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2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−1)0的结果为( )
A. 1 B. −1 C. 0 D. 无意义
2. 已知x=2y=1是方程kx−y=3的解，那么k的值是( )
A. 2 B. −2 C. 1 D. −1
3. 数据0.0000037用科学记数法表示为( )
A. 3.7×10−6 B. 3.7×106 C. 3.7×10−5 D. 3.7×105
4. 若ab3
5. 三角形的两边长分别为6cm和10cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )
A. 17cm B. 16cm C. 4cm D. 5cm
6. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠ACD=108°，∠B=45°，则∠A的度数为( )
A. 45° B. 53° C. 63° D. 65°
7. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠C的度数为( )
A. 100° B. 90° C. 60° D. 30°
8. 若关于x的不等式x≥m−1的解集如图所示，则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. −1 D. −2
9. 下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a5 B. 2a2÷a=2 C. (2a)2=2a2 D. a⋅a3=a4
10. 三个连续自然数的平方和一定( )
A. 能够被2整除 B. 能够被3整除 C. 被3除余1 D. 被3除余2
11. 已知点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上的三点，PA=2，PB=2.5，PC=3，则点P到直线l的距离为( )
A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不大于2
12. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是( )
A. a2−x2=(2x+2a)(a−x) B. a2−x2=12(x+a)(a−x)
C. a2−x2=(x+a)(a−x) D. (a−x)2=(x+a)(x−a)
13. 如图，下列能判定AB//CD的条件有( )
①∠B+∠BCD=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14. 如图，直线AB//CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积( )
A. 向左移动变小
B. 向右移动变小
C. 始终不变
D. 无法确定
15. 如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC=4，则BE的长为( )
A. 5 B. 3 C. 4 D. 6
16. 如图，AB//CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE//MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG+∠PMN=∠GPM.其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
17. 分解因式：3m2n−12mn+12n= ______ ．
分解因式：(a−b)x2+4y2(b−a)= ______ ．
计算：2023×512−2023×492的结果是______ ．
18. 说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的反例是______．
19. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.若∠AOE=2∠AOC，则∠BOD的度数为______ °.
20. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C′重合，展开后得到折痕a．
(1)折痕a是△ABC的______ ；(填“角平分线”“中线”或“高”)
(2)若∠BAC′=15°，则∠C比∠B的度数大______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题15.0分)
(1)解方程组：3x−2y=42x+5y=9；
(2)解不等式组：x−32+3≥x+11−3(x−1)<8−x，把解集在数轴上表示出来．
(3)先化简，再求值：(x−3y)(x+3y)−(2x−y)2−y(3x−10y)，其中x=−2，y=12．
22. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.若∠B=56°，∠C=28°，求∠DAE的度数；
23. (本小题10.0分)
骑行过程中佩戴安全头盔.可以保护头部，减少伤害.某商店经销甲、乙两种安全头盔.下表是近两天的销售情况：
时间
甲头盔销量(个)
乙头盔销量(个)
销售额(元)
第一天
10
15
1150
第二天
6
12
810
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价．
(2)若甲、乙两种安全头盔的进价分别为40元/个、30元/个.商店准备用不超过3400元的资金，再购进这两种头盔共100个．
①最多能购进甲种头盔多少个？
②商店销售完这100个头盔能否实现利润为1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由.(注：利润=售价−进价，进价、售价均保持不变.)
24. (本小题7.0分)
数学课上老师提出“请对三角形内角和等于180°进行说理.”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
对∠A+∠B+∠C=180°进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程
证明：过点A做AD//BC
∵AD//BC
∴∠1=∠C
______ = ______ (______ )
∵∠1+∠2+∠BAC=180°(______ )
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，∠A+∠B+∠C+∠D=360°”进行说理.请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵(−1)0=1，
∴(−1)0的结果为1．
故选：A．
根据零指数幂的运算方法：a0=1(a≠0)，求出(−1)0的结果为多少即可．
此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)a0=1(a≠0)；(2)00≠1．
2.【答案】A
【解析】解：把x=2y=1代入方程得：2k−1=3，
解得：k=2，
故选：A．
把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3.【答案】A
【解析】解：0.0000037=3.7×10−6．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.如果abc，根据等式性质得出，若c小于等于0不成立，故此选项错误；
B.如果a−b，根据等式性质得出，故此选项错误；
C.如果ab3，根据等式性质得出，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．故此选项错误；
故选：C．
根据不等式的基本性质分别进行分析即可．
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：设三角形的第三边为xcm，由题意可得：
10−6
故选：D．
根据三角形的三边关系可得10−6
6.【答案】C
【解析】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=108°，∠B=45°，
∴∠A=∠ACD−∠B=108°−45°=63°．
故选：C．
利用外角的性质进行求解即可．
本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，由三角形内角和定理得，
x+3x+5x=180°，
解得x=20°，
即∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，
故选：A．
根据三角形内角和定理列方程求出各个内角的度数．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解决问题的前提．
8.【答案】B
【解析】解：由数轴知x≥−1，
则m−1=−1，
解得：m=0，
故选：B．
由不等式x≥m−1，结合数轴知x≥−1，从而得出不等式m−1=−1，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得到关于m的方程是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：(a2)3=a6，故A不符合题意；
2a2÷a=2a，故B不符合题意；
(2a)2=4a2，故C不符合题意；
a⋅a3=a4，故D符合题意；
故选：D．
根据整式的乘除法则逐个判断．
本题考查整式的乘除，掌握整式的乘除法则是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设中间的自然数为n，则较小的自然数为(n−1)，较大的自然数是(n+1)，
∵(n−1)2+n2+(n+1)2
=n2−2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，而3n2能被3整除，
∴3n2+2能被3除余2，
故选：D．
由代数式表示三个连续自然数的平方和，化简后再判断被3除的结果情况即可．
本题考查有理数的乘方，数的整除，整式的运算，将三个连续自然数的平方和用代数式表示，化简后再判断被3除的结果情况是解决问题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上的三点，PA=2，PB=2.5，PC=3，则点P到直线l的距离为小于或等于2，即不大于2．
故选：D．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
本题考查点到直线的距离，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由题意得：
a2−x2
=12(2x+2a)⋅(a−x)
=12⋅2(x+a)(a−x)
=(x+a)(a−x)，
∴a2−x2=(x+a)(a−x)，
故选：C．
利用面积法，即可解答．
本题考查了平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握面积法是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
故①符合题意；
②∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，
∴AB//CD，
故③符合题意；
④∵∠B=∠5，
∴AB//CD，
故④符合题意；
综上，①③④符合题意，共3个，
故选：C．
根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题．
本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵直线AB//CD，点P是直线AB上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．
本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABC=2S△ABD=10，
∵BE为△ABC的高线，AC=4，
∴S△ABC=12×AC×BE=12×4×BE=10，
∴BE=5．
故选：A．
首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．
16.【答案】D
【解析】解：①由题意得：∠G=∠MPN=90°，
∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，
∴EFN=180°−∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB，如图，
∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH//CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN−∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°−∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°−∠GEF−∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°，
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°−∠MPN=180°−90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故④正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB，可得FH//CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90，即可得出答案．
本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
17.【答案】3n(m−2)2 (a−b)(x+2y)(x−2y) 404600
【解析】解：原式=3n(m2−4m+4)
=3n(m−2)2，
故答案为：3n(m−2)2；
原式=(a−b)(x2−4y2)
=(a−b)(x+2y)(x−2y)，
故答案为：(a−b)(x+2y)(x−2y)；
原式=2023×(512−492)
=2023×(51+49)×(51−49)
=2023×100×2
=404600，
故答案为：404600．
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
提公因式后利用平方差公式因式分解，然后进行计算即可．
本题考查因式分解及有理数运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】a=1，b=−2(答案不唯一)
【解析】解：例如a=1，b=−2，1>−2，但12<(−2)2，
即满足a>b，但不满足a2>b2．
故答案为：a=1，b=−2(答案不唯一)．
找到满足a>b，但不满足a2>b2的一对a、b的值即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握举反例是判断一个命题是假命题的方法，反例就是满足题设但不满足结论的例子．注意本题答案不唯一．
19.【答案】30
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，
∵∠AOE=2∠AOC，
∴2∠AOC+∠AOC=90°，
即3∠AOC=90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°，
故答案为：30．
先根据垂线的定义得出∠COE=90°，再根据∠AOE=2∠AOC即可求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数．
本题考查了垂线和对顶角，熟练掌握由垂直得直角、对顶角相等是解题的关键．
20.【答案】高 15°
【解析】解：(1)∵沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C′重合，展开后得到折痕a．
∴∠ADC=∠ADC′=90°，
∴折痕a是△ABC的高，
故答案为：高；
(2)∵沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C′重合，展开后得到折痕a，
∴AC=AC′，
∴∠C=∠AC′C，
∵∠AC′C=∠B+∠BAC′，
∴∠BAC′=∠AC′C−∠B，
∵∠BAC′=15°，
∴∠AC′C−∠B=15°，
∴∠C−∠B=15°，
∴∠C比∠B的度数大15°，
故答案为：15°．
(1)根据折叠的性质可得，AD是高线；
(2)根据三角形外角的性质知，∠AC′C比∠B大15°，再说明∠C=∠AC′C即可．
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
21.【答案】解：3x−2y=4①2x+5y=9②，
①×2得：6x−4y=8③，
②×得：6x+15y=27④，
④−③得：19y=19，
解得：y=1，
把y=1代入①得：3x−2=4，
解得：x=2，
∴原方程组的解为：x=2y=1；
(2)x−32+3≥x+1①1−3(x−1)<8−x②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−2，
∴原不等式组的解集为：−2
(3)(x−3y)(x+3y)−(2x−y)2−y(3x−10y)
=x2−9y2−(4x2−4xy+y2)−3xy+10y2
=x2−9y2−4x2+4xy−y2−3xy+10y2
=−3x2+xy，
当x=−2，y=12，原式=−3×(−2)2+(−2)×12=−3×4+(−1)=−12−1=−13．
【解析】(1)利用加减消元法进行计算，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
(3)利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，解二元一次方程组，完全平方公式，平方差公式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：在△ABC中，∠B=56°，∠C=28°，
∴∠BAC=180°−56°−28=96°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=48°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−56°=34°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=48°−34°=14°．
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据AE平分∠BAC求出∠BAE的度数，根据AD⊥BC求出∠BAD的度数，由∠DAE=∠BAE−∠BAD即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种头盔的销售单价为x元，乙种头盔的销售单价为y元，
依题意得：10x+15y=11506x+12y=810，
解得：x=55y=40，
答：甲种头盔的销售单价为55元，乙种头盔的销售单价为40元；
(2)①设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，
依题意得：40m+30(100−m)≤3400，
解得：m≤40．
答：最多能购进甲种头盔40个．
②不能实现获利1300的目标，理由如下：
设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，
依题意得：(55−40)m+(40−30)(100−m)=1300，
解得：m=60．
又∵甲种头盔最多购进40个，
∴不能实现获利1300的目标．
【解析】(1)设甲种头盔的销售单价为x元，乙种头盔的销售单价为y元，利用销售总额=销售单价×销售数量，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合进货总价不超过3400元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可；
②设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量)，列出一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合①的结论，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①找出数量关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】∠2 ∠B 两直线平行，内错角相等 平角定义
【解析】证明：∵AD//BC，
∴∠1=∠C，∠2=∠B(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°(平角定义)，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
故答案为：∠2，∠B，两直线平行，内错角相等，平角定义；
证明：如图，作AE//BC，交CD于点E，
∵AE//BC，
∴∠B+∠BAE=180°，∠C=∠AED，
∵∠D+∠DAE+∠AED=180°，
∴∠D+∠C+∠DAE+∠BAE+∠B=180°×2=360°，
即∠D+∠C+∠A+∠B=360°．
故辅助线作法为：作AE//BC，交CD于点E．
利用平行线的性质及平角定义可得解；作AE//BC，交CD于点E，根据平行线的性质可得∠B+∠BAE=180°，∠C=∠AED，再根据三角形内角和是180度，可求得∠D+∠C+∠DAE的度数，进而可求四边形内角和为360°．
本题考查了平行线的性质的应用，三角形内角和定理，结合转化思想运用平行线的性质解决问题是本题的关键．
2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−1)0的结果为( )
A. 1 B. −1 C. 0 D. 无意义
2. 已知x=2y=1是方程kx−y=3的解，那么k的值是( )
A. 2 B. −2 C. 1 D. −1
3. 数据0.0000037用科学记数法表示为( )
A. 3.7×10−6 B. 3.7×106 C. 3.7×10−5 D. 3.7×105
4. 若a
5. 三角形的两边长分别为6cm和10cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )
A. 17cm B. 16cm C. 4cm D. 5cm
6. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠ACD=108°，∠B=45°，则∠A的度数为( )
A. 45° B. 53° C. 63° D. 65°
7. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠C的度数为( )
A. 100° B. 90° C. 60° D. 30°
8. 若关于x的不等式x≥m−1的解集如图所示，则m的值是( )
A. 1 B. 0 C. −1 D. −2
9. 下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a5 B. 2a2÷a=2 C. (2a)2=2a2 D. a⋅a3=a4
10. 三个连续自然数的平方和一定( )
A. 能够被2整除 B. 能够被3整除 C. 被3除余1 D. 被3除余2
11. 已知点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上的三点，PA=2，PB=2.5，PC=3，则点P到直线l的距离为( )
A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不大于2
12. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是( )
A. a2−x2=(2x+2a)(a−x) B. a2−x2=12(x+a)(a−x)
C. a2−x2=(x+a)(a−x) D. (a−x)2=(x+a)(x−a)
13. 如图，下列能判定AB//CD的条件有( )
①∠B+∠BCD=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14. 如图，直线AB//CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积( )
A. 向左移动变小
B. 向右移动变小
C. 始终不变
D. 无法确定
15. 如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC=4，则BE的长为( )
A. 5 B. 3 C. 4 D. 6
16. 如图，AB//CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE//MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG+∠PMN=∠GPM.其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
17. 分解因式：3m2n−12mn+12n= ______ ．
分解因式：(a−b)x2+4y2(b−a)= ______ ．
计算：2023×512−2023×492的结果是______ ．
18. 说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的反例是______．
19. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.若∠AOE=2∠AOC，则∠BOD的度数为______ °.
20. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C′重合，展开后得到折痕a．
(1)折痕a是△ABC的______ ；(填“角平分线”“中线”或“高”)
(2)若∠BAC′=15°，则∠C比∠B的度数大______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题15.0分)
(1)解方程组：3x−2y=42x+5y=9；
(2)解不等式组：x−32+3≥x+11−3(x−1)<8−x，把解集在数轴上表示出来．
(3)先化简，再求值：(x−3y)(x+3y)−(2x−y)2−y(3x−10y)，其中x=−2，y=12．
22. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.若∠B=56°，∠C=28°，求∠DAE的度数；
23. (本小题10.0分)
骑行过程中佩戴安全头盔.可以保护头部，减少伤害.某商店经销甲、乙两种安全头盔.下表是近两天的销售情况：
时间
甲头盔销量(个)
乙头盔销量(个)
销售额(元)
第一天
10
15
1150
第二天
6
12
810
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价．
(2)若甲、乙两种安全头盔的进价分别为40元/个、30元/个.商店准备用不超过3400元的资金，再购进这两种头盔共100个．
①最多能购进甲种头盔多少个？
②商店销售完这100个头盔能否实现利润为1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由.(注：利润=售价−进价，进价、售价均保持不变.)
24. (本小题7.0分)
数学课上老师提出“请对三角形内角和等于180°进行说理.”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
对∠A+∠B+∠C=180°进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程
证明：过点A做AD//BC
∵AD//BC
∴∠1=∠C
______ = ______ (______ )
∵∠1+∠2+∠BAC=180°(______ )
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，∠A+∠B+∠C+∠D=360°”进行说理.请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵(−1)0=1，
∴(−1)0的结果为1．
故选：A．
根据零指数幂的运算方法：a0=1(a≠0)，求出(−1)0的结果为多少即可．
此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)a0=1(a≠0)；(2)00≠1．
2.【答案】A
【解析】解：把x=2y=1代入方程得：2k−1=3，
解得：k=2，
故选：A．
把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3.【答案】A
【解析】解：0.0000037=3.7×10−6．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.如果a
B.如果a
C.如果a
故选：C．
根据不等式的基本性质分别进行分析即可．
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：设三角形的第三边为xcm，由题意可得：
10−6
故选：D．
根据三角形的三边关系可得10−6
6.【答案】C
【解析】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=108°，∠B=45°，
∴∠A=∠ACD−∠B=108°−45°=63°．
故选：C．
利用外角的性质进行求解即可．
本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，由三角形内角和定理得，
x+3x+5x=180°，
解得x=20°，
即∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，
故选：A．
根据三角形内角和定理列方程求出各个内角的度数．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解决问题的前提．
8.【答案】B
【解析】解：由数轴知x≥−1，
则m−1=−1，
解得：m=0，
故选：B．
由不等式x≥m−1，结合数轴知x≥−1，从而得出不等式m−1=−1，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得到关于m的方程是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：(a2)3=a6，故A不符合题意；
2a2÷a=2a，故B不符合题意；
(2a)2=4a2，故C不符合题意；
a⋅a3=a4，故D符合题意；
故选：D．
根据整式的乘除法则逐个判断．
本题考查整式的乘除，掌握整式的乘除法则是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设中间的自然数为n，则较小的自然数为(n−1)，较大的自然数是(n+1)，
∵(n−1)2+n2+(n+1)2
=n2−2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，而3n2能被3整除，
∴3n2+2能被3除余2，
故选：D．
由代数式表示三个连续自然数的平方和，化简后再判断被3除的结果情况即可．
本题考查有理数的乘方，数的整除，整式的运算，将三个连续自然数的平方和用代数式表示，化简后再判断被3除的结果情况是解决问题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上的三点，PA=2，PB=2.5，PC=3，则点P到直线l的距离为小于或等于2，即不大于2．
故选：D．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
本题考查点到直线的距离，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由题意得：
a2−x2
=12(2x+2a)⋅(a−x)
=12⋅2(x+a)(a−x)
=(x+a)(a−x)，
∴a2−x2=(x+a)(a−x)，
故选：C．
利用面积法，即可解答．
本题考查了平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握面积法是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
故①符合题意；
②∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，
∴AB//CD，
故③符合题意；
④∵∠B=∠5，
∴AB//CD，
故④符合题意；
综上，①③④符合题意，共3个，
故选：C．
根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题．
本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵直线AB//CD，点P是直线AB上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．
本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABC=2S△ABD=10，
∵BE为△ABC的高线，AC=4，
∴S△ABC=12×AC×BE=12×4×BE=10，
∴BE=5．
故选：A．
首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．
16.【答案】D
【解析】解：①由题意得：∠G=∠MPN=90°，
∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，
∴EFN=180°−∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB，如图，
∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH//CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN−∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°−∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°−∠GEF−∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°，
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°−∠MPN=180°−90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故④正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB，可得FH//CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90，即可得出答案．
本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
17.【答案】3n(m−2)2 (a−b)(x+2y)(x−2y) 404600
【解析】解：原式=3n(m2−4m+4)
=3n(m−2)2，
故答案为：3n(m−2)2；
原式=(a−b)(x2−4y2)
=(a−b)(x+2y)(x−2y)，
故答案为：(a−b)(x+2y)(x−2y)；
原式=2023×(512−492)
=2023×(51+49)×(51−49)
=2023×100×2
=404600，
故答案为：404600．
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
提公因式后利用平方差公式因式分解，然后进行计算即可．
本题考查因式分解及有理数运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】a=1，b=−2(答案不唯一)
【解析】解：例如a=1，b=−2，1>−2，但12<(−2)2，
即满足a>b，但不满足a2>b2．
故答案为：a=1，b=−2(答案不唯一)．
找到满足a>b，但不满足a2>b2的一对a、b的值即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握举反例是判断一个命题是假命题的方法，反例就是满足题设但不满足结论的例子．注意本题答案不唯一．
19.【答案】30
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，
∵∠AOE=2∠AOC，
∴2∠AOC+∠AOC=90°，
即3∠AOC=90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°，
故答案为：30．
先根据垂线的定义得出∠COE=90°，再根据∠AOE=2∠AOC即可求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数．
本题考查了垂线和对顶角，熟练掌握由垂直得直角、对顶角相等是解题的关键．
20.【答案】高 15°
【解析】解：(1)∵沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C′重合，展开后得到折痕a．
∴∠ADC=∠ADC′=90°，
∴折痕a是△ABC的高，
故答案为：高；
(2)∵沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C′重合，展开后得到折痕a，
∴AC=AC′，
∴∠C=∠AC′C，
∵∠AC′C=∠B+∠BAC′，
∴∠BAC′=∠AC′C−∠B，
∵∠BAC′=15°，
∴∠AC′C−∠B=15°，
∴∠C−∠B=15°，
∴∠C比∠B的度数大15°，
故答案为：15°．
(1)根据折叠的性质可得，AD是高线；
(2)根据三角形外角的性质知，∠AC′C比∠B大15°，再说明∠C=∠AC′C即可．
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
21.【答案】解：3x−2y=4①2x+5y=9②，
①×2得：6x−4y=8③，
②×得：6x+15y=27④，
④−③得：19y=19，
解得：y=1，
把y=1代入①得：3x−2=4，
解得：x=2，
∴原方程组的解为：x=2y=1；
(2)x−32+3≥x+1①1−3(x−1)<8−x②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−2，
∴原不等式组的解集为：−2
(3)(x−3y)(x+3y)−(2x−y)2−y(3x−10y)
=x2−9y2−(4x2−4xy+y2)−3xy+10y2
=x2−9y2−4x2+4xy−y2−3xy+10y2
=−3x2+xy，
当x=−2，y=12，原式=−3×(−2)2+(−2)×12=−3×4+(−1)=−12−1=−13．
【解析】(1)利用加减消元法进行计算，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
(3)利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，解二元一次方程组，完全平方公式，平方差公式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：在△ABC中，∠B=56°，∠C=28°，
∴∠BAC=180°−56°−28=96°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=48°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−56°=34°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=48°−34°=14°．
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据AE平分∠BAC求出∠BAE的度数，根据AD⊥BC求出∠BAD的度数，由∠DAE=∠BAE−∠BAD即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种头盔的销售单价为x元，乙种头盔的销售单价为y元，
依题意得：10x+15y=11506x+12y=810，
解得：x=55y=40，
答：甲种头盔的销售单价为55元，乙种头盔的销售单价为40元；
(2)①设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，
依题意得：40m+30(100−m)≤3400，
解得：m≤40．
答：最多能购进甲种头盔40个．
②不能实现获利1300的目标，理由如下：
设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，
依题意得：(55−40)m+(40−30)(100−m)=1300，
解得：m=60．
又∵甲种头盔最多购进40个，
∴不能实现获利1300的目标．
【解析】(1)设甲种头盔的销售单价为x元，乙种头盔的销售单价为y元，利用销售总额=销售单价×销售数量，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合进货总价不超过3400元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可；
②设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔(100−m)个，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量)，列出一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合①的结论，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①找出数量关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】∠2 ∠B 两直线平行，内错角相等 平角定义
【解析】证明：∵AD//BC，
∴∠1=∠C，∠2=∠B(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°(平角定义)，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
故答案为：∠2，∠B，两直线平行，内错角相等，平角定义；
证明：如图，作AE//BC，交CD于点E，
∵AE//BC，
∴∠B+∠BAE=180°，∠C=∠AED，
∵∠D+∠DAE+∠AED=180°，
∴∠D+∠C+∠DAE+∠BAE+∠B=180°×2=360°，
即∠D+∠C+∠A+∠B=360°．
故辅助线作法为：作AE//BC，交CD于点E．
利用平行线的性质及平角定义可得解；作AE//BC，交CD于点E，根据平行线的性质可得∠B+∠BAE=180°，∠C=∠AED，再根据三角形内角和是180度，可求得∠D+∠C+∠DAE的度数，进而可求四边形内角和为360°．
本题考查了平行线的性质的应用，三角形内角和定理，结合转化思想运用平行线的性质解决问题是本题的关键．
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