北师大版数学八上 第一章第一提升测试卷A卷

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北师大版数学八上 第一章勾股定理 单元测试提升卷A卷
一．选择题（共30分）
1.已知直角三角形的两边长分别为，，则该直角三角形的周长为（    ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质分两种情况利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为，，
∴①当直角三角形的两直角边长分别为，，
∴直角三角形的斜边长为，
∴直角三角形的周长为，
∴②当直角三角形的一直角边长分别为，斜边长为，
∴直角三角形的直角边长为，
∴直角三角形的周长为,
故选．

2.一艘轮船以12海里/时的速度离开A港向北偏西方向航行，另一艘轮船同时以16海里/时的速度离开A港向北偏东方向航行，经过2小时后它们相距（    ）

A．40海里 B．32海里 C．30海里 D．25海里
【答案】A
【分析】先求出，海里，海里，然后利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，海里，海里，
∴，
∴海里，
∴经过2小时后它们相距40海里．
故选A．

3.如图，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为，试问的鱼竿有多长？设长，则下所列方程正确的是（　　）.

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】如图：设长，则，分别在和可得、，再根据可得，然后代入相关数据即可解答．
【详解】解：设长，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即．
故选A．

4.如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是（    ）
  
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B

5.如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接．若，则的长度为（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
由折叠可得，，，





故选：A．

6.如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）

A． B． C． D．12
【答案】A
【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段到，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段到的距离，再进行比较即可．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是，
蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是．
，最短路径的长是．
故选A．


7.如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（      ）

A． B． C． D．不能确定
解：在Rt△ABC中，
∵，
∴

，
∵．
∴．
故选：C．
8．如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ）

A． B．6 C．5 D．
解∵点E是CD的中点
∴DE=CE
∵AB⊥BC，AB⊥AD
∴ADBC
∴∠ADE=∠BCE
在△AED与△FEC中
∴
∴
∴
∴在Rt△ABF中，
∴
故选：A．
9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（  ）

A．13 B．12 C．11 D．10
解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
10．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．6
解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，

∴∠QBM+∠ABC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC+∠ABC=90°，
∴∠QBM=∠PAC，
∵BM=AC，AP＝BQ，
∴△QBM≌△PAC（SAS），
∴MQ=CP，
∴AQ+CP=AQ+MQ，
在△AQM中，AQ+MQ>AM，
当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，∴AQ+CPAM，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴，
∵，，∴，
∴，
即的最小值为.
故选：B.

二． 填空题（共24分）
11.如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为______．

解：如图，

∵在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
∵∠EBC＝∠EBF＋∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝∠EBF，即∠DCB＝∠FBE，
又∵BC＝EB，∠DBC＝∠E，
∴△DBC≌△FEB（ASA），
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
12．如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．

解：过作于，

由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴则线段CP的最小值是:，
故答案为：．
13．直角三角形的两边长分别是9和12，则斜边上的高为________．
解：当9和12都是直角边时，设斜边长为c，斜边上的高为h，
由勾股定理可得：，则c=15，
由，可得：h=．
当12是斜边时，设另一直角边长为a，斜边上的高为，
由勾股定理可得：，则a=，
由，可得：=．
综上，斜边上的高为或．
故答案为：或．
14．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为 ．

答案29
15.如图所示，等腰与等腰中，，，，则__________.
  
【答案】10
【分析】连接，，证明从而得到，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
  
，
，
在和中，

，
；
，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：10．
16.如图，四边形中，，，，（表示的面积，表示的面积），则的长为______．
  
【答案】
【分析】将沿折叠得到，即可得到，，，结合，即可得到，即可得到，得到，可得，，根据可得，结合即可得到答案.
【详解】解：将沿折叠得到，
∵沿折叠得到，
∴，，，
∵，
∴  
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
三， 解答题（共46分）
17.（8分）如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长．

解：由折叠的性质可得：，BD=CD，
，
∵，
∴，
∴AD=AB－BD=4－CD；
在Rt△DAC中，由勾股定理得：，
解得：，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：．
答：折痕的长为．

18.（8分）如图，把长方形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置．

(1)若，求，的度数；
(2)若，，求四边形的面积．
解：（1）四边形是长方形，
ADBC
，
由折叠的性质可知，，
；
（2）长方形纸片沿折叠，
，，
设，则，
，
，
解得，
，，
∵ADBC
又∵∴，
，
．


19.（10分）如图，在中，，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿向终点运动：点从点出发，以的速度沿射线运动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止运动．连结、，设运动时间为．
  
(1)线段__________（用含的代数式表示）．
(2)求的长．
(3)当与全等时，
①若点、的移动速度相同，求的值．
②若点、的移动速度不同，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②

【分析】（1）根据路程速度时间求出的长，用即可求出最后结果；
（2）在中，用勾股定理求解即可；
（3）与全等分与两种情况， 分别在这两种情况下在速度相同和速度不同时，根据三角形全等性质求出和的值，根据实际情况取舍．
【详解】（1）解：由以的速度沿向终点运动可知，
，
，
故答案为：；
（2），，
；
（3），
，
则与全等分成两种情况，即与
①当点、的移动速度相同时，若，
，，
，
，
若，
，，
，，两方程不同解，舍去，
点、的移动速度相同，；
②当点、的移动速度不同时，若，
，，
这时，，速度相同，（舍去）
若，
，，
，
，
，
，
点、的移动速度不同，．

20.（10分）【证明体验】

(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
（1）证明：如图1中，

在和中，
，；
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．

由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．

由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．





21.（10分）等腰，．在上，，．

(1)如图1，连接，探究线段与线段的关系并证明；
(2)如图2，连接，交于为垂足，
①求证：；
②如图3，若交于为的中点，连接，交于，连．当，则的最小值为____________
【答案】(1)，，证明见解析
(2)①见解析，②

【分析】（1）证，可得，，可证；
（2）①过点作于，过点作，交的延长线于，证，可得，证，可得；
②过点作于，证，可得，由等腰直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式得出，即可求解．
【详解】（1）解：，，
理由如下：在等腰中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，过点作于，过点作，交的延长线于，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：如图3，过点作于，

在等腰中，，
∵点是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴,
∴的最小值为，
故答案为：．