北师大版数学八上·7.5 三角形内角和定理（第1课时）（课件+教案+学案+练习）

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第七章 平行线的证明
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第1课时
北师大版数学八年级上册
我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的 位置，你能说明这个结论吗？如果 不移动∠A，那么你还有什么方法 可以达到同样的效果？（2）根据前面给出的基本事实和定理， 你能用自己的语言说说这一结论的 证明思路吗？你能用比较简洁的语 言写出这一证明过程吗？与同伴进 行交流.
1.通过三角形撕拼方法的演示，借助基本事实和定理，能用自己的语言说出三角形内角和定理的证明思路.2.通过小组合作交流，能从不同角度证明三角形内角和定理.3.能借助三角形内角和定理，解决简单的几何问题.
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知识点
三角形内角和定理
已知：如图1，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.
图1
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA(图2)，这样 就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了 ∠2的位置.
图2
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. ∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 2.三角形内角和定理的证明思路： 思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等” 将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图3 ①② . 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4 ①② .
写一写
已知:如图，△ABC.求证:∠A+ ∠ B+ ∠ C=180°.要求:写出每一步的依据
证明:延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，则∠ 1= ∠ A(两直线平行，内错角相等)∠ 2= ∠ B(两直线平行，同位角相等):∠ 1+ ∠ 2+ ∠ ACB=180°(平角的定义） ∠ A+ ∠ B+ ∠ ACB=180 ° （等量代换）.
试一试
1.在△ ABC中， ∠ A=40°， ∠ B=70°，则∠ C=______________2.在△ ABC中， ∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2，则∠ A=________∠ B=______, ∠ C=___________3.在△ABC中， ∠ B= ∠ C， ∠ A= ∠ B+30°，则∠ C=_________
70°
80°
60 °
40°
50 °
∠A，∠B，∠C 是△ABC 的三个内角. （1）已知∠A=40°，∠B= ∠C，求∠B，∠C 的度数； （2）已知∠A- ∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B 的 度数； （3）已知∠A= ∠B= ∠C，求∠A，∠B，∠C 的度 数.导引：紧扣三角形内角和定理建立方程（组）求解.
解：（1）设∠ B= ∠ C=x°， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∴ 40+x+x=180， 解得x=70，∴∠ B= ∠ C=70° . （2） 设∠ A=x°，∠ B=y°， ∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°， ∴ ∴∠ A=71°，∠ B=55°.
（3） ∵∠A = ∠B = ∠C， ∴∠B=2∠A，∠C=3∠A. 设∠ A=x°，则∠ B=2x°，∠ C=3x°， ∵∠A+ ∠B+ ∠C=180°， ∴ x+2x+3x=180. ∴ x=30. ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
求三角形内角的度数的方法：(1)若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形内角和定理求解；(2)若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系； 或不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程（或方程组）求解.
2
知识点
直角三角形两锐角互余
已知：直角三角形ABC中， ∠C＝90°求证： ∠A 与∠B互余.证明： ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和 定理） ∠C＝90°（已知） ∴∠A＋∠B＝90°.(等量减等量差相等) ∴∠A与∠B互余.（两角互为余角的定义）
如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平 分线，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度数．导引：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE， 要求 ∠DAE的度数，需先求出∠BAD和∠BAE 的度数．
解： 在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°. 又因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠BAE＝ 在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°. 又因为AD是高， 所以∠BAD＝180°－20°－90°＝70°. 所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如图，由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°．
D
E
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
280 °
3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.
课堂小结
三角形的内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °