还剩11页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【单元训练】高中数学人教A版(2019)必修第一册--《第五章 三角函数》综合训练（含解析）
展开
这是一份【单元训练】高中数学人教A版(2019)必修第一册--《第五章 三角函数》综合训练（含解析），共14页。
人教A版（2019）必修第一册《第五章 三角函数》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）为了得到函数y=sinx的图象，需要把函数y=sin(23x+π3)图象上的所有点( )
A. 横坐标缩短到原来的23倍，再向右平移π3个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的32倍，再向右平移π3个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的23倍，再向左平移π3个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的32倍，再向左平移π3个单位长度
2.（5分）如图，已知函数y=sin(π2-πx)的部分图象，点A(56,m)，B(73,n)为函数图象上的点，线段AB与x轴交于点C，及y轴上点P(0,n)，则PC→⋅AB→=( )
A. 25-1138 B. 25-938
C. 35-1138 D. 35-938
3.（5分）已知cosπ2+α=2cosπ-α，则tanπ4-α=( )
A. -4 B. 4 C. -13 D. 13
4.（5分）已知cos(π-α)=13，sin(π2+β)=23，其中α，β∈(0,π)，则sin(α+β)的值为( )
A. 42-59 B. 42+59 C. -42+59 D. -42-59
5.（5分）若tanα=3，tanβ=2，则tan(α-β)=( )
A. -3 B. 3 C. -17 D. 17
6.（5分）40°角的弧度数为( )
A. 40 B. 2π9 C. 4π9 D. 7200π
7.（5分）若cos(5π12-α)=23，则3cos2α-sin2α的值为( )
A. -59 B. 59 C. -109 D. 109
8.（5分）已知函数f(x)=3sin(2x-π3)+1(x∈R)的图象向右平移π12个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x) ( )
A. 最大值为3 B. 最小正周期为2π
C. 为奇函数 D. 图象关于y轴对称
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)，现有以下命题正确的是( )
A. f(x)是偶函数；
B. f(x)是以2π为周期的周期函数；
C. f(x)的图像关于x=π2对称；
D. f(x)的最大值为2.
10.（5分）函数f(x)=sinx+3cosx的
A. 图象对称中心为(2π3+kπ,0)(k∈Z)
B. 增区间为[-5π6+2kπ,π6+2kπ](k∈Z)
C. 图象对称轴方程为x=-π3+kπ，k∈Z
D. 最大值是2，最小值是-2
11.（5分）下列说法中正确的选项有( )
A. 函数f(x)=3-x2的图象和直线y=m有4个公共点，则m的取值范围0
C. 函数fx=x2-4x+5(x∈0,3)的值域为1,5
D. 函数f(x)=x2+x+1,则对于任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,则m<34
12.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知tan(π4+A)=12，且b=25，c=42，则( )
A. tanA=-3 B. sinA=1010 C. SΔABC=410 D. SΔABC=4
13.（5分）已知函数f(x)=sin2x+2cos2x，则( )
A. f(x)的最大值为3
B. f(x)的图像关于直线x=π8对称
C. f(x)的图像关于点(-π8,1)对称
D. f(x)在[-π4,π4]上单调递增
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）［2021 长沙一中月考］写出一个最小正周期为1的奇函数f(x)=_____.
15.（5分）化简：2cos4α-2cos2α+122tanπ4-αsin2π4+α=________.
16.（5分）若P(cosθ,sinθ)与Q(cos(π3-θ),sin(π3-θ))关于原点对称，则满足条件的θ的取值集合为 ______.
17.（5分）已知2sinα=5cosα，则sin2α+cos2α=______.
18.（5分）已知角α的终边经过点P(x,-2)(x≠0)，且cos α=x3，则sin α=________
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设的最小值是，求的最大值．
20.（12分）已知， ． (1)求tan α的值；
(2)求的值．
21.（12分）已知函数f(x)=32sinxcosx-14cos2x-34.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D为边AB上一点，CD=3，f(B)=0且B∈(0,π3)，求∠BDC的正弦值．
22.（12分）已知函数f(x)=32sin2x-cos2x+12
(Ⅰ)求函数f(x)=0时x的集合；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值．
23.（12分）如图，在四边形ABCD中AB=AD=4，BC=6，CD=2，3AB→·AD→+4CB→·CD→=0
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)若∠APC=60°，求PA+PC的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：把函数y=sin(23x+π3)图象上的所有点横坐标变为原来的23倍，
可得函数y=sin[(23x)×32+π3]=sin(x+π3)的图象，
再把所得图象向右平移π3个单位长度，可得函数y=sinx的图象，
故选A.
根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律，得出结论．
此题主要考查函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律，属于中档题．
2.【答案】C;
【解析】解：∵y=sin(π2-πx)=cosπx，
∴由题意可得：m=cos56π=-32，n=cos73π=12，
∴可得坐标为：A(56,-32)，B(73,12)，P(0,12)，
∵线段AB与x轴交于点C，
∴y+3212+32=x-5673-56y=0，从而解得C点的坐标为：(37-9312,0)，
∴PC→=(37-9312,-12)，AB→=(32,1+32)，
∴PC→⋅AB→=37-9312×32-12×1+32=35-1138．
故选：C．
利用诱导公式化简函数解析式，由题意可解得m，n的值，进而可求点A，B，P的坐标，利用两点式求得AB的方程，由线段AB与x轴交于点C，解方程组y+3212+32=x-5673-56y=0，从而解得C点坐标，再求得PC→，AB→的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可得解．
这道题主要考查了诱导公式，两点式求直线的方程，平面向量数量积的坐标运算，余弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．
3.【答案】C;
【解析】【试题解析】
此题主要考查三角函数的化简求值；首先利用诱导公式化简已知等式，得到tanα，然后利用和角的正切公式求值.
解：因为cos(π2+α)=2cos(π-α)，
所以-sinα=2-cosα，即tanα=2，
则tan(π4-α)=1-tanα1+tanα=1-21+2=-13;
故选C.
4.【答案】A;
【解析】此题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，是基础题.
由诱导公式可得cosα=-13，cosβ=23，再由同角三角函数的基本关系可得sinα，sinβ，故由两角和的正弦公式可得答案.
解：因为cos(π-α)=13，sin(π2+β)=23，
所以cosα=-13，cosβ=23，
因为α，β∈(0,π)，所以sinα=1-cos2α=223，
sinβ=1-cos2β=53，
所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=223×23+(-13)×53=42-59.
故选A.
5.【答案】D;
【解析】解：tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=3-21+3×2=17，
故选：D．
由正切的差角公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ解之即可．
这道题主要考查了两角和与差的正切函数，只要熟练掌握相关公式就可以正确的解答．基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：依题意，40°角的弧度数为40×π180=2π9.
故选：B.
利用角度制与弧度制的互化即可求解．
此题主要考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用，属于一般题.
用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.
解：依题意，cos(5π12-α)
=cosπ2-α+π12
=sin(α+π12)=23，
∴3cos2α-sin2α
=2cos(2α+π6)
=2[1-2sin2(α+π12)]
=2(1-2×29)=109，
故选D.
8.【答案】D;
【解析】依题意可得g(x)=3sin[2(x-π12)-π3]+1=3sin(2x-π2)+1=-3cos2x+1，所以g(x)的最大值为4，最小正周期为π，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称．故选D．
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查三角函数的性质，函数的奇偶性，周期性，对称性以及最值，属于中档题.
结合题设及各选项应用三角函数的性质逐一论证即可得到正确结论.
解：∵f(x)=sin (cos x)+cos (cos x)，
∴x∈R.
对于A，∵f(-x)=sin cos -x+cos cos -x=sincosx+coscosx=f(x)，
∴f(x)是偶函数，选项A正确;
B，f(2π+x)=sin cos 2π+x+cos cos 2π+x=sincosx+coscosx=f(x)，
∴f(x)是以2π为周期的周期函数，选项B正确;
C，f(π-x)=sin cos π-x+cos cos π-x=-sincosx+coscosx≠f(x)，
∴f(x)的图像不关于x=π2对称，选项C错误;
D，令t=cosx，则t∈-1,1.
∴f(x)=sin (cos x)+cos (cos x)，
也即y=sint+cost=2sint+π4，
t+π4∈-1+π4,1+π4.
故当t+π4=π2时，y有最大值2，故f(x)的最大值为2，选项D正确.
所以选ABD.
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查y=Asin(ωx+ϕ)型函数的图像以及性质，是中档题．
化简f(x)的解析式可得f(x)=2sin(x+π3)，结合y=Asin(ωx+ϕ)型函数的图象以及性质即可求解.
解：∵f(x)=sinx+3cosx=212sinx+32cosx=2sin(x+π3).
所以函数的最大值是2，最小值是-2，故D正确;
令x+π3=kπ+πk∈Z，解得x=2π3+kπ(k∈Z)，
所以图象对称中心为(2π3+kπ,0)(k∈Z)，A正确；
由-π2+2kπ⩽x+π3⩽π2+2kπ，k∈Z，
得-5π6+2kπ⩽x⩽π6+2kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的递增区间为[-5π6+2kπ,π6+2kπ](k∈Z)，B正确；
令x+π3=kπ+π2k∈Z解得x=π6+kπ(k∈Z)，C不正确;
故选：ABD.
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查函数的值域及零点问题，函数的对称性，以及不等式恒成立，属于中等题.
A作出函数y=3-x2的图像，数形结合求解；B根据函数的对称性求解；C结合二次函数的性质求解，D为恒成立问题，求出函数f(x)=x2+x+1在x∈[-1,1]上的最小值可得结果.
解：作出函数f(x)=3-x2的图象，如图：
由图可知0
对C，f(x)=x2-4x+5=x-22+1，
因为x∈0,3，所以当x=2时，fxmin=f2=1，
当x=0时，fxmax=f0=5，
函数fx的值域为1,5，C正确；
对D，f(x)=x2+x+1=x+122+34，x∈[-1,1]，
当x=-12时，fxmin=34，所以m<34，D正确.
故选ACD.
12.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查两角和与差三角函数公式，以及同角三角函数的关系式，三角形的面积.
求出tanA=-13，利用同角三角函数的关系式，三角形的面积公式，即可得.
解：由题意得tan(π4+A)=12，
∴tan A+11-tan A=12⇒tanA=-13，
即sinAcosA=-13，又sin2A+cos2A=1，
所以sin2A+-3sinA2=1，
∵0
∴SΔABC=12bcsinA=4.
故选BD.
13.【答案】BC;
【解析】解：f(x)=sin2x+2×1+cos2x2=sin2x+cos2x+1
=2(22sin2x+22cos2x)+1=2sin(2x+π4)+1，
A：∵sin(2x+π4)∈[-1,1]，∴f(x)的最大值为2+1，∴A不正确．
B：当x=π8时，f(π8)=2sinπ2+1=2+1，
∴f(x)的图象关于直线x=π8对称，∴B正确．
C：当x=-π8时，f(-π8)=2sin0+1=1，
∴f(x)的图象关于点(-π8,1)对称，∴C正确．
D：∵x∈[-π4,π4]，∴2x+π4∈[-π4,3π4]，
∴f(x)在区间[-π4,π4]上先增后减，∴D不正确．
故选：BC．
利用二倍角公式的逆运用及辅助角公式将f(x)化成最简形式，由正弦函数的性质即可判断函数的最大值、单调性及对称轴．
此题主要考查二倍角公式及辅助角公式，函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题
14.【答案】sin2πx(答案不唯一);
【解析】不妨设f(x)=sinωx(ω>0)，由T=2πω=1，得ω=2π，即f(x)=sin2πx符合题意．
15.【答案】12cos2α;
【解析】
利用三角函数的二倍角公式及诱导公式等化简即可求得结果.
解：由题意得：
2cos4α-2cos2α+122tanπ4-αsin2π4+α
=12(4cos4α-4cos2α+1)2×sinπ4-αcosπ4-α.cos2π4-α
=(2cos2α-1)24sinπ4-αcosπ4-α
=cos22α2sinπ2-2α
=cos22α2cos 2α=12cos2α.
故答案为12cos2α.
16.【答案】{θ|θ=kπ+2π3，k∈Z};
【解析】解：若P(cosθ,sinθ)与Q(cos(π3-θ),sin(π3-θ)) 关于原点对称，则cosθ=-cos(π3-θ)，sinθ=-sin(π3-θ)，
∴θ-(π3-θ)=2kπ+π，∴θ=kπ+2π3，k∈Z，
故满足条件的θ的取值集合为{ θ|θ=kπ+2π3,k∈Z}，
故答案为：{ θ|θ=kπ+2π3,k∈Z}.
由题意可得cosθ=-cos(π3-θ)，sinθ=-sin(π3-θ)，故有 θ-(π3-θ)=2kπ+π，由此求得满足条件的θ的取值集合．
此题主要考查两点关于原点对称的性质，两角和差的三角公式，属于中档题．
17.【答案】2429;
【解析】解：因为2sinα=5cosα，
所以tanα=52，
则sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tanα+1tan2α+1=2×52+1254+1=2429.
故答案为：2429.
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
此题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】-23;
【解析】解：由题意可得cosα=x3=xx2+4，求得x=±5，
当x=±5时，sinα=-23.
故答案为：-23.
由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．
此题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式的应用，属于基础题．
19.【答案】 （1）；（2）． ;
【解析】
试题分析：(1)由正弦二倍角公式和降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化为
，利用复合函数的单调性以及正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间；(2)由求的范围，结合的图像求的最小值和最大值，进而求的最小值和最大值．
试题解析：(1)
，
令，得，
的单调递减区间 6分
(2)，
；，令
所以 12分
考点：1、三角恒等变形；2、三角函数的图像与性质．
20.【答案】
;
【解析】 该题考查诱导公式与齐次分式的用法．
(1)由题设中等式解出tanα，再结合α的范围舍去不满足的根，即可求解；
(2)利用诱导公式、同角三角函数基本关系式，将分子分母同除以即可化简求值．
21.【答案】(1) f(x)=32sinxcosx-14cos2x-34=34sin2x-14cos2x-34
=12(sin2x.32-cos2x.12)-34=12sin(2x-π6)-34.
由2kπ+π2⩽2x-π6⩽2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π3⩽x⩽kπ+5π6，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ]，k∈Z.
(2)由(1)和f(B)=0，得12sin(2B-π6)-34=0，所以sin(2B-π6)=32，
因为0
所以sin∠BDC=BC.sinBCD=4×sinπ43=223.;
【解析】此题主要考查了三角函数图像及其性质的运用，三角函数单调性的求法，三角恒等变换的运用，正弦定理，任意角三角函数值，考查了分析和运用能力，属于中档题.
(1)运用两角和差公式以及二倍角公式将函数f(x)化简，然后求其单调减区间即可；
(2)根据f(B)=0，得到B=π4，再由正弦定理得CDsinB=BCsin∠BDC，求出sin∠BDC=BC.sinBCD=4×sinπ43=223即可.
22.【答案】解：（Ⅰ）f(x)=32sin2x-cos2x+12=32sin2x-1+cos2x2+12
=32sin2x-12cos2x=sin(2x-π6)；…（5分）
因为：f（x）=0时，sin(2x-π6)=0，
所以：2x-π6=kπ（k∈Z），解得x=kπ2+π12，k∈Z；
所以函数f（x）=0时x的集合为
{ x|x=kπ2+π12，k∈Z}；…（8分）
（Ⅱ）因为x∈[0，π2]，
所以-π6≤2x-π6≤5π6，
方法一：-12≤sin(2x-π6)≤1，
所以-12≤f(x)≤1；
故函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值为-12．…..（13分）
方法二：
∴当时2x-π6=-π6，即x=0时，f（x）取得最小值-12，
故函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值为-12．（13分）;
【解析】
(Ⅰ)利用三角恒等变换化f(x)为正弦型函数，求出f(x)=0时x的取值集合即可；
(Ⅱ)方法一：求出x∈[0,π2]时f(x)的取值范围，即可得出最小值．
方法二：根据正弦函数的单调性，求出x∈[0,π2]时f(x)的最小值即可．
此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合题．
23.【答案】解：(1)由3AB→·AD→+4CB→·CD→=0，AB=AD=4，BC=6，CD=2，
∴3|AB→|·|AD→|·cos∠BAD+4|CB→|·|CD→|·cos∠BCD
=3×4×4×cos∠BAD+4×6×2×cos∠BCD=0，
∴cos∠BAD=-cos∠BCD，
∵0<∠BAD<π,0<∠BCD<π，
∴∠BAD+∠BCD=π，
∴∠ABC+∠ADC=π，cos∠ABC=-cos∠ADC，
∴由余弦定理知：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC，同理AC2=42+22-2×2×4cos∠ADC；
联立以上两式得：cos∠ABC=12，cos∠ADC=-12，AC=27，
∵0<∠ABC<180°,0<∠ADC<180°，
故∠ABC=60°，∠ADC=120°，
∴SABCD=12AD·CD·sin∠ADC+12AB·BC·sin∠ABC
=12×2×4×sin120°+12×4×6sin60°=83；
(2)由(1)知AC=27，∴由正弦定理知：2R=ACsin∠ABC=27sin60°=4213，其中R为△APC的外接圆半径，
∴R=2213 ，故PA=2Rsin∠ACP，PC=2Rsin∠CAP，
设∠ACP=θ，则∠CAP=2π3-θ，
∴PA+PC=2R[sinθ+sin(2π3-θ)]=2R(sinθ+sin2π3cosθ-cos2π3sinθ)
=2R(sinθ+32cosθ+12sinθ)=2R(32cosθ+32sinθ)
=23R(12cosθ+32sinθ)=47sin(θ+π6)，
∵∠APC=π3，∴θ∈(0,2π3)∴θ+π6∈(π6,5π6)∴sin(θ+π6)∈(12,1],
∴PC+PA∈(27,47].;
【解析】本题主要考查三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及两角和差的三角函数公式，属于中档题.
(1)由向量等式与已知数据得到cos∠BAD=-cos∠BCD，再由余弦定理的：∠ABC=60°，∠ADC=120°，再利用三角形的面积公式，即可求解；
(2)由(1)知AC=27，由正弦定理得R=2213 ，再由PA+PC=2R[sinθ+sin(2π3-θ)]，以及角的范围，即可求解.
人教A版（2019）必修第一册《第五章 三角函数》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）为了得到函数y=sinx的图象，需要把函数y=sin(23x+π3)图象上的所有点( )
A. 横坐标缩短到原来的23倍，再向右平移π3个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的32倍，再向右平移π3个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的23倍，再向左平移π3个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的32倍，再向左平移π3个单位长度
2.（5分）如图，已知函数y=sin(π2-πx)的部分图象，点A(56,m)，B(73,n)为函数图象上的点，线段AB与x轴交于点C，及y轴上点P(0,n)，则PC→⋅AB→=( )
A. 25-1138 B. 25-938
C. 35-1138 D. 35-938
3.（5分）已知cosπ2+α=2cosπ-α，则tanπ4-α=( )
A. -4 B. 4 C. -13 D. 13
4.（5分）已知cos(π-α)=13，sin(π2+β)=23，其中α，β∈(0,π)，则sin(α+β)的值为( )
A. 42-59 B. 42+59 C. -42+59 D. -42-59
5.（5分）若tanα=3，tanβ=2，则tan(α-β)=( )
A. -3 B. 3 C. -17 D. 17
6.（5分）40°角的弧度数为( )
A. 40 B. 2π9 C. 4π9 D. 7200π
7.（5分）若cos(5π12-α)=23，则3cos2α-sin2α的值为( )
A. -59 B. 59 C. -109 D. 109
8.（5分）已知函数f(x)=3sin(2x-π3)+1(x∈R)的图象向右平移π12个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x) ( )
A. 最大值为3 B. 最小正周期为2π
C. 为奇函数 D. 图象关于y轴对称
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)，现有以下命题正确的是( )
A. f(x)是偶函数；
B. f(x)是以2π为周期的周期函数；
C. f(x)的图像关于x=π2对称；
D. f(x)的最大值为2.
10.（5分）函数f(x)=sinx+3cosx的
A. 图象对称中心为(2π3+kπ,0)(k∈Z)
B. 增区间为[-5π6+2kπ,π6+2kπ](k∈Z)
C. 图象对称轴方程为x=-π3+kπ，k∈Z
D. 最大值是2，最小值是-2
11.（5分）下列说法中正确的选项有( )
A. 函数f(x)=3-x2的图象和直线y=m有4个公共点，则m的取值范围0
C. 函数fx=x2-4x+5(x∈0,3)的值域为1,5
D. 函数f(x)=x2+x+1,则对于任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,则m<34
12.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知tan(π4+A)=12，且b=25，c=42，则( )
A. tanA=-3 B. sinA=1010 C. SΔABC=410 D. SΔABC=4
13.（5分）已知函数f(x)=sin2x+2cos2x，则( )
A. f(x)的最大值为3
B. f(x)的图像关于直线x=π8对称
C. f(x)的图像关于点(-π8,1)对称
D. f(x)在[-π4,π4]上单调递增
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）［2021 长沙一中月考］写出一个最小正周期为1的奇函数f(x)=_____.
15.（5分）化简：2cos4α-2cos2α+122tanπ4-αsin2π4+α=________.
16.（5分）若P(cosθ,sinθ)与Q(cos(π3-θ),sin(π3-θ))关于原点对称，则满足条件的θ的取值集合为 ______.
17.（5分）已知2sinα=5cosα，则sin2α+cos2α=______.
18.（5分）已知角α的终边经过点P(x,-2)(x≠0)，且cos α=x3，则sin α=________
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设的最小值是，求的最大值．
20.（12分）已知， ． (1)求tan α的值；
(2)求的值．
21.（12分）已知函数f(x)=32sinxcosx-14cos2x-34.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D为边AB上一点，CD=3，f(B)=0且B∈(0,π3)，求∠BDC的正弦值．
22.（12分）已知函数f(x)=32sin2x-cos2x+12
(Ⅰ)求函数f(x)=0时x的集合；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最小值．
23.（12分）如图，在四边形ABCD中AB=AD=4，BC=6，CD=2，3AB→·AD→+4CB→·CD→=0
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)若∠APC=60°，求PA+PC的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：把函数y=sin(23x+π3)图象上的所有点横坐标变为原来的23倍，
可得函数y=sin[(23x)×32+π3]=sin(x+π3)的图象，
再把所得图象向右平移π3个单位长度，可得函数y=sinx的图象，
故选A.
根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律，得出结论．
此题主要考查函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律，属于中档题．
2.【答案】C;
【解析】解：∵y=sin(π2-πx)=cosπx，
∴由题意可得：m=cos56π=-32，n=cos73π=12，
∴可得坐标为：A(56,-32)，B(73,12)，P(0,12)，
∵线段AB与x轴交于点C，
∴y+3212+32=x-5673-56y=0，从而解得C点的坐标为：(37-9312,0)，
∴PC→=(37-9312,-12)，AB→=(32,1+32)，
∴PC→⋅AB→=37-9312×32-12×1+32=35-1138．
故选：C．
利用诱导公式化简函数解析式，由题意可解得m，n的值，进而可求点A，B，P的坐标，利用两点式求得AB的方程，由线段AB与x轴交于点C，解方程组y+3212+32=x-5673-56y=0，从而解得C点坐标，再求得PC→，AB→的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可得解．
这道题主要考查了诱导公式，两点式求直线的方程，平面向量数量积的坐标运算，余弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．
3.【答案】C;
【解析】【试题解析】
此题主要考查三角函数的化简求值；首先利用诱导公式化简已知等式，得到tanα，然后利用和角的正切公式求值.
解：因为cos(π2+α)=2cos(π-α)，
所以-sinα=2-cosα，即tanα=2，
则tan(π4-α)=1-tanα1+tanα=1-21+2=-13;
故选C.
4.【答案】A;
【解析】此题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，是基础题.
由诱导公式可得cosα=-13，cosβ=23，再由同角三角函数的基本关系可得sinα，sinβ，故由两角和的正弦公式可得答案.
解：因为cos(π-α)=13，sin(π2+β)=23，
所以cosα=-13，cosβ=23，
因为α，β∈(0,π)，所以sinα=1-cos2α=223，
sinβ=1-cos2β=53，
所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=223×23+(-13)×53=42-59.
故选A.
5.【答案】D;
【解析】解：tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=3-21+3×2=17，
故选：D．
由正切的差角公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ解之即可．
这道题主要考查了两角和与差的正切函数，只要熟练掌握相关公式就可以正确的解答．基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：依题意，40°角的弧度数为40×π180=2π9.
故选：B.
利用角度制与弧度制的互化即可求解．
此题主要考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用，属于一般题.
用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.
解：依题意，cos(5π12-α)
=cosπ2-α+π12
=sin(α+π12)=23，
∴3cos2α-sin2α
=2cos(2α+π6)
=2[1-2sin2(α+π12)]
=2(1-2×29)=109，
故选D.
8.【答案】D;
【解析】依题意可得g(x)=3sin[2(x-π12)-π3]+1=3sin(2x-π2)+1=-3cos2x+1，所以g(x)的最大值为4，最小正周期为π，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称．故选D．
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查三角函数的性质，函数的奇偶性，周期性，对称性以及最值，属于中档题.
结合题设及各选项应用三角函数的性质逐一论证即可得到正确结论.
解：∵f(x)=sin (cos x)+cos (cos x)，
∴x∈R.
对于A，∵f(-x)=sin cos -x+cos cos -x=sincosx+coscosx=f(x)，
∴f(x)是偶函数，选项A正确;
B，f(2π+x)=sin cos 2π+x+cos cos 2π+x=sincosx+coscosx=f(x)，
∴f(x)是以2π为周期的周期函数，选项B正确;
C，f(π-x)=sin cos π-x+cos cos π-x=-sincosx+coscosx≠f(x)，
∴f(x)的图像不关于x=π2对称，选项C错误;
D，令t=cosx，则t∈-1,1.
∴f(x)=sin (cos x)+cos (cos x)，
也即y=sint+cost=2sint+π4，
t+π4∈-1+π4,1+π4.
故当t+π4=π2时，y有最大值2，故f(x)的最大值为2，选项D正确.
所以选ABD.
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查y=Asin(ωx+ϕ)型函数的图像以及性质，是中档题．
化简f(x)的解析式可得f(x)=2sin(x+π3)，结合y=Asin(ωx+ϕ)型函数的图象以及性质即可求解.
解：∵f(x)=sinx+3cosx=212sinx+32cosx=2sin(x+π3).
所以函数的最大值是2，最小值是-2，故D正确;
令x+π3=kπ+πk∈Z，解得x=2π3+kπ(k∈Z)，
所以图象对称中心为(2π3+kπ,0)(k∈Z)，A正确；
由-π2+2kπ⩽x+π3⩽π2+2kπ，k∈Z，
得-5π6+2kπ⩽x⩽π6+2kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的递增区间为[-5π6+2kπ,π6+2kπ](k∈Z)，B正确；
令x+π3=kπ+π2k∈Z解得x=π6+kπ(k∈Z)，C不正确;
故选：ABD.
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查函数的值域及零点问题，函数的对称性，以及不等式恒成立，属于中等题.
A作出函数y=3-x2的图像，数形结合求解；B根据函数的对称性求解；C结合二次函数的性质求解，D为恒成立问题，求出函数f(x)=x2+x+1在x∈[-1,1]上的最小值可得结果.
解：作出函数f(x)=3-x2的图象，如图：
由图可知0
对C，f(x)=x2-4x+5=x-22+1，
因为x∈0,3，所以当x=2时，fxmin=f2=1，
当x=0时，fxmax=f0=5，
函数fx的值域为1,5，C正确；
对D，f(x)=x2+x+1=x+122+34，x∈[-1,1]，
当x=-12时，fxmin=34，所以m<34，D正确.
故选ACD.
12.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查两角和与差三角函数公式，以及同角三角函数的关系式，三角形的面积.
求出tanA=-13，利用同角三角函数的关系式，三角形的面积公式，即可得.
解：由题意得tan(π4+A)=12，
∴tan A+11-tan A=12⇒tanA=-13，
即sinAcosA=-13，又sin2A+cos2A=1，
所以sin2A+-3sinA2=1，
∵0
∴SΔABC=12bcsinA=4.
故选BD.
13.【答案】BC;
【解析】解：f(x)=sin2x+2×1+cos2x2=sin2x+cos2x+1
=2(22sin2x+22cos2x)+1=2sin(2x+π4)+1，
A：∵sin(2x+π4)∈[-1,1]，∴f(x)的最大值为2+1，∴A不正确．
B：当x=π8时，f(π8)=2sinπ2+1=2+1，
∴f(x)的图象关于直线x=π8对称，∴B正确．
C：当x=-π8时，f(-π8)=2sin0+1=1，
∴f(x)的图象关于点(-π8,1)对称，∴C正确．
D：∵x∈[-π4,π4]，∴2x+π4∈[-π4,3π4]，
∴f(x)在区间[-π4,π4]上先增后减，∴D不正确．
故选：BC．
利用二倍角公式的逆运用及辅助角公式将f(x)化成最简形式，由正弦函数的性质即可判断函数的最大值、单调性及对称轴．
此题主要考查二倍角公式及辅助角公式，函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题
14.【答案】sin2πx(答案不唯一);
【解析】不妨设f(x)=sinωx(ω>0)，由T=2πω=1，得ω=2π，即f(x)=sin2πx符合题意．
15.【答案】12cos2α;
【解析】
利用三角函数的二倍角公式及诱导公式等化简即可求得结果.
解：由题意得：
2cos4α-2cos2α+122tanπ4-αsin2π4+α
=12(4cos4α-4cos2α+1)2×sinπ4-αcosπ4-α.cos2π4-α
=(2cos2α-1)24sinπ4-αcosπ4-α
=cos22α2sinπ2-2α
=cos22α2cos 2α=12cos2α.
故答案为12cos2α.
16.【答案】{θ|θ=kπ+2π3，k∈Z};
【解析】解：若P(cosθ,sinθ)与Q(cos(π3-θ),sin(π3-θ)) 关于原点对称，则cosθ=-cos(π3-θ)，sinθ=-sin(π3-θ)，
∴θ-(π3-θ)=2kπ+π，∴θ=kπ+2π3，k∈Z，
故满足条件的θ的取值集合为{ θ|θ=kπ+2π3,k∈Z}，
故答案为：{ θ|θ=kπ+2π3,k∈Z}.
由题意可得cosθ=-cos(π3-θ)，sinθ=-sin(π3-θ)，故有 θ-(π3-θ)=2kπ+π，由此求得满足条件的θ的取值集合．
此题主要考查两点关于原点对称的性质，两角和差的三角公式，属于中档题．
17.【答案】2429;
【解析】解：因为2sinα=5cosα，
所以tanα=52，
则sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tanα+1tan2α+1=2×52+1254+1=2429.
故答案为：2429.
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
此题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】-23;
【解析】解：由题意可得cosα=x3=xx2+4，求得x=±5，
当x=±5时，sinα=-23.
故答案为：-23.
由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可．
此题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式的应用，属于基础题．
19.【答案】 （1）；（2）． ;
【解析】
试题分析：(1)由正弦二倍角公式和降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化为
，利用复合函数的单调性以及正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间；(2)由求的范围，结合的图像求的最小值和最大值，进而求的最小值和最大值．
试题解析：(1)
，
令，得，
的单调递减区间 6分
(2)，
；，令
所以 12分
考点：1、三角恒等变形；2、三角函数的图像与性质．
20.【答案】
;
【解析】 该题考查诱导公式与齐次分式的用法．
(1)由题设中等式解出tanα，再结合α的范围舍去不满足的根，即可求解；
(2)利用诱导公式、同角三角函数基本关系式，将分子分母同除以即可化简求值．
21.【答案】(1) f(x)=32sinxcosx-14cos2x-34=34sin2x-14cos2x-34
=12(sin2x.32-cos2x.12)-34=12sin(2x-π6)-34.
由2kπ+π2⩽2x-π6⩽2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π3⩽x⩽kπ+5π6，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ]，k∈Z.
(2)由(1)和f(B)=0，得12sin(2B-π6)-34=0，所以sin(2B-π6)=32，
因为0
所以sin∠BDC=BC.sinBCD=4×sinπ43=223.;
【解析】此题主要考查了三角函数图像及其性质的运用，三角函数单调性的求法，三角恒等变换的运用，正弦定理，任意角三角函数值，考查了分析和运用能力，属于中档题.
(1)运用两角和差公式以及二倍角公式将函数f(x)化简，然后求其单调减区间即可；
(2)根据f(B)=0，得到B=π4，再由正弦定理得CDsinB=BCsin∠BDC，求出sin∠BDC=BC.sinBCD=4×sinπ43=223即可.
22.【答案】解：（Ⅰ）f(x)=32sin2x-cos2x+12=32sin2x-1+cos2x2+12
=32sin2x-12cos2x=sin(2x-π6)；…（5分）
因为：f（x）=0时，sin(2x-π6)=0，
所以：2x-π6=kπ（k∈Z），解得x=kπ2+π12，k∈Z；
所以函数f（x）=0时x的集合为
{ x|x=kπ2+π12，k∈Z}；…（8分）
（Ⅱ）因为x∈[0，π2]，
所以-π6≤2x-π6≤5π6，
方法一：-12≤sin(2x-π6)≤1，
所以-12≤f(x)≤1；
故函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值为-12．…..（13分）
方法二：
∴当时2x-π6=-π6，即x=0时，f（x）取得最小值-12，
故函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值为-12．（13分）;
【解析】
(Ⅰ)利用三角恒等变换化f(x)为正弦型函数，求出f(x)=0时x的取值集合即可；
(Ⅱ)方法一：求出x∈[0,π2]时f(x)的取值范围，即可得出最小值．
方法二：根据正弦函数的单调性，求出x∈[0,π2]时f(x)的最小值即可．
此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合题．
23.【答案】解：(1)由3AB→·AD→+4CB→·CD→=0，AB=AD=4，BC=6，CD=2，
∴3|AB→|·|AD→|·cos∠BAD+4|CB→|·|CD→|·cos∠BCD
=3×4×4×cos∠BAD+4×6×2×cos∠BCD=0，
∴cos∠BAD=-cos∠BCD，
∵0<∠BAD<π,0<∠BCD<π，
∴∠BAD+∠BCD=π，
∴∠ABC+∠ADC=π，cos∠ABC=-cos∠ADC，
∴由余弦定理知：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC，同理AC2=42+22-2×2×4cos∠ADC；
联立以上两式得：cos∠ABC=12，cos∠ADC=-12，AC=27，
∵0<∠ABC<180°,0<∠ADC<180°，
故∠ABC=60°，∠ADC=120°，
∴SABCD=12AD·CD·sin∠ADC+12AB·BC·sin∠ABC
=12×2×4×sin120°+12×4×6sin60°=83；
(2)由(1)知AC=27，∴由正弦定理知：2R=ACsin∠ABC=27sin60°=4213，其中R为△APC的外接圆半径，
∴R=2213 ，故PA=2Rsin∠ACP，PC=2Rsin∠CAP，
设∠ACP=θ，则∠CAP=2π3-θ，
∴PA+PC=2R[sinθ+sin(2π3-θ)]=2R(sinθ+sin2π3cosθ-cos2π3sinθ)
=2R(sinθ+32cosθ+12sinθ)=2R(32cosθ+32sinθ)
=23R(12cosθ+32sinθ)=47sin(θ+π6)，
∵∠APC=π3，∴θ∈(0,2π3)∴θ+π6∈(π6,5π6)∴sin(θ+π6)∈(12,1],
∴PC+PA∈(27,47].;
【解析】本题主要考查三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及两角和差的三角函数公式，属于中档题.
(1)由向量等式与已知数据得到cos∠BAD=-cos∠BCD，再由余弦定理的：∠ABC=60°，∠ADC=120°，再利用三角形的面积公式，即可求解；
(2)由(1)知AC=27，由正弦定理得R=2213 ，再由PA+PC=2R[sinθ+sin(2π3-θ)]，以及角的范围，即可求解.
相关资料
更多
