数学八年级上册12.3 角的平分线的性质第2课时教案及反思

这是一份数学八年级上册12.3 角的平分线的性质第2课时教案及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的判定
一、教学目标
1.探究并证明角的平分线的判定定理.
2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.
二、教学重难点
重点：会判断一个点是否在一个角的平分线上.
难点：探究并证明角的平分线的判定定理.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]怎样用文字语言和几何语言叙述角平分线的性质定理？
(文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD=PE.）

教师带领学生复习角平分线的性质定理，为本节课做准备.
【新知探究】
知识点1 角的平分线的判定
[提出问题]如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）学习了今天的内容，我们就能很快地解决这个问题了.(若有个别学生已经能根据“角平分线的性质”回答出答案，此时教师提问:角平分线的性质的题设是已知角平分线,结论是有到角两边距离相等,而此题是要求到角两边距离相等,那这个点在这个角的平分线上吗?这二者有区别吗?"学生晃然明白过来这二者是有区别的,此时教师引导学生分析:“只要后者是正确的,那该同学的回答也就可行了,这便是今天我们要研究的内容"由此引入本节新课.）

[提出问题]我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
[学生猜想]到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(也有一部分学生得不到准确答案）教师鼓励学生按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下他的猜想！
[学生思考]给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒应将文字语言转化为数学语言，同时画出图形，找准“已知”和“求证”，并写出证明过程.之后点名一名学生上台板演，对于错误和不完整的地方，其他学生纠正或补充.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：
如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线OC上.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，
∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
学生有异议的，及时提出，教师予以纠正.
[归纳总结]角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
该性质定理的几何语言：∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.

提醒学生：（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
[提出问题]现在你能解决集贸市场的问题了吗？
[学生回答]教师点名一位学生回答解题过程及依据.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：

解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD=2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.
[提出问题]如图，要在S区建一个集贸市场，使它到两条公路和铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？

[学生回答]作三个角的平分线，交点就是集贸市场的位置.
[提出问题]该做几条角平分线呢？那就让我们一起老探索一下吧！
知识点2 三角形的内角平分线
[提出问题]我们知道三角形有三条内角平分线，你还会画出它的三条内角平分线吗？动手试一试吧？
[实际操作]学生在已经剪好的锐角、直角和钝角三角形卡纸上分别画出它们的三个内角的平分线.之后我们发现：三角形三个内角的角平分线交于 一 点，该交点位于三角形的 内 部.
[提出问题]那么三角形的三条内角平分线的交点到三角形三边的距离有什么特点呢？
[实际操作]学生继续在锐角、直角和钝角三角形卡纸上过交点分别作这三个三角形三边的垂线，并测量每一组垂线段的长度.我们发现：过交点作三角形三边的垂线段 相等 .
[提出问题]由于作图和测量存在误差，我们仍需来证明一下我们的猜想.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证猜想的题目.
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

[学生回答]教师点名一位学生回答它的解题思路，其他学生可进行补充.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

[提出问题]点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
[学生回答]学生集体回答(由PD=PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.)
知识点3 角的平分线的性质定理与判定定理的关系
[课件展示]教师利用多媒体展示如下表格：


学生根据表格中的内容，集体回答；教师引导学生观察所填内容，由不同颜色标注的内容可知角平分线的性质定理中的“已知”变成了角平分线的判定定理中的“结论”.

[归纳总结]

正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
[课件展示]跟踪训练
1.判断，不正确的请说明原因.
①如图，若PD=PE，则OC平分∠AOB.（ × ）

因为PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE均不是角平分线上的点到角两边的距离.
②如图，若点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则OC平分∠AOB.（ × ）

因为没有说明PD与PE的等量关系，只有PD=PE时，OC才平分∠AOB.
③如图，若点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，则OC平分∠AOB.（ √ ）

【课堂小结】

【课堂训练】
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确的个数为（ D ）
A.0 B.1 C.2 D.3

2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　A　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
3.如图, 已知D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.

解:如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴BF∙DM=CE∙DN，∵CE=BF,
∴DM=DN,∴AD平分∠BAC.
4.（教材P51，T2变式）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF.求证：AD平分∠BAC.

证明：∵DE⊥AB, DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90 °.
∵D是BC的中点，∴BD=CD.
在△BDE和△CDF中，
∠DEB=∠DFC，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.
又DE⊥AB, DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
5.（教材P51，T4变式）如图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵点D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠EPD＝∠DPF．
又∵PE∥AB，∴∠EPD＝∠BAD．
同理，∠DPF＝∠CAD．
∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．
6.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
解：如图，作∠AOB的平分线OD，OD与MN的交点即为超市的位置P.

7.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
证明：∵∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠B=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED，
∠B=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.∴CF=CE，即AC平分∠BAD.

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;
AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,已知OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：(1)如图，过点O作OE⊥AB于点E，ON⊥BC于点N.
∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的垂线段相等，
∴OM＝OE=ON=4，∴OM+OE+ON=12，即点O到△ABC三边的距离和为12.
(2)如图，连接OC.
S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB
=AC∙OM+BC∙ON+AB∙OE
=（AC+BC+AB）∙OM=×32×4=64.

【教学反思】
本节是在学生学习了角平分线性质的基础上,进一步研究角平分线判定定理.这是全等三角形知识的运用和延续.这节课我利用课本示例，创设富有吸引力的学习情境,一部分学生能根据角平分线性质定理得到答案，这就很好的能够引出今天的内容（角平分线的性质的题设是已知角平分线,结论是有到角两边距离相等,而此题是要求角两边距离相等,那这个点在这个角的平分线上吗?这二者有区别吗?），之后更改示例,也顺利地引出第二个知识点“三角形三内角平分线”的特征.整个教学过程很顺利，学生通过动手操作也很地掌握了本节课的知识，这也是我今后教学英继续发扬的地方.