解：把点M（4，2）代入到反比例函数解析式中得，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为；
设直线OB的解析式为y＝k1x，
∴4＝2k1，
∴，
∴直线OB的解析式为，
设B（2m，m），则，
∴，
∵平行四边形OABC的面积是24，
∴，
∴m2＝16，
解得m＝4（负值舍去），
∴B（8，4），
故选：C．
8．如图，四边形OABC是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线OB，CA交于点D．双曲线经过点D与边BC，AB分别交于点E，点F，连接DE，DF，若四边形BEDF的面积为5，则k的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】设点D的坐标为，则，，，根据四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设点D的坐标为，
∵点D为矩形对角线OB，CA的交点，
∴点D为对角线OB的中点，
∴，
∵四边形OABC为矩形，
∴点F的横坐标为2a，E点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC、边BC交于点E，F，连接AF．若点E为AC的中点，则△ACF的面积为（ ）
A． B．1 C． D．3
【分析】设D（m，），根据已知条件表示出点E（2m，），点F（3m，），易得CF＝，AB＝2m，根据三角形面积公式即可得到S△ACF＝＝＝．
【解答】解：设D（m，），
∵ABCD是矩形，且点E为AC的中点，
∴E点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得x＝2m，
∴E（2m，），
∴B点横坐标为3m，
∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式，
得y＝，
∴F（3m，），
∴CF＝﹣＝，
∵AB＝3m﹣m＝2m，
∴S△ACF＝＝＝，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且A（﹣6，0），S矩形OABC＝24．反比例函数的图象与边AB，BC交于点D，E，连接DE，DC，则当△DCE的面积最大时，k的值为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．﹣6 D．﹣4
【分析】根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
【解答】解：∵A（﹣6，0），S矩形OABC＝24，
∴OA＝6，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
∴D（﹣6，），E（，4），
∴CE＝﹣，BD＝4+，
∴S△DCE＝CE•BD＝•（﹣）（+4）＝﹣k2﹣k＝﹣（k+12）2+3，
∴当k＝﹣12时，△ADE的面积最大．
故选：B．
11．如图，P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点M，N，则△PMN的面积为（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．2.4
【分析】设P（m，），根据题意得到N（m，），M（，），即可求得PM＝m﹣m＝m，PN＝﹣＝，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：设P（m，），则N（m，），M（，），
∴PM＝m﹣m＝m，PN＝﹣＝，
∴△PMN的面积为：＝＝1．
故选：A．
12．如图，点A，B是反比例函数图象第二象限上的两点，射线AB交x轴于点C，且B恰好为AC中点，过点B作y轴的平行线，交射线OA于点D，若△DAB的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣10
【分析】根据三角形的面积公式S△BDC＝S△BDA＝6，CF＝EF，，求出，再根据点B在反比例函数的图象上，点A是OD的中点，列出，进而求出的值．
【解答】解：DB的延长线交OC于F，过点A作AE⊥OC于E，则BF∥AE，
∵由已知条件可知，点B是AC的中点，
∴S△BDC＝S△BDA＝6，CF＝EF，，
设点，即OE＝﹣a，，
∴，
又∵点B在函数的图象上，
∴OE•AE＝OF•BF，
∴OF＝﹣2a，
∴OE＝EF＝CF＝﹣a，
∴由题意可知，点A是OD的中点，
∴S△AOC＝S△ADC＝12，
∴，
∵k＜0，
∴k＝﹣8，
故选：C．
13．如图已知反比例函数C1：的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣1
【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，
∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，
设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，
过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，
∵MN＝ON，
∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，
∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，
∵k＜0，
∴k＝﹣．
故选：B．
14．如图，在反比例函数的图象上有点P1，P2，P3，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据点P1，P2，P3在反比例函数上得到，，P3（k，1），再根据，求出k值，再根据求解即可．
【解答】解：把y＝1代入，得y＝k，
∴P3（k，1），
同理可得，，
∵，
∴k＝6
∴，
故选：B．
15．如图，反比例函数与矩形OABC一边交于点E，且点E为线段AB中点，若△ODE的面积为3，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），则D（a，），
∵E为AB的中点，
∴E（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODE＝S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△OCD﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝3，
∴ab﹣k﹣k﹣ab+k＝3，
解得：k＝4，
故选：D．
16．如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为点D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是3，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的性质可得S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，进而可得S△ABD＝S△OBD，根据点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝3，进而即可求解．
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝3，
∴S△OBD＝3＝|k|，
∴k＝±6，
∵双曲线经过第一象限，
∴k＝6．
故选：B．
17．如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数的图象上，若▱ABCD的面积是20，则k的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到△ABC的面积＝×▱ABCD的面积＝20＝10，AO＝CO，于是得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的面积是20，
∴△ABC的面积＝×▱ABCD的面积＝20＝10，AO＝CO，
∵AB∥x轴，
∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝10，
故选：A．
18．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P（x，y），我们把点P′（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．若直线y＝﹣2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A'和B'均在反比例函数y＝上，则△OAB的面积为 ．
【分析】设A（a，﹣2a+1），则A′（﹣a+1，3a﹣1），根据k＝xy可列方程，根据根与系数的关系得到a1+a2＝，a1a2＝﹣，进一步求得a2﹣a1．利用S△OAB＝S△AOD+S△BOD求得即可．
【解答】解：设A（a，﹣2a+1），则A′（﹣a+1，3a﹣1），
∵点A′在反比例函数y＝上，
∴（﹣a+1）（3a﹣1）＝﹣3，
整理得3a2﹣4a﹣2＝0，
∴a1+a2＝，a1a2＝﹣，
∴a2﹣a1＝＝＝，
在直线y＝﹣2x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∴S△OAB＝S△AOD+S△BOD＝＝．
故答案为：．
19．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴上，AO＝AB，若△OAB的面积为3，则k的值为 3 ．
【分析】过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），可得出xy＝k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），
∵OA＝AB，
∴OC＝BC，
∴点B（2x，0），
∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴xy＝k，
∵△OAB的面积为3，
∴OB•AC＝3，
即×2x×y＝3，
∴xy＝3，
即k＝3．
故答案为：3．
20．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数的图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△AOB的面积为4，则m+n＝ ﹣16 ．
【分析】由△OAB的面积为4，可求出△OBC的面积为1，进而求出△OAC的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出m，n，进而得出答案．
【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝4，S△BOC＝BC•OC，AC＝3BC，
∴AB＝2BC，
∴S△BOC＝2，
∴S△AOC＝4+2＝6，
又∵|m|＝6，|n|＝2，m＜0，n＜0，
∴m＝﹣12，n＝﹣4，
∴m+n＝﹣12﹣4＝﹣16，
故答案为：﹣16．
21．如图，反比例函数的图象与Rt△BOC的斜边OB交于点A，与边BC交于点D，若，且S△BOD＝21，则k＝ 8 ．
【分析】先设A点的坐标，然后利用求出点B的坐标，再求点D的坐标，从而得到CD和BD的长度，进而得到△COD和△BDO的面积比，最后求出△COD的面即，求出k的值．
【解答】解：设A（2a，），
∵＝，
∴＝，
∴B（5a，），
∵BC⊥x轴，点D在反比例函数的图象上，
∴D（5a，），S△COD＝|k|，
∴CD＝，BD＝﹣＝，
∴＝＝＝，
∵S△BOD＝21，
∴S△COD＝4，
∴|k|＝4，
∴k＝8或k＝﹣8（舍去），
故答案为：8．
22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会 逐渐减小 ．（填“逐渐增大”或“不变”或“逐渐减小”）
【分析】由双曲线y＝（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．
【解答】解：如图，连接OP，过点P作PC⊥x轴于点C，
设P（m，），则S△POB＝，PC＝，
∴S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝+OA•＝+OA•，
∵点A是x轴正半轴上的一个定点，即OA是定值，
∴当m逐渐增大时，逐渐减小，即S四边形OAPB逐渐减小．
故答案为：逐渐减小．
23．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则AB的长是 2 ．
【分析】过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【解答】解：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE＝AE＝CE，
设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，
设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），
∵B，C在反比例函数的图象上，
∴x（x+2a）＝（x+a）（x+a），
解得x＝2a，
∵S△OAB＝AB•DE＝•2a•x＝6，
∴2a2＝6，
∴a＝，
∴AB＝2a＝2．
故答案为：2．
24．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AB∥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B．若△AOB的面积为2，则m的值为 2 ．
【分析】设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得△AOC的面积＝3，△COB的面积＝，从而求出结果．
【解答】解：延长AB交x轴于点C，
根据反比例函数k的几何意义可知：AOC的面积＝×6＝3，△COB的面积＝m，
∴△AOB的面积为3﹣，
∴3﹣＝2，
得m＝2．
故答案为：2．
25．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC•OB＝40．若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得S△OAC＝S菱形OABC＝10，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得S△OCE即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵AC•OB＝40，
∴S菱形OABC＝AC•OB＝20，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝10，
∴OA•CG＝10，
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OGC中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴OG＝＝＝3，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
又∵D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数图象上，
∴E的横坐标为＝﹣2，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴S△OCE＝CE•CG＝×1×4＝2，
故选：B．
26．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝ ﹣3 ．
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCN＝k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
27．如图，在面积为12的矩形ABCD中，边BC落在x轴上，反比例函数0）的图象经过点A交CD于点H，且DH＝3CH，则k的值为 4 ．
【分析】设AB＝a，则点A的坐标是（，a），根据矩形的性质结合DH＝4CH，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得出H（，），根据矩形的面积即可得出（﹣）•a＝12，即可求出k＝4．
【解答】解：设AB＝a，则点A的坐标是（，a），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝a，
∵DH＝3CH，
∴H（，），
∵矩形ABCD的面积为12，
∴（﹣）•a＝12，
∴k＝4，
故答案为：4．
28．如图，△ABO中，AO＝2AB，点C为AO中点，BC的延长线交y轴于点E，BE∥x轴，过点A作AD⊥BE，垂足为点D，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为 8 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得出点D是BC的中点，进而得出S△ACD＝S△ABD，再根据全等三角形的判定可得△OCE≌△ACD，即S△ACD＝S△OCE，进而得出阴影部分的面积等于S△BOE＝4＝|k|即可．
【解答】解：∵C是OA的中点，
∴OC＝AC，
又∵OA＝2AB，
∴OC＝AC＝AB，
∵AD⊥BE，
∴CD＝BD，
∴S△ACD＝S△ABD，
在△OCE和△ACD中，
∵OC＝AC，∠OEC＝∠ADC＝90°，∠OCE＝∠ACD，
∴△OCE≌△ACD（AAS），
∴S△ACD＝S△OCE，
∵阴影部分的面积为4，
即S△OBC+S△ABD＝4，
∴S△OBC+S△OCE＝S△BOE＝4＝|k|，
∵k＞0，
∴k＝8，
故答案为：8．
29．如图，将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到曲线C2，点A是曲线C2上的一点，点B在直线y＝x上，连接AB、OA，若AB＝OA，则△AOB的面积为 6 ．
【分析】将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【解答】解：若将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，
则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，
∴旋转后点A落在曲线C1上，点B落在x轴上，
设点A，B的对应点分别是A'，B'，
过点A'作A′D⊥x轴于点D，连接OA'，A'B'．
∵AB＝OA，
∴A'B'＝OA'，
∴B'D＝DO，
∴S△AOB＝S△A′OB′＝2S△OA′D＝2×＝6；
故答案为：6．
30．如图，函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，则四边形ODBC的面积为 6 ．
【分析】根据反比例函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，可得到点D是AB的中点，进而得出S△AOD＝S四边形OCBD＝2，即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
设OA＝BC＝a．AB＝OC＝b，
∵函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，
∴E（b，a），
设D（x，a），
∵函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，
∴S△AOD＝S△OEC，
∴a•x＝，
∴x＝b，
∴AD＝B，
∴点D是AB的中点，
∴S△AOD＝S四边形OCBD＝4＝2，
∴四边形ODBC的面积为6
故答案为：6．
31．如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数为①，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合题意，舍去），x＝2，
∴C为（2，2）．
（2）将x＝4代入，
得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∵点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为（2，2），
∴由图象得1≤b≤2．
32．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值．
条件①四边形OCED的面积为2；
条件②BE＝2AE．
【分析】（1）根据反比例函数的性质即可得y1＞y2，再将点A（﹣2，y1），（B（﹣6，y2）代入反比例函数的解析式分别求出y1、y2的值，由此即可加以验证；
（2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得OD⋅OC＝2，再根据点A，B的坐标可得OC＝2，OD＝y2，从而可得y2＝1，B（﹣6，1），利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，再根据矩形的判定与性质可得DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，从而可得BE＝4，AE＝2，代入可得y1﹣y2＝2，然后根据即可得．
【解答】解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，
所以y1＞y2；
验证如下：
当x＝﹣6时，；
当x＝﹣2时，，
∵，k＜0，
∴y1﹣y2＞0即y1＞y2．
（2）选择条件①四边形OCED的面积为2，求解如下：
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OD⋅OC＝2，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，OD＝y2，
解得y2＝1，
∴B（﹣6，1），
将点B（﹣6，1）代入得：
k＝﹣6×1＝﹣6．
选择条件②BE＝2AE，求解如下：
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
∴，
又∵AE＝AC﹣CE＝y1﹣y2，
∴y1﹣y2＝2，
由（1）可知，，
∴，
解得k＝﹣6．
33．如图，已知在平面直角坐标系中，点B（6，8）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB向右平移，得到△O′A′B′，O′B′交双曲线于点C（3a，a）．
（1）k＝ 48 ，a＝ 4 ；
（2）求△OAB向右平移的距离；
（3）连接BC，OC，则△OBC的面积为 36 ．
【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，进而把点C （3a，a）代入，即可求得a的值；
（2）作CM⊥x轴于M，根据C的坐标，得到CM＝4，由于A′B′＝AB＝8，即可证得C为O′B′的中点，从而求得A′M＝3，即可得到A′的坐标，根据A的坐标即可求得平移的距离；
（3）根据S△BOC＝S△AOB+S梯形ABCM﹣S△COM＝S梯形ABCM求得即可．
【解答】解：（1）∵点B坐标是（6，8），点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝6×8＝48，
∴反比例函数为y＝，
∵双曲线经过点C （3a，a）．
∴a＝，
解得a＝4（负数舍去）；
故答案为：48，4；
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M，
∵a＝4，
∴C（12，4），
∴OM＝12，CM＝4，
∵点B坐标是（6，8），BA⊥x轴于点A，
∴A（6，0），O′A′＝OA＝6，A′B′＝AB＝8，
∴C是O′B′的中点，
∴A′M＝3，
∴A′（15，0），
∴OO'＝15﹣6＝9，
∴△OAB向右平移到△O′A′B′的距离为9；
（3）∵BA⊥x轴于点A，CM⊥x轴于M，
∴S△AOB＝S△COM＝|k|，
∴S△BOC＝S△AOB+S梯形ABCM﹣S△COM＝S梯形ABCM，
∴S△BOC＝（4+8）×6＝36．
故答案为：36．
34．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC
⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）当E的坐标为（﹣2，0）时，求点B的坐标；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2＝，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝，
由一可知点C（0，2），E（﹣2，0），
∴设直线EC的解析式为y＝kx+b．将C（0，2），E（﹣2，0）代入，
得：，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2．
∴x+2＝，解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
当x＝2时，y＝4，
∴B点的坐标为（2，4）；
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y＝中，得：6＝，
解得：x＝，
∴B（，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x＝，
∴E（，0），
∴DE＝﹣（）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED＝（AC+DE）•OC＝×（4+2）×2＝6．
第14讲 反比例函数k的几何意义专题训练36题
【知识点睛】
【类题训练】
1．反比例函数y＝的图象如图所示，点A是其图象上的一点，AB⊥x轴，已知△AOB的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣12 D．12
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝6，
∴|k|＝12，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣12．
故选：C．
2．点P在反比例函数的图象上，PA垂直于x轴，垂足为A，PB垂直于y轴，垂足为B．则矩形OAPB的面积是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】设点P的坐标为（a，b），可求得PA＝|b|，PB＝|a|，再根据矩形的面积公式，即可求解．
【解答】解：设点P的坐标为（a，b），
则PA＝|b|，PB＝|a|，
把点P的坐标代入函数解析式，得：ab＝6，
∴矩形OAPB的面积是：PA⋅PB＝|b|⋅|a|＝|ab|＝6，
故选：C．
3．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣6 C．6 D．﹣3
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝3，
而S△OAB＝|k|，
∴＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：B．
4．如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求出S1+S2．
【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，
∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．
故选：B．
5．如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】由BC⊥y轴，推△ABC的面积等于△OBC的面积，因为△OBC的面积为（），根据已知求出面积．
【解答】解：连接OA、OB，
∵BC⊥y轴，
∴△ABC的面积等于△OBC的面积，
∵△OBC的面积：＝3，
∴△ABC的面积为：3．
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形OABC的面积是3，则a﹣b的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】利用△BOD和△AOD的面积差等于平行四边形面积的一半，求出b与a的差．
【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OB，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥x轴，即AD⊥y轴
由反比例的几何意义得，
S△AOD＝，S△BOD＝，
∵平行四边形OABC的面积是3，
∴△AOB的面积为，
∴，
∴b﹣a＝3，
∴a﹣b＝﹣3，
故选：B．
7．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形OABC于点C，交平行四边形的对角线OB于点M（4，2），点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形OABC的面积是24，则点B的坐标为（ ）
A．（6，3） B． C．（8，4） D．
【分析】先求出反比例函数解析式为，再求出直线OB的解析式为，设B（2m，m），则，则，由平行四边形OABC的面积是24，得到，解得m＝4，则B（8，4）．
【解答】解：把点M（4，2）代入到反比例函数解析式中得，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为；
设直线OB的解析式为y＝k1x，
∴4＝2k1，
∴，
∴直线OB的解析式为，
设B（2m，m），则，
∴，
∵平行四边形OABC的面积是24，
∴，
∴m2＝16，
解得m＝4（负值舍去），
∴B（8，4），
故选：C．
8．如图，四边形OABC是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线OB，CA交于点D．双曲线经过点D与边BC，AB分别交于点E，点F，连接DE，DF，若四边形BEDF的面积为5，则k的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】设点D的坐标为，则，，，根据四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设点D的坐标为，
∵点D为矩形对角线OB，CA的交点，
∴点D为对角线OB的中点，
∴，
∵四边形OABC为矩形，
∴点F的横坐标为2a，E点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC、边BC交于点E，F，连接AF．若点E为AC的中点，则△ACF的面积为（ ）
A． B．1 C． D．3
【分析】设D（m，），根据已知条件表示出点E（2m，），点F（3m，），易得CF＝，AB＝2m，根据三角形面积公式即可得到S△ACF＝＝＝．
【解答】解：设D（m，），
∵ABCD是矩形，且点E为AC的中点，
∴E点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得x＝2m，
∴E（2m，），
∴B点横坐标为3m，
∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式，
得y＝，
∴F（3m，），
∴CF＝﹣＝，
∵AB＝3m﹣m＝2m，
∴S△ACF＝＝＝，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且A（﹣6，0），S矩形OABC＝24．反比例函数的图象与边AB，BC交于点D，E，连接DE，DC，则当△DCE的面积最大时，k的值为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．﹣6 D．﹣4
【分析】根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
【解答】解：∵A（﹣6，0），S矩形OABC＝24，
∴OA＝6，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
∴D（﹣6，），E（，4），
∴CE＝﹣，BD＝4+，
∴S△DCE＝CE•BD＝•（﹣）（+4）＝﹣k2﹣k＝﹣（k+12）2+3，
∴当k＝﹣12时，△ADE的面积最大．
故选：B．
11．如图，P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数y2＝（x＞0）的图象于点M，N，则△PMN的面积为（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．2.4
【分析】设P（m，），根据题意得到N（m，），M（，），即可求得PM＝m﹣m＝m，PN＝﹣＝，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：设P（m，），则N（m，），M（，），
∴PM＝m﹣m＝m，PN＝﹣＝，
∴△PMN的面积为：＝＝1．
故选：A．
12．如图，点A，B是反比例函数图象第二象限上的两点，射线AB交x轴于点C，且B恰好为AC中点，过点B作y轴的平行线，交射线OA于点D，若△DAB的面积为6，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣10
【分析】根据三角形的面积公式S△BDC＝S△BDA＝6，CF＝EF，，求出，再根据点B在反比例函数的图象上，点A是OD的中点，列出，进而求出的值．
【解答】解：DB的延长线交OC于F，过点A作AE⊥OC于E，则BF∥AE，
∵由已知条件可知，点B是AC的中点，
∴S△BDC＝S△BDA＝6，CF＝EF，，
设点，即OE＝﹣a，，
∴，
又∵点B在函数的图象上，
∴OE•AE＝OF•BF，
∴OF＝﹣2a，
∴OE＝EF＝CF＝﹣a，
∴由题意可知，点A是OD的中点，
∴S△AOC＝S△ADC＝12，
∴，
∵k＜0，
∴k＝﹣8，
故选：C．
13．如图已知反比例函数C1：的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣1
【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，
∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，
设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，
过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，
∵MN＝ON，
∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，
∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，
∵k＜0，
∴k＝﹣．
故选：B．
14．如图，在反比例函数的图象上有点P1，P2，P3，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据点P1，P2，P3在反比例函数上得到，，P3（k，1），再根据，求出k值，再根据求解即可．
【解答】解：把y＝1代入，得y＝k，
∴P3（k，1），
同理可得，，
∵，
∴k＝6
∴，
故选：B．
15．如图，反比例函数与矩形OABC一边交于点E，且点E为线段AB中点，若△ODE的面积为3，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），则D（a，），
∵E为AB的中点，
∴E（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODE＝S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△OCD﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝3，
∴ab﹣k﹣k﹣ab+k＝3，
解得：k＝4，
故选：D．
16．如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为点D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是3，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的性质可得S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，进而可得S△ABD＝S△OBD，根据点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝3，进而即可求解．
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线上，BD⊥y轴，S△ABD＝3，
∴S△OBD＝3＝|k|，
∴k＝±6，
∵双曲线经过第一象限，
∴k＝6．
故选：B．
17．如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数的图象上，若▱ABCD的面积是20，则k的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到△ABC的面积＝×▱ABCD的面积＝20＝10，AO＝CO，于是得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的面积是20，
∴△ABC的面积＝×▱ABCD的面积＝20＝10，AO＝CO，
∵AB∥x轴，
∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝10，
故选：A．
18．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P（x，y），我们把点P′（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．若直线y＝﹣2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A'和B'均在反比例函数y＝上，则△OAB的面积为 ．
【分析】设A（a，﹣2a+1），则A′（﹣a+1，3a﹣1），根据k＝xy可列方程，根据根与系数的关系得到a1+a2＝，a1a2＝﹣，进一步求得a2﹣a1．利用S△OAB＝S△AOD+S△BOD求得即可．
【解答】解：设A（a，﹣2a+1），则A′（﹣a+1，3a﹣1），
∵点A′在反比例函数y＝上，
∴（﹣a+1）（3a﹣1）＝﹣3，
整理得3a2﹣4a﹣2＝0，
∴a1+a2＝，a1a2＝﹣，
∴a2﹣a1＝＝＝，
在直线y＝﹣2x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∴S△OAB＝S△AOD+S△BOD＝＝．
故答案为：．
19．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴上，AO＝AB，若△OAB的面积为3，则k的值为 3 ．
【分析】过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），可得出xy＝k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），
∵OA＝AB，
∴OC＝BC，
∴点B（2x，0），
∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴xy＝k，
∵△OAB的面积为3，
∴OB•AC＝3，
即×2x×y＝3，
∴xy＝3，
即k＝3．
故答案为：3．
20．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数的图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△AOB的面积为4，则m+n＝ ﹣16 ．
【分析】由△OAB的面积为4，可求出△OBC的面积为1，进而求出△OAC的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出m，n，进而得出答案．
【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝4，S△BOC＝BC•OC，AC＝3BC，
∴AB＝2BC，
∴S△BOC＝2，
∴S△AOC＝4+2＝6，
又∵|m|＝6，|n|＝2，m＜0，n＜0，
∴m＝﹣12，n＝﹣4，
∴m+n＝﹣12﹣4＝﹣16，
故答案为：﹣16．
21．如图，反比例函数的图象与Rt△BOC的斜边OB交于点A，与边BC交于点D，若，且S△BOD＝21，则k＝ 8 ．
【分析】先设A点的坐标，然后利用求出点B的坐标，再求点D的坐标，从而得到CD和BD的长度，进而得到△COD和△BDO的面积比，最后求出△COD的面即，求出k的值．
【解答】解：设A（2a，），
∵＝，
∴＝，
∴B（5a，），
∵BC⊥x轴，点D在反比例函数的图象上，
∴D（5a，），S△COD＝|k|，
∴CD＝，BD＝﹣＝，
∴＝＝＝，
∵S△BOD＝21，
∴S△COD＝4，
∴|k|＝4，
∴k＝8或k＝﹣8（舍去），
故答案为：8．
22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会 逐渐减小 ．（填“逐渐增大”或“不变”或“逐渐减小”）
【分析】由双曲线y＝（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．
【解答】解：如图，连接OP，过点P作PC⊥x轴于点C，
设P（m，），则S△POB＝，PC＝，
∴S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝+OA•＝+OA•，
∵点A是x轴正半轴上的一个定点，即OA是定值，
∴当m逐渐增大时，逐渐减小，即S四边形OAPB逐渐减小．
故答案为：逐渐减小．
23．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则AB的长是 2 ．
【分析】过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【解答】解：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE＝AE＝CE，
设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，
设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），
∵B，C在反比例函数的图象上，
∴x（x+2a）＝（x+a）（x+a），
解得x＝2a，
∵S△OAB＝AB•DE＝•2a•x＝6，
∴2a2＝6，
∴a＝，
∴AB＝2a＝2．
故答案为：2．
24．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AB∥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B．若△AOB的面积为2，则m的值为 2 ．
【分析】设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得△AOC的面积＝3，△COB的面积＝，从而求出结果．
【解答】解：延长AB交x轴于点C，
根据反比例函数k的几何意义可知：AOC的面积＝×6＝3，△COB的面积＝m，
∴△AOB的面积为3﹣，
∴3﹣＝2，
得m＝2．
故答案为：2．
25．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC•OB＝40．若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得S△OAC＝S菱形OABC＝10，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得S△OCE即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵AC•OB＝40，
∴S菱形OABC＝AC•OB＝20，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝10，
∴OA•CG＝10，
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OGC中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴OG＝＝＝3，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
又∵D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数图象上，
∴E的横坐标为＝﹣2，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴S△OCE＝CE•CG＝×1×4＝2，
故选：B．
26．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝ ﹣3 ．
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCN＝k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
27．如图，在面积为12的矩形ABCD中，边BC落在x轴上，反比例函数0）的图象经过点A交CD于点H，且DH＝3CH，则k的值为 4 ．
【分析】设AB＝a，则点A的坐标是（，a），根据矩形的性质结合DH＝4CH，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得出H（，），根据矩形的面积即可得出（﹣）•a＝12，即可求出k＝4．
【解答】解：设AB＝a，则点A的坐标是（，a），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝a，
∵DH＝3CH，
∴H（，），
∵矩形ABCD的面积为12，
∴（﹣）•a＝12，
∴k＝4，
故答案为：4．
28．如图，△ABO中，AO＝2AB，点C为AO中点，BC的延长线交y轴于点E，BE∥x轴，过点A作AD⊥BE，垂足为点D，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为 8 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得出点D是BC的中点，进而得出S△ACD＝S△ABD，再根据全等三角形的判定可得△OCE≌△ACD，即S△ACD＝S△OCE，进而得出阴影部分的面积等于S△BOE＝4＝|k|即可．
【解答】解：∵C是OA的中点，
∴OC＝AC，
又∵OA＝2AB，
∴OC＝AC＝AB，
∵AD⊥BE，
∴CD＝BD，
∴S△ACD＝S△ABD，
在△OCE和△ACD中，
∵OC＝AC，∠OEC＝∠ADC＝90°，∠OCE＝∠ACD，
∴△OCE≌△ACD（AAS），
∴S△ACD＝S△OCE，
∵阴影部分的面积为4，
即S△OBC+S△ABD＝4，
∴S△OBC+S△OCE＝S△BOE＝4＝|k|，
∵k＞0，
∴k＝8，
故答案为：8．
29．如图，将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到曲线C2，点A是曲线C2上的一点，点B在直线y＝x上，连接AB、OA，若AB＝OA，则△AOB的面积为 6 ．
【分析】将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【解答】解：若将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，
则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，
∴旋转后点A落在曲线C1上，点B落在x轴上，
设点A，B的对应点分别是A'，B'，
过点A'作A′D⊥x轴于点D，连接OA'，A'B'．
∵AB＝OA，
∴A'B'＝OA'，
∴B'D＝DO，
∴S△AOB＝S△A′OB′＝2S△OA′D＝2×＝6；
故答案为：6．
30．如图，函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，则四边形ODBC的面积为 6 ．
【分析】根据反比例函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，可得到点D是AB的中点，进而得出S△AOD＝S四边形OCBD＝2，即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
设OA＝BC＝a．AB＝OC＝b，
∵函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，
∴E（b，a），
设D（x，a），
∵函数的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，
∴S△AOD＝S△OEC，
∴a•x＝，
∴x＝b，
∴AD＝B，
∴点D是AB的中点，
∴S△AOD＝S四边形OCBD＝4＝2，
∴四边形ODBC的面积为6
故答案为：6．
31．如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
（1）求k的值和点C的坐标．
（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵S△OBD＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数为①，
设直线OA解析式为y＝mx，
将A（4，4）代入得，4m＝4，
∴m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x②，
由①②得x2＝4，
∴x＝﹣2（不合题意，舍去），x＝2，
∴C为（2，2）．
（2）将x＝4代入，
得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∵点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为（2，2），
∴由图象得1≤b≤2．
32．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值．
条件①四边形OCED的面积为2；
条件②BE＝2AE．
【分析】（1）根据反比例函数的性质即可得y1＞y2，再将点A（﹣2，y1），（B（﹣6，y2）代入反比例函数的解析式分别求出y1、y2的值，由此即可加以验证；
（2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得OD⋅OC＝2，再根据点A，B的坐标可得OC＝2，OD＝y2，从而可得y2＝1，B（﹣6，1），利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，再根据矩形的判定与性质可得DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，从而可得BE＝4，AE＝2，代入可得y1﹣y2＝2，然后根据即可得．
【解答】解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，
所以y1＞y2；
验证如下：
当x＝﹣6时，；
当x＝﹣2时，，
∵，k＜0，
∴y1﹣y2＞0即y1＞y2．
（2）选择条件①四边形OCED的面积为2，求解如下：
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OD⋅OC＝2，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，OD＝y2，
解得y2＝1，
∴B（﹣6，1），
将点B（﹣6，1）代入得：
k＝﹣6×1＝﹣6．
选择条件②BE＝2AE，求解如下：
∵A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2），
∴OC＝2，AC＝y1，DB＝6，OD＝y2，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE＝OC＝2，CE＝OD＝y2，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
∴，
又∵AE＝AC﹣CE＝y1﹣y2，
∴y1﹣y2＝2，
由（1）可知，，
∴，
解得k＝﹣6．
33．如图，已知在平面直角坐标系中，点B（6，8）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB向右平移，得到△O′A′B′，O′B′交双曲线于点C（3a，a）．
（1）k＝ 48 ，a＝ 4 ；
（2）求△OAB向右平移的距离；
（3）连接BC，OC，则△OBC的面积为 36 ．
【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，进而把点C （3a，a）代入，即可求得a的值；
（2）作CM⊥x轴于M，根据C的坐标，得到CM＝4，由于A′B′＝AB＝8，即可证得C为O′B′的中点，从而求得A′M＝3，即可得到A′的坐标，根据A的坐标即可求得平移的距离；
（3）根据S△BOC＝S△AOB+S梯形ABCM﹣S△COM＝S梯形ABCM求得即可．
【解答】解：（1）∵点B坐标是（6，8），点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝6×8＝48，
∴反比例函数为y＝，
∵双曲线经过点C （3a，a）．
∴a＝，
解得a＝4（负数舍去）；
故答案为：48，4；
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M，
∵a＝4，
∴C（12，4），
∴OM＝12，CM＝4，
∵点B坐标是（6，8），BA⊥x轴于点A，
∴A（6，0），O′A′＝OA＝6，A′B′＝AB＝8，
∴C是O′B′的中点，
∴A′M＝3，
∴A′（15，0），
∴OO'＝15﹣6＝9，
∴△OAB向右平移到△O′A′B′的距离为9；
（3）∵BA⊥x轴于点A，CM⊥x轴于M，
∴S△AOB＝S△COM＝|k|，
∴S△BOC＝S△AOB+S梯形ABCM﹣S△COM＝S梯形ABCM，
∴S△BOC＝（4+8）×6＝36．
故答案为：36．
34．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC
⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）当E的坐标为（﹣2，0）时，求点B的坐标；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2＝，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝，
由一可知点C（0，2），E（﹣2，0），
∴设直线EC的解析式为y＝kx+b．将C（0，2），E（﹣2，0）代入，
得：，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2．
∴x+2＝，解得x1＝2，x2＝﹣4（舍去），
当x＝2时，y＝4，
∴B点的坐标为（2，4）；
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y＝中，得：6＝，
解得：x＝，
∴B（，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x＝，
∴E（，0），
∴DE＝﹣（）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED＝（AC+DE）•OC＝×（4+2）×2＝6．
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