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第07讲 AAS，HL证全等及角平分线的性质-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）
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这是一份第07讲 AAS，HL证全等及角平分线的性质-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版），文件包含第07讲AASHL证全等及角平分线的性质人教版解析版docx、第07讲AASHL证全等及角平分线的性质人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
·模块一 两角及对边证全等
·模块二 斜边及一条直角边证全等
·模块三 角平分线的性质
·模块四 课后作业
模块一
两角及对边证全等
全等三角形的判定
角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用AAS判定三角形全等】
【例1.1】如图，AB=AC，若利用“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是（ ）
A．AD=AEB．∠B=∠CC．BE=CDD．∠AEB=∠ADC
【答案】D
【分析】找到根据“AAS”判定△ABE≌△ACD需要的条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是∠AEB=∠ADC，理由是：
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACDAAS，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【例1.2】如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析
【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF
【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
【例1.3】如图，已知AD=AE，∠B=∠C，则图中全等的三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【分析】根据ASA推出△ABE≅△ACD，求出∠ADC=∠AEB，AB=AC，根据全等三角形的判定推出△DOB≅△EOC，△AOB≅△AOC，△AOD≅△AOE即可．
【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∠B=∠CAD=AE∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≅△ACD（ASA），
∴∠ADC=∠AEB，AB=AC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴AB−AD=AC−AE，
即BD=CE，
在△DOB和△EOC中，
∠B=∠C∠BOD=∠COEBD=CE，
∴△DOB≅△EOC（AAS），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，
OB=OC∠B=∠CAB=AC，
∴△AOB≅△AOC（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
在△AOD和△AOE中，
AB=AC∠BAO=∠CAOAO=AO，
∴△AOD≅△AOE（SAS），
即全等三角形有4对，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【变式1.1】如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是______．
【答案】∠B=∠D
【分析】根据“AAS”表示的意义添加条件即可．
【详解】∵∠ACB=∠ACD，AC=AC，
∴要使要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC需添加的一个条件是∠B=∠D，
故答案为：∠B=∠D．
【点睛】本题考查用AAS证明全等，“AAS”表示的意义是：已知两个角及一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．
【变式1.2】如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到△ADF≌△CBE是（ ）
A．∠B＝∠DB．EB=DFC．AD=BCD．AE=CF
【答案】A
【分析】直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS、SAS、AAS、ASA；
【详解】A∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，∠B=∠D，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；
B∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，EB=DF，符合AAS的判定，该选项符合题意；
C∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AD=BC，符合AAS的判定，该选项符合题意；
D∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AE=CF，∴AF=CE，符合ASA的判定，该选项符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键
【变式1.3】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【答案】△ADC与△CEB全等，证明见解析
【分析】先证明∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB，即可求解．
【详解】解：△ADC与△CEB全等
理由如下：
根据题意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;
在Rt△ADC中，∠CAD+∠ACD=90°,
又∵∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE,AC=CB.
∴△ADC≌△CEBAAS
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点2 AAS判定定理的应用】
【例2.1】如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O=90°），若OA=40cm，OB=30cm，则点C离地面的距离是_____cm．
【答案】30
【分析】如图，过点C作CD⊥OB于点D，构造全等三角形△AOB≌△BDC(AAS)，由全等三角形的对应边相等得到OB=CD．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠O=∠ABC=∠BDC=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△AOB与△BDC中，
∠O=∠BDC∠1=∠2AB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)．
∴OB=CD=30cm．
故答案是：30．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【例2.2】如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：①△ABD≌△ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④△BCE≌△BAD．其中正确结论的序号是____．
【答案】①②③
【分析】根据三角形全等的性质与判定分别对结论进行分析即可解得答案．
【详解】解：∵在△ABD和△ACF中，
∠ADB＝∠AFC∠ABD=∠ACFAB=AC
∴△ABD≅△ACFAAS，故①正确；
∴AD=AF，∠DAB=∠FAC，
∵∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
∴∠DAF=∠BAC，故②③正确；
∵没有条件能够证明△BCE≅△BAD，故④不正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理是解题的关键．
【例2.3】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB=5，再由三角形的三边关系可得2【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠B=∠DCE,∠BAD=∠E，
在△ABD和△ECD中，
∠B=∠DCE∠BAD=∠EBD=CD，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB=5,AD=ED，
∵AC=7，AC−CE即2∴1∴AD的取值不可能是6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意得到△ABD≌△ECD是解题的关键．
【变式2.1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F．若BF=AC，CD=3，BD=8，则线段AF的长度为________．
【答案】5
【分析】先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD=CD=3，AD=BD=8，即可算出AF的长．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠BDF=∠AEB=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠C+∠DBF=90°，
∴∠DAC=∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
∵∠ADC=∠BDF∠DAC=∠DBFAC=BF，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD=FD=3，AD=BD=8，
∴AF=AD−FD=8−3=5，
∴AF=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【变式2.2】如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF=6，AD=4，则BD=________．
【答案】2
【分析】证明△ABE≌△CFE，得到AB=CF=6，则BD=AB−AD=2．
【详解】解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ECF，∠B=∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE=FE，
∴△ABE≌△CFEAAS，
∴AB=CF=6，
∴BD=AB−AD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【变式2.3】如图在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，作∠BDE=∠B，交BC于点E，求证：CA=CE．
【答案】见解析
【分析】根据三角形外角的性质以及∠BDE=∠B，∠A=2∠B，得出∠A=∠CED，再根据AAS证明△ACD≌△ECD即可得出结论．
【详解】证明：∵∠BDE=∠B，
∴∠CED=∠B+∠BDE=2∠B，
又∵∠A=2∠B，
∴∠A=∠CED，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
∠ACD=∠ECD∠A=∠CEDCD=CD，
∴△ACD≌△ECDAAS，
∴CA=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上各性质定理是解题的关键．
模块二
斜边及一条直角边证全等
全等三角形的判定
斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
【考点1 用HL判定直角三角形全等】
【例1.1】如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【答案】A
【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．
【详解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，
∴△AOB和△COD是直角三角形，
AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，
所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD，
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．
【例1.2】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．有两条直角边对应相等B．有一条斜边和一个锐角对应相等
C．有一条直角边和一条斜边对应相等D．有两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】解：A、符合判定SAS，故本选项不符合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项不符合题意；
C、符合判定HL，故本选项不符合题意．
D、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：HL，SAS，ASA，SSS，AAS．
【例1.3】如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
求证：△ABM≌△DCN．
【答案】见解析
【分析】HL证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵BN=CM，
∴BN+MN=CM+MN，即BM=CN．
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB=∠DNC=90°．
在Rt△ABM和Rt△DCN中，BM=CNAB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCNHL．
【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握HL证明三角形全等，是解题的关键．
【变式1.1】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，AC=CE，B，C，D三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A．AB=CDB．AB=DEC．∠ACE=90°D．∠A+∠E=90°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．
【详解】解：∵∠B=∠D,AC=CE，
A、AB=CD，满足HL的条件，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意；
B、AB=DE，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、∠ACE=90°，得到∠ACB=∠E，满足AAS，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意；
D、∠A+∠E=90°，得到∠ACB=∠E，满足AAS，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．
【变式1.2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件直接利用HL证明即可求解．
【详解】证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在Rt△BDE与Rt△CDF中
BD=CDDE=DF
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= ______．
【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△QPAHL，此时AP=BC=6，可据此求出P的位置；②Rt△QPA≌Rt△BACHL，此时AP=AC=12，点P与点C重合．
【详解】解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
AP=CBAB=QP
∴Rt△ABC≌Rt△QPAHL，
∴AP=BC=6；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△QPA与Rt△ABC中，
AP=ACQP=AB
∴Rt△QPA≌Rt△BACHL，
∴AP=AC=12，
∴当点P与点C重合时，Rt△ABC才能和Rt△QPA全等，
综上所述，AP=6或12，
故答案为：6或12．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
【考点2 HL判定定理的应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD，若AC＝8cm，则AE+DE的值为（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【答案】B
【分析】由条件可证明Rt△CBE≌Rt△DBE，则可求得DE=EC，可求得答案．
【详解】∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△CBE和Rt△DBE中，
BE=BEBC=BD
∴Rt△CBE≌Rt△DBEHL，
∴CE=DE，
∴AE+DE=AE+CE=AC=8cm
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握HL证全等及边的转换．
【例2.2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．120°
【答案】C
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【详解】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EFAC=DF ，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°，
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
【例2.3】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC=DB，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则△ADE的周长是___．
【答案】6cm/6厘米
【分析】如图，连接BE．证明Rt△BDE≌Rt△BCEHL，可得CE=DE，再利用三角形的周长公式可得答案．
【详解】解：如图，连接BE．
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠C=90°．
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
BC=BDBE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCEHL，
∴CE=DE，
∴△ADE的周长
=AE+AD+DE=AD+AE+CE=AD+AC=AB−BC+AC=5−3+4=6cm．
故答案是：6cm．
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明Rt△BDE≌Rt△BCEHL是解本题的关键．
【变式2.1】如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB∥CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．
(1)求证：ΔABC≅ΔECD
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC⊥DE，理由见解析
【分析】（1）根据HL即可证明△ABC≌△ECD．
（2）根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．
【详解】（1）解：
在Rt△ABC和Rt△ECD中AC=DEAB=EC，
∴△ABC≌△ECD．
（2）解：AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA=∠CDE，
∵∠B=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
∴∠DFC=180°−(∠CDE+∠ACD)=90°，
∴AC⊥DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2.2】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF=________________．
【答案】55°/55度
【分析】利用HL证明Rt△BED≌Rt△CDF得到∠B=∠C，利用三角形外角的性质求出∠C的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BED=∠CDF，
在Rt△BED和Rt△CDF中，
BD=CFBE=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CDFHL，
∴∠B=∠C，∠BDE=∠CFD，
∵∠AFD=145°=∠C+∠CDF，
∴∠C=∠AFD−∠CDF=55°，
∴∠B=∠C=55°，
∵∠BDE+∠EDF=∠FDB=∠C+∠DFC，
∴∠EDF=∠C=55°；
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明Rt△BED≌Rt△CDF得到∠B=∠C，∠BDE=∠CFD是解题的关键．
【变式2.3】如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：点D是EF的中点．
【答案】见解析
【分析】由直角三角形全等的“HL”判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，再由直角三角形全等的“HL”判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，即可得到结论．
【详解】证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
AB=BCBD=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CBDHL，
∴AD=CD，
∵ AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F=90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
AE=CFAD=CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDFHL，
∴DE=DF，
∴点D是EF的中点．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，中点的定义，根据全等三角形的性质证得AD=CD是解决问题的关键．
模块三
角平分线的性质
1.角平分线的作法
a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
b.分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，相交于点P；
c.画射线OP,OP即为所求角平分线。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【考点1 角平分线的作法】
【例1.1】如图，利用尺规作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，以m为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；②分别以点D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．则m，n需要满足的条件是（ ）
A．m，n均无限制B．m>0，n>12DE的长度
C．m有最小限制，n无限制D．m≥0，n<12DE的长度
【答案】B
【分析】根据角平分线的作法，进行判断即可．
【详解】解：由角平分线的作图可知：
以点O为圆心，任意长为半径画弧，可知：m>0；
分别以点D，E为圆心，以12DE的长度为半径画弧，可知：n>12DE的长度；
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的作图．熟练掌握角平分线的作图方法，是解题的关键．
【例1.2】如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、l2于点D、E；分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F；作射线AF交l1于点B．若∠BCA=130°，则∠1的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．50°
【答案】B
【分析】根据作图可知AB是∠CAE的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵l1∥l2，
∴∠BCA+∠CAE=180°
∵∠BCA=130°，
∴∠CAE=50°
根据作图可知AB是∠CAE的角平分线，
∴∠1=12∠CAB=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【例1.3】如图，已知在△ABC中，∠A=70°．
(1)分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求∠BOC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BOC的度数125°
【分析】（1）利用基本作图，作∠B，∠C的平分线即可；
（2）由OB平分∠B，OC平分∠C得∠OBC=12∠B，∠OCB=12∠C，从而求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，点O即为所作：
；
（2）解：∵ OB平分∠B，OC平分∠C，
∴∠OBC=12∠B，∠OCB=12∠C，
∴∠OBC+∠OCB=12∠B+∠C=12180°−∠A=90°−12∠A=90°−12×70°=55°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−55°=125°，
∴ ∠BOC的度数125°．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式1.1】利用尺规，作∠AOB的平分线，并说明理由．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，则OP即为∠AOB的平分线．
【详解】解：如图，射线OP即为所求．
在△OPM和△OPN中
OM=ONPM=PNOP=OP，
∴△OPM≌△OPN，
∴∠POM=∠PON，
∴OP为∠AOB的平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的作图步骤是解答本题的关键．
【考点2 角平分线的性质】
【例2.1】点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则关于PD长度的选项正确的是（ ）
A．PD>3B．PD≥3C．PD<3D．PD≤3
【答案】B
【分析】过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC与N，由角平分线的性质得PN=PM=3，由点到直线的距离垂线段最短得出PD≥PN即可解答．
【详解】如图，过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC与N，
∵BP平分∠ABC，点P到BA边的距离等于3，
∴PN=PM=3，
∴PD≥PN=3．
故选：B．
【点睛】本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．
【例2.2】如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为12，则点O到AC的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设点O到AC的距离为x，根据角平分线的性质定理可知点O到AB、BC、AC的距离都为x，再根据三角形面积列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设点O到AC的距离为x，
∵点O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB、BC、AC的距离都为x，
∵△ABC的面积和周长都为12，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB⋅x+12BC⋅x+12AC⋅x=12AB+BC+ACx=12×12x=12，
∴x=2，
即点O到AC的距离为2，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题关键．
【例2.3】如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC=80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是___________．
【答案】50°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=12∠ABC,∠ECD=12∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴12∠ACD=∠BEC+12∠ABC，
∴12(∠ABC+∠BAC)=∠BEC+12∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BEC=40°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD，
∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=12(180°−∠BAC)=12(180°−80°)=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE是△ABC外角的平分线．
【变式2.1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC=m，BE=n，则△BDE的周长为________．
【答案】m+n/n+m
【分析】根据角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△ACD≅Rt△AED，得到AC=AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≅Rt△AED，
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠B=∠BDE=45°，
∴DE=BE=n，
∵AC=BC=m，
∴BD=BC−CD=m−n，
∴△BDE的周长为：
=BD+DE+BE
=BE+BC，
=AC+BE，
=m+n
故答案为：m+n
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式2.2】如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB=3，DE=2，则△ABD的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，首先根据角平分线性质定理得到DF=DE=2，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2，
∴DF=DE=2，
∵AB=3，
∴△ABD的面积=12AB⋅DF=12×3×2=3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【变式2.3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
(1)若∠C=32°，求∠A的度数．
(2)画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB=3，BC=4，求DE的长．（画图工具不限）
【答案】(1)∠A=58°
(2)作图见解析；DE=127
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠A的度数即可；
（2）根据题意作图，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据S△ABC=S△ABD+S△CBD得出12AB+BC×DE=6，求出DE即可．
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=32°，
∴∠A=90°−∠C=90°−32°=58°；
（2）解：如图，BD为所求作的角平分线，DE为所求作的垂线；
过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=12×AB×BC=12×3×4=6，
又∵S△ABC=S△ABD+S△CBD
=12AB×DE+12BC×DF
=12AB+BC×DE，
∴12AB+BC×DE=6，
即123+4×DE=6，
∴DE=127．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
【变式2.4】如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB=5，AD=3，CD=6，且S△ACD=12，求△ABE的面积．
【答案】(1)40°；
(2)证明见解析；
(3)203．
【分析】（1）根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=140°，再根据∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
（2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH，进而得到EG=EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EH=83，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积．
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠AEF=50°，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=100°，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=140°−100°=40°，
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
由（1）可知，∠EAF=∠CAD=40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH，
∴EG=EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD=12，
∴S△ADE+S△CDE=12
∴12AD⋅EG+12CD⋅EH=12
∵AD=3，CD=6，EG=EH，
∴12×3×EH+12×6×EH=12，
∴EH=83
∴EF=83
∵AB=5
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×5×83=203．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
【考点3 角平分线的判定】
【例3.1】如图，已知点 P 在△ABC 的外部，在∠DAE 的内部，若点 P 到 BD，CE 的距离相 等，则下列关于点 P 的位置的说法中，正确的是( )
A．在∠DBC 的平分线上B．在∠BCE 的平分线上
C．在∠DAE 的平分线上D．在∠A 和∠DBC 的平分线的交点处
【答案】C
【分析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点 P 到 BD，CE 的距离相等进行思考可得出结论．
【详解】解: ∵点 P 到 BD，CE 的距离相等,
∴点P在∠DAE 的平分线上,
无法证明在其余角的角平分线上.
故选C.
【点睛】本题考查了角平分线性质的逆定理,即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,属于基础题,要熟练掌握.
【例3.2】如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有______处?(阴影部分不能修建超市)
【答案】3
【分析】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是ΔABC内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．
【详解】解：如图所示，ΔABC的内角平分线的交点O1，外角平分线的交点O2,O3,O4，
∵阴影部分不能修建超市，
∴ O4不能修建超市，
故满足条件的修建点共有3处，即点O1,O2,O3；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是解答此题的关键．
【例3.3】如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上：②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB=OC，以上结论正确的有（ ）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，根据角平分线的性质可得OD=OE=OF，进而判断①②，连接AO，结合①②的结论，进而可得△AOD≌△AOF,△ODB≌△OFC,假设③成立，进而得出AB=AC，根据题意无法证明AB=AC，进而判断③；
【详解】过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，如图，
∵点O是△ABC的两个外角平分线的交点，
∴OD=OE,OE=OF，
∴ OD=OE=OF,OD=OF，
∴点O到△ABC的三边的距离相等；
故②正确；
∵ OD⊥AB,OF⊥AC，
∴点O在∠A的平分线上，
故①正确；
连接AO，
假设OB=OC，
∵OD=OF,AO是∠BAC的角平分线， OD⊥AB,OF⊥AC，
∴∠OAD=∠OAF，∠ADO=∠AFO=90°，
∴ △AOD≌△AOF,△ODB≌△OFC，
∴AD=AF,DB=CF，
∴AD−BD=AF−CF，
即AB=AC，
∵AB不一定等于AC，
故③不成立；
故正确的有①②．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．
【变式3.1】如下图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是________________．
【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】根据角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上，可得OP平分∠AOB．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E和F，
∵两把完全相同的长方形直尺宽度相同，
∴PE=PF，
∴ OP平分∠AOB．
故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，熟知角平分线的性质是解题的关键．
【变式3.2】如图所示，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠AOQ=________．
【答案】35°/35度
【分析】根据条件证明OQ是∠AOB的角平分线，即可求得．
【详解】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD，
∴OQ是∠AOB的角平分线，
∴∠AOQ=12∠AOB，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=12∠AOB=12×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
【变式3.3】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．
【答案】证明见解析
【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，
∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，
∴DE=DG，DF=DG，
∴DE=DF，
又DE⊥BA，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的外角平分线．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
模块四
课后作业
1．如图，已知AD⊥BD，BC⊥AC，AC=BD．则△CAB≌△DBA的理由是（ ）
A．HLB．SASC．AASD．ASA
【答案】A
【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
AB=BAAC=BD，
∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
2．如图，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B，BD=AC．根据这些条件不能推出的结论是（ ）
A．AD∥BC B．AD=BCC．AC平分∠DABD．∠C=∠D
【答案】C
【分析】根据DA⊥AB，CB⊥AB就可以肯定答案A可以推出，再由条件可以得到Rt△DAB≌Rt△CBAHL，就可以推出AD=BC与∠C=∠D，而AC平分∠DAB无法得到论证．
【详解】解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC， 故答案A可以推出．
又∵在Rt△DAB与Rt△CBA中， AB=BA，BD=AC，
∴Rt△DAB≌Rt△CBAHL，
∴AD=BC，∠C=∠D，
∴答案B、D均可以推出．
∴只有C无法推出，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性质，用排除法解决选择题是常用的方法，也是解决本题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=4cm，则AD+DE等于（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【答案】A
【分析】利用“HL”得到Rt△BED≌Rt△BCD，利用全等三角形对应边相等得到DC=DE，最后根据AD+DC=AC，等量代换即可确定出AD+DE的长．
【详解】∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，BD=BDBE=BC，
∴Rt△BED≌Rt△BCD(HL)，
∴DC=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=4cm．
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
4．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为( )
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【答案】C
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC,AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=4，即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=∠DEB,
在△ABC和△EDB中，
∠ACB=∠DBC∠A=∠DEB,AB=DE
∴△ABC≌△EDB(AAS),
∴BD=BC,AC=BE,
∵E是BC的中点，BD=8cm,
∴AC=BE=12BC=12BD=4cm，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，找准全等的三角形是解决本题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是（ ）
A．1B．32C．2D．52
【答案】C
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，由题意可知，AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得BG=GH=1，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
由题意可得：AG平分∠BAC，
∵BG⊥AB，GH⊥AC，
∴BG=GH=1，
∴S△ACG=12×GH×AC=12×1×4=2，
故选：C．
【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作法和角平分线的性质是解题的关键．
6．如图，公路MN∥PQ，公路AB交公路MN于A，交公路PQ于B，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】B
【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．
【详解】解：∵∠BAN和∠ABQ的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∵∠BAM和∠ABP的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个；
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
7．如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，∠BPC=130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
【答案】B
【分析】先根据点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF得到BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=80°，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，
∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∵∠BPC=130° ，
∴∠PBC+∠PCB=50°,
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2∠PBC+∠PBC=100°，
∴∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB=180°−100°=80°．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
8．如图，已知AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且BF∥CE，连接BF，CE，下列说法中：①BD=CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC=∠CDE；④CE=AE．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，判断出①正确；然后根据平行线的性质得出∠F=∠DEC，利用“AAS”证明△BDF≌△CDE，判断出②正确；根据三角形外角性质判定③正确；不能判定CE=AE，则④错误．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，故①正确，
∵BF∥CE，
∴∠F=∠DEC，
在△BDF和△CDE中，
∠F=∠DEC∠BDF=∠CDEBD=CD，
∴△BDF≌△CDEAAS，故②正确，
在△BDA中，∠BAF+∠ABC=∠CDE，故③正确；
没有理由能判定CE=AE，则④错误．
综上，正确的有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
9．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，且CD=EF．若要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还应添加的条件是______．
【答案】AC=BE
【分析】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，只需要添加斜边相等，即可求解．
【详解】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，只需要添加斜边相等，
∴需要添加的条件是AC=BE，
故答案为：AC=BE．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等判定的方法，“HL”指的是一直角边一斜边．
10．如图△ABC中，AD⊥BC于D．BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，BD=5，CD=3，则AF的大小是___________．
【答案】2
【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，DF=DC即可解决问题；
【详解】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
∠CAD=∠FBD∠BDF=∠ADCBF=AC，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，
∴BD=AD=5，DF=DC=3，
∴AF=AD−DF=5−3=2，
故答案为：2．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
11．如图，已知△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高，则图中全等三角形共有_______对．
【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=A1B1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1，根据高的定义求出∠ADB=∠A1D1B1=90°，∠ADC=∠A1D1C1=90°，根据AAS推出两个三角形全等即可．
【详解】解：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB=A1B1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1，
∵AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高，
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，∠ADC=∠A1D1C1=90°，
在△ABD和△A1B1D1中，
∠ADB=∠A1D1B1∠B=∠B1AB=A1B1，
∴△ABD≌△A1B1D1AAS，
同理△ACD≌△A1C1D1，
除已知两三角形全等外，有△ABD≌△A1B1D1，△ACD≌△A1C1D1，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
12．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】见详解．
【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
CD=CECM=CN，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE=BE，AD与BE相交于点F．求证：EF=EC．
【答案】见解析
【分析】根据AAS证明△AEF和△BEC全等，即可得到结论．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAC=90°−∠C，
∴∠DAC=∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
∠EAF=∠EBC∠AEF=∠BECAE=BE，
∴△AEF≌△BEC(AAS)，
∴EF=EC．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△AEF和△BEC全等．
14．已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．
(1)求证：∠DAC=∠B；
(2)猜想线段AF、BC的关系．
【答案】(1)见解析
(2)BC=2AF
【分析】（1）由题意可以作辅助线即作DG⊥AC的延长线于G，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）在第一问的基础上由三角形的全等可以得到关系．
【详解】（1）解：证明：如图所示：作DG⊥AC的延长线于G，
∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°−∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°−∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；
（2）∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△ADG和△BAC中，
∠AGD=∠ACB∠DAG=∠BAD=AB ，
∴△ADG≌△BAC(AAS)，
∴DG=AC；AG=BC，
∵AC=AE，
∴DG=AE，
在△AEF和△GDF中，
∠DFG=∠EFA∠EAF=∠DGCDG=AE ，
∴△AEF≌△GDF(AAS)，
∴AF=GF=12AG=12BC，
∴BC=2AF．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，关键是构造全等的三角形．
·模块一 两角及对边证全等
·模块二 斜边及一条直角边证全等
·模块三 角平分线的性质
·模块四 课后作业
模块一
两角及对边证全等
全等三角形的判定
角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用AAS判定三角形全等】
【例1.1】如图，AB=AC，若利用“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是（ ）
A．AD=AEB．∠B=∠CC．BE=CDD．∠AEB=∠ADC
【答案】D
【分析】找到根据“AAS”判定△ABE≌△ACD需要的条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是∠AEB=∠ADC，理由是：
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACDAAS，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【例1.2】如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析
【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF
【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
【例1.3】如图，已知AD=AE，∠B=∠C，则图中全等的三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【分析】根据ASA推出△ABE≅△ACD，求出∠ADC=∠AEB，AB=AC，根据全等三角形的判定推出△DOB≅△EOC，△AOB≅△AOC，△AOD≅△AOE即可．
【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∠B=∠CAD=AE∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≅△ACD（ASA），
∴∠ADC=∠AEB，AB=AC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴AB−AD=AC−AE，
即BD=CE，
在△DOB和△EOC中，
∠B=∠C∠BOD=∠COEBD=CE，
∴△DOB≅△EOC（AAS），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，
OB=OC∠B=∠CAB=AC，
∴△AOB≅△AOC（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
在△AOD和△AOE中，
AB=AC∠BAO=∠CAOAO=AO，
∴△AOD≅△AOE（SAS），
即全等三角形有4对，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【变式1.1】如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是______．
【答案】∠B=∠D
【分析】根据“AAS”表示的意义添加条件即可．
【详解】∵∠ACB=∠ACD，AC=AC，
∴要使要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC需添加的一个条件是∠B=∠D，
故答案为：∠B=∠D．
【点睛】本题考查用AAS证明全等，“AAS”表示的意义是：已知两个角及一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．
【变式1.2】如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到△ADF≌△CBE是（ ）
A．∠B＝∠DB．EB=DFC．AD=BCD．AE=CF
【答案】A
【分析】直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS、SAS、AAS、ASA；
【详解】A∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，∠B=∠D，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；
B∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，EB=DF，符合AAS的判定，该选项符合题意；
C∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AD=BC，符合AAS的判定，该选项符合题意；
D∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AE=CF，∴AF=CE，符合ASA的判定，该选项符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键
【变式1.3】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【答案】△ADC与△CEB全等，证明见解析
【分析】先证明∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB，即可求解．
【详解】解：△ADC与△CEB全等
理由如下：
根据题意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;
在Rt△ADC中，∠CAD+∠ACD=90°,
又∵∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE,AC=CB.
∴△ADC≌△CEBAAS
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点2 AAS判定定理的应用】
【例2.1】如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O=90°），若OA=40cm，OB=30cm，则点C离地面的距离是_____cm．
【答案】30
【分析】如图，过点C作CD⊥OB于点D，构造全等三角形△AOB≌△BDC(AAS)，由全等三角形的对应边相等得到OB=CD．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠O=∠ABC=∠BDC=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△AOB与△BDC中，
∠O=∠BDC∠1=∠2AB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)．
∴OB=CD=30cm．
故答案是：30．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【例2.2】如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：①△ABD≌△ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④△BCE≌△BAD．其中正确结论的序号是____．
【答案】①②③
【分析】根据三角形全等的性质与判定分别对结论进行分析即可解得答案．
【详解】解：∵在△ABD和△ACF中，
∠ADB＝∠AFC∠ABD=∠ACFAB=AC
∴△ABD≅△ACFAAS，故①正确；
∴AD=AF，∠DAB=∠FAC，
∵∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
∴∠DAF=∠BAC，故②③正确；
∵没有条件能够证明△BCE≅△BAD，故④不正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理是解题的关键．
【例2.3】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB=5，再由三角形的三边关系可得2
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠B=∠DCE,∠BAD=∠E，
在△ABD和△ECD中，
∠B=∠DCE∠BAD=∠EBD=CD，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB=5,AD=ED，
∵AC=7，AC−CE
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意得到△ABD≌△ECD是解题的关键．
【变式2.1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F．若BF=AC，CD=3，BD=8，则线段AF的长度为________．
【答案】5
【分析】先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD=CD=3，AD=BD=8，即可算出AF的长．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠BDF=∠AEB=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠C+∠DBF=90°，
∴∠DAC=∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
∵∠ADC=∠BDF∠DAC=∠DBFAC=BF，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD=FD=3，AD=BD=8，
∴AF=AD−FD=8−3=5，
∴AF=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【变式2.2】如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF=6，AD=4，则BD=________．
【答案】2
【分析】证明△ABE≌△CFE，得到AB=CF=6，则BD=AB−AD=2．
【详解】解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ECF，∠B=∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE=FE，
∴△ABE≌△CFEAAS，
∴AB=CF=6，
∴BD=AB−AD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【变式2.3】如图在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，作∠BDE=∠B，交BC于点E，求证：CA=CE．
【答案】见解析
【分析】根据三角形外角的性质以及∠BDE=∠B，∠A=2∠B，得出∠A=∠CED，再根据AAS证明△ACD≌△ECD即可得出结论．
【详解】证明：∵∠BDE=∠B，
∴∠CED=∠B+∠BDE=2∠B，
又∵∠A=2∠B，
∴∠A=∠CED，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
∠ACD=∠ECD∠A=∠CEDCD=CD，
∴△ACD≌△ECDAAS，
∴CA=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上各性质定理是解题的关键．
模块二
斜边及一条直角边证全等
全等三角形的判定
斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
【考点1 用HL判定直角三角形全等】
【例1.1】如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【答案】A
【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．
【详解】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，
∴△AOB和△COD是直角三角形，
AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，
所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD，
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．
【例1.2】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．有两条直角边对应相等B．有一条斜边和一个锐角对应相等
C．有一条直角边和一条斜边对应相等D．有两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】解：A、符合判定SAS，故本选项不符合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项不符合题意；
C、符合判定HL，故本选项不符合题意．
D、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：HL，SAS，ASA，SSS，AAS．
【例1.3】如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
求证：△ABM≌△DCN．
【答案】见解析
【分析】HL证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵BN=CM，
∴BN+MN=CM+MN，即BM=CN．
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB=∠DNC=90°．
在Rt△ABM和Rt△DCN中，BM=CNAB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCNHL．
【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握HL证明三角形全等，是解题的关键．
【变式1.1】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，AC=CE，B，C，D三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A．AB=CDB．AB=DEC．∠ACE=90°D．∠A+∠E=90°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．
【详解】解：∵∠B=∠D,AC=CE，
A、AB=CD，满足HL的条件，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意；
B、AB=DE，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、∠ACE=90°，得到∠ACB=∠E，满足AAS，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意；
D、∠A+∠E=90°，得到∠ACB=∠E，满足AAS，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．
【变式1.2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件直接利用HL证明即可求解．
【详解】证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在Rt△BDE与Rt△CDF中
BD=CDDE=DF
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= ______．
【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△QPAHL，此时AP=BC=6，可据此求出P的位置；②Rt△QPA≌Rt△BACHL，此时AP=AC=12，点P与点C重合．
【详解】解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
AP=CBAB=QP
∴Rt△ABC≌Rt△QPAHL，
∴AP=BC=6；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△QPA与Rt△ABC中，
AP=ACQP=AB
∴Rt△QPA≌Rt△BACHL，
∴AP=AC=12，
∴当点P与点C重合时，Rt△ABC才能和Rt△QPA全等，
综上所述，AP=6或12，
故答案为：6或12．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
【考点2 HL判定定理的应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD，若AC＝8cm，则AE+DE的值为（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【答案】B
【分析】由条件可证明Rt△CBE≌Rt△DBE，则可求得DE=EC，可求得答案．
【详解】∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△CBE和Rt△DBE中，
BE=BEBC=BD
∴Rt△CBE≌Rt△DBEHL，
∴CE=DE，
∴AE+DE=AE+CE=AC=8cm
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握HL证全等及边的转换．
【例2.2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．120°
【答案】C
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【详解】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EFAC=DF ，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°，
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
【例2.3】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC=DB，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则△ADE的周长是___．
【答案】6cm/6厘米
【分析】如图，连接BE．证明Rt△BDE≌Rt△BCEHL，可得CE=DE，再利用三角形的周长公式可得答案．
【详解】解：如图，连接BE．
∵DE⊥AB，
∴∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠C=90°．
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
BC=BDBE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCEHL，
∴CE=DE，
∴△ADE的周长
=AE+AD+DE=AD+AE+CE=AD+AC=AB−BC+AC=5−3+4=6cm．
故答案是：6cm．
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明Rt△BDE≌Rt△BCEHL是解本题的关键．
【变式2.1】如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB∥CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．
(1)求证：ΔABC≅ΔECD
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC⊥DE，理由见解析
【分析】（1）根据HL即可证明△ABC≌△ECD．
（2）根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．
【详解】（1）解：
在Rt△ABC和Rt△ECD中AC=DEAB=EC，
∴△ABC≌△ECD．
（2）解：AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA=∠CDE，
∵∠B=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
∴∠DFC=180°−(∠CDE+∠ACD)=90°，
∴AC⊥DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2.2】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF=________________．
【答案】55°/55度
【分析】利用HL证明Rt△BED≌Rt△CDF得到∠B=∠C，利用三角形外角的性质求出∠C的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BED=∠CDF，
在Rt△BED和Rt△CDF中，
BD=CFBE=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CDFHL，
∴∠B=∠C，∠BDE=∠CFD，
∵∠AFD=145°=∠C+∠CDF，
∴∠C=∠AFD−∠CDF=55°，
∴∠B=∠C=55°，
∵∠BDE+∠EDF=∠FDB=∠C+∠DFC，
∴∠EDF=∠C=55°；
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明Rt△BED≌Rt△CDF得到∠B=∠C，∠BDE=∠CFD是解题的关键．
【变式2.3】如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：点D是EF的中点．
【答案】见解析
【分析】由直角三角形全等的“HL”判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，再由直角三角形全等的“HL”判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，即可得到结论．
【详解】证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
AB=BCBD=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CBDHL，
∴AD=CD，
∵ AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F=90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
AE=CFAD=CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDFHL，
∴DE=DF，
∴点D是EF的中点．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，中点的定义，根据全等三角形的性质证得AD=CD是解决问题的关键．
模块三
角平分线的性质
1.角平分线的作法
a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
b.分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，相交于点P；
c.画射线OP,OP即为所求角平分线。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【考点1 角平分线的作法】
【例1.1】如图，利用尺规作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，以m为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；②分别以点D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．则m，n需要满足的条件是（ ）
A．m，n均无限制B．m>0，n>12DE的长度
C．m有最小限制，n无限制D．m≥0，n<12DE的长度
【答案】B
【分析】根据角平分线的作法，进行判断即可．
【详解】解：由角平分线的作图可知：
以点O为圆心，任意长为半径画弧，可知：m>0；
分别以点D，E为圆心，以12DE的长度为半径画弧，可知：n>12DE的长度；
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的作图．熟练掌握角平分线的作图方法，是解题的关键．
【例1.2】如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、l2于点D、E；分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F；作射线AF交l1于点B．若∠BCA=130°，则∠1的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．50°
【答案】B
【分析】根据作图可知AB是∠CAE的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵l1∥l2，
∴∠BCA+∠CAE=180°
∵∠BCA=130°，
∴∠CAE=50°
根据作图可知AB是∠CAE的角平分线，
∴∠1=12∠CAB=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【例1.3】如图，已知在△ABC中，∠A=70°．
(1)分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求∠BOC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BOC的度数125°
【分析】（1）利用基本作图，作∠B，∠C的平分线即可；
（2）由OB平分∠B，OC平分∠C得∠OBC=12∠B，∠OCB=12∠C，从而求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，点O即为所作：
；
（2）解：∵ OB平分∠B，OC平分∠C，
∴∠OBC=12∠B，∠OCB=12∠C，
∴∠OBC+∠OCB=12∠B+∠C=12180°−∠A=90°−12∠A=90°−12×70°=55°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−55°=125°，
∴ ∠BOC的度数125°．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式1.1】利用尺规，作∠AOB的平分线，并说明理由．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，则OP即为∠AOB的平分线．
【详解】解：如图，射线OP即为所求．
在△OPM和△OPN中
OM=ONPM=PNOP=OP，
∴△OPM≌△OPN，
∴∠POM=∠PON，
∴OP为∠AOB的平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的作图步骤是解答本题的关键．
【考点2 角平分线的性质】
【例2.1】点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则关于PD长度的选项正确的是（ ）
A．PD>3B．PD≥3C．PD<3D．PD≤3
【答案】B
【分析】过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC与N，由角平分线的性质得PN=PM=3，由点到直线的距离垂线段最短得出PD≥PN即可解答．
【详解】如图，过点P作PM⊥BA于M，PN⊥BC与N，
∵BP平分∠ABC，点P到BA边的距离等于3，
∴PN=PM=3，
∴PD≥PN=3．
故选：B．
【点睛】本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．
【例2.2】如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为12，则点O到AC的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设点O到AC的距离为x，根据角平分线的性质定理可知点O到AB、BC、AC的距离都为x，再根据三角形面积列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设点O到AC的距离为x，
∵点O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB、BC、AC的距离都为x，
∵△ABC的面积和周长都为12，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB⋅x+12BC⋅x+12AC⋅x=12AB+BC+ACx=12×12x=12，
∴x=2，
即点O到AC的距离为2，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题关键．
【例2.3】如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC=80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是___________．
【答案】50°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=12∠ABC,∠ECD=12∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴12∠ACD=∠BEC+12∠ABC，
∴12(∠ABC+∠BAC)=∠BEC+12∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BEC=40°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD，
∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=12(180°−∠BAC)=12(180°−80°)=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE是△ABC外角的平分线．
【变式2.1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC=m，BE=n，则△BDE的周长为________．
【答案】m+n/n+m
【分析】根据角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△ACD≅Rt△AED，得到AC=AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≅Rt△AED，
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠B=∠BDE=45°，
∴DE=BE=n，
∵AC=BC=m，
∴BD=BC−CD=m−n，
∴△BDE的周长为：
=BD+DE+BE
=BE+BC，
=AC+BE，
=m+n
故答案为：m+n
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式2.2】如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB=3，DE=2，则△ABD的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，首先根据角平分线性质定理得到DF=DE=2，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2，
∴DF=DE=2，
∵AB=3，
∴△ABD的面积=12AB⋅DF=12×3×2=3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【变式2.3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
(1)若∠C=32°，求∠A的度数．
(2)画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB=3，BC=4，求DE的长．（画图工具不限）
【答案】(1)∠A=58°
(2)作图见解析；DE=127
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠A的度数即可；
（2）根据题意作图，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据S△ABC=S△ABD+S△CBD得出12AB+BC×DE=6，求出DE即可．
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=32°，
∴∠A=90°−∠C=90°−32°=58°；
（2）解：如图，BD为所求作的角平分线，DE为所求作的垂线；
过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=12×AB×BC=12×3×4=6，
又∵S△ABC=S△ABD+S△CBD
=12AB×DE+12BC×DF
=12AB+BC×DE，
∴12AB+BC×DE=6，
即123+4×DE=6，
∴DE=127．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
【变式2.4】如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB=5，AD=3，CD=6，且S△ACD=12，求△ABE的面积．
【答案】(1)40°；
(2)证明见解析；
(3)203．
【分析】（1）根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=140°，再根据∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
（2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH，进而得到EG=EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EH=83，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积．
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠AEF=50°，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=100°，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=140°−100°=40°，
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
由（1）可知，∠EAF=∠CAD=40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH，
∴EG=EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD=12，
∴S△ADE+S△CDE=12
∴12AD⋅EG+12CD⋅EH=12
∵AD=3，CD=6，EG=EH，
∴12×3×EH+12×6×EH=12，
∴EH=83
∴EF=83
∵AB=5
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×5×83=203．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
【考点3 角平分线的判定】
【例3.1】如图，已知点 P 在△ABC 的外部，在∠DAE 的内部，若点 P 到 BD，CE 的距离相 等，则下列关于点 P 的位置的说法中，正确的是( )
A．在∠DBC 的平分线上B．在∠BCE 的平分线上
C．在∠DAE 的平分线上D．在∠A 和∠DBC 的平分线的交点处
【答案】C
【分析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点 P 到 BD，CE 的距离相等进行思考可得出结论．
【详解】解: ∵点 P 到 BD，CE 的距离相等,
∴点P在∠DAE 的平分线上,
无法证明在其余角的角平分线上.
故选C.
【点睛】本题考查了角平分线性质的逆定理,即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,属于基础题,要熟练掌握.
【例3.2】如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有______处?(阴影部分不能修建超市)
【答案】3
【分析】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是ΔABC内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．
【详解】解：如图所示，ΔABC的内角平分线的交点O1，外角平分线的交点O2,O3,O4，
∵阴影部分不能修建超市，
∴ O4不能修建超市，
故满足条件的修建点共有3处，即点O1,O2,O3；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是解答此题的关键．
【例3.3】如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上：②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB=OC，以上结论正确的有（ ）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，根据角平分线的性质可得OD=OE=OF，进而判断①②，连接AO，结合①②的结论，进而可得△AOD≌△AOF,△ODB≌△OFC,假设③成立，进而得出AB=AC，根据题意无法证明AB=AC，进而判断③；
【详解】过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，如图，
∵点O是△ABC的两个外角平分线的交点，
∴OD=OE,OE=OF，
∴ OD=OE=OF,OD=OF，
∴点O到△ABC的三边的距离相等；
故②正确；
∵ OD⊥AB,OF⊥AC，
∴点O在∠A的平分线上，
故①正确；
连接AO，
假设OB=OC，
∵OD=OF,AO是∠BAC的角平分线， OD⊥AB,OF⊥AC，
∴∠OAD=∠OAF，∠ADO=∠AFO=90°，
∴ △AOD≌△AOF,△ODB≌△OFC，
∴AD=AF,DB=CF，
∴AD−BD=AF−CF，
即AB=AC，
∵AB不一定等于AC，
故③不成立；
故正确的有①②．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．
【变式3.1】如下图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是________________．
【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】根据角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上，可得OP平分∠AOB．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E和F，
∵两把完全相同的长方形直尺宽度相同，
∴PE=PF，
∴ OP平分∠AOB．
故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，熟知角平分线的性质是解题的关键．
【变式3.2】如图所示，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠AOQ=________．
【答案】35°/35度
【分析】根据条件证明OQ是∠AOB的角平分线，即可求得．
【详解】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD，
∴OQ是∠AOB的角平分线，
∴∠AOQ=12∠AOB，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=12∠AOB=12×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
【变式3.3】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．
【答案】证明见解析
【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，
∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，
∴DE=DG，DF=DG，
∴DE=DF，
又DE⊥BA，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的外角平分线．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
模块四
课后作业
1．如图，已知AD⊥BD，BC⊥AC，AC=BD．则△CAB≌△DBA的理由是（ ）
A．HLB．SASC．AASD．ASA
【答案】A
【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
AB=BAAC=BD，
∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
2．如图，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点A，B，BD=AC．根据这些条件不能推出的结论是（ ）
A．AD∥BC B．AD=BCC．AC平分∠DABD．∠C=∠D
【答案】C
【分析】根据DA⊥AB，CB⊥AB就可以肯定答案A可以推出，再由条件可以得到Rt△DAB≌Rt△CBAHL，就可以推出AD=BC与∠C=∠D，而AC平分∠DAB无法得到论证．
【详解】解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC， 故答案A可以推出．
又∵在Rt△DAB与Rt△CBA中， AB=BA，BD=AC，
∴Rt△DAB≌Rt△CBAHL，
∴AD=BC，∠C=∠D，
∴答案B、D均可以推出．
∴只有C无法推出，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性质，用排除法解决选择题是常用的方法，也是解决本题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=4cm，则AD+DE等于（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【答案】A
【分析】利用“HL”得到Rt△BED≌Rt△BCD，利用全等三角形对应边相等得到DC=DE，最后根据AD+DC=AC，等量代换即可确定出AD+DE的长．
【详解】∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，BD=BDBE=BC，
∴Rt△BED≌Rt△BCD(HL)，
∴DC=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=4cm．
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键．
4．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为( )
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【答案】C
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC,AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=4，即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=∠DEB,
在△ABC和△EDB中，
∠ACB=∠DBC∠A=∠DEB,AB=DE
∴△ABC≌△EDB(AAS),
∴BD=BC,AC=BE,
∵E是BC的中点，BD=8cm,
∴AC=BE=12BC=12BD=4cm，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，找准全等的三角形是解决本题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是（ ）
A．1B．32C．2D．52
【答案】C
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，由题意可知，AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得BG=GH=1，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
由题意可得：AG平分∠BAC，
∵BG⊥AB，GH⊥AC，
∴BG=GH=1，
∴S△ACG=12×GH×AC=12×1×4=2，
故选：C．
【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作法和角平分线的性质是解题的关键．
6．如图，公路MN∥PQ，公路AB交公路MN于A，交公路PQ于B，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】B
【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个．
【详解】解：∵∠BAN和∠ABQ的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∵∠BAM和∠ABP的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个；
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
7．如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，∠BPC=130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
【答案】B
【分析】先根据点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF得到BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=80°，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，
∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∵∠BPC=130° ，
∴∠PBC+∠PCB=50°,
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2∠PBC+∠PBC=100°，
∴∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB=180°−100°=80°．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
8．如图，已知AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且BF∥CE，连接BF，CE，下列说法中：①BD=CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC=∠CDE；④CE=AE．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，判断出①正确；然后根据平行线的性质得出∠F=∠DEC，利用“AAS”证明△BDF≌△CDE，判断出②正确；根据三角形外角性质判定③正确；不能判定CE=AE，则④错误．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，故①正确，
∵BF∥CE，
∴∠F=∠DEC，
在△BDF和△CDE中，
∠F=∠DEC∠BDF=∠CDEBD=CD，
∴△BDF≌△CDEAAS，故②正确，
在△BDA中，∠BAF+∠ABC=∠CDE，故③正确；
没有理由能判定CE=AE，则④错误．
综上，正确的有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
9．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，且CD=EF．若要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还应添加的条件是______．
【答案】AC=BE
【分析】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，只需要添加斜边相等，即可求解．
【详解】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，只需要添加斜边相等，
∴需要添加的条件是AC=BE，
故答案为：AC=BE．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等判定的方法，“HL”指的是一直角边一斜边．
10．如图△ABC中，AD⊥BC于D．BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，BD=5，CD=3，则AF的大小是___________．
【答案】2
【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，DF=DC即可解决问题；
【详解】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
∠CAD=∠FBD∠BDF=∠ADCBF=AC，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，
∴BD=AD=5，DF=DC=3，
∴AF=AD−DF=5−3=2，
故答案为：2．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
11．如图，已知△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高，则图中全等三角形共有_______对．
【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=A1B1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1，根据高的定义求出∠ADB=∠A1D1B1=90°，∠ADC=∠A1D1C1=90°，根据AAS推出两个三角形全等即可．
【详解】解：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB=A1B1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1，
∵AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高，
∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，∠ADC=∠A1D1C1=90°，
在△ABD和△A1B1D1中，
∠ADB=∠A1D1B1∠B=∠B1AB=A1B1，
∴△ABD≌△A1B1D1AAS，
同理△ACD≌△A1C1D1，
除已知两三角形全等外，有△ABD≌△A1B1D1，△ACD≌△A1C1D1，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
12．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】见详解．
【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
CD=CECM=CN，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE=BE，AD与BE相交于点F．求证：EF=EC．
【答案】见解析
【分析】根据AAS证明△AEF和△BEC全等，即可得到结论．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAC=90°−∠C，
∴∠DAC=∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
∠EAF=∠EBC∠AEF=∠BECAE=BE，
∴△AEF≌△BEC(AAS)，
∴EF=EC．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△AEF和△BEC全等．
14．已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F．
(1)求证：∠DAC=∠B；
(2)猜想线段AF、BC的关系．
【答案】(1)见解析
(2)BC=2AF
【分析】（1）由题意可以作辅助线即作DG⊥AC的延长线于G，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）在第一问的基础上由三角形的全等可以得到关系．
【详解】（1）解：证明：如图所示：作DG⊥AC的延长线于G，
∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°−∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°−∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；
（2）∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△ADG和△BAC中，
∠AGD=∠ACB∠DAG=∠BAD=AB ，
∴△ADG≌△BAC(AAS)，
∴DG=AC；AG=BC，
∵AC=AE，
∴DG=AE，
在△AEF和△GDF中，
∠DFG=∠EFA∠EAF=∠DGCDG=AE ，
∴△AEF≌△GDF(AAS)，
∴AF=GF=12AG=12BC，
∴BC=2AF．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，关键是构造全等的三角形．
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