新高一预习：题型分类细讲精练11 函数性质综合大题（人教数学A版2019必修第一册）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4914" 【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数 PAGEREF _Tc4914 1
\l "_Tc21352" 【题型二】“分式型”2：转化为“对勾” PAGEREF _Tc21352 3
\l "_Tc24724" 【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲” PAGEREF _Tc24724 5
\l "_Tc11991" 【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型 PAGEREF _Tc11991 7
\l "_Tc1324" 【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型 PAGEREF _Tc1324 9
\l "_Tc6017" 【题型六】“分式型”6：判别式法 PAGEREF _Tc6017 11
\l "_Tc22133" 【题型七】“分式型”7：中心对称求和型 PAGEREF _Tc22133 12
\l "_Tc22002" 【题型八】“分式型”8：保值函数 PAGEREF _Tc22002 13
\l "_Tc2013" 【题型九】分式型结构不良型 PAGEREF _Tc2013 15
\l "_Tc28843" 【题型十】含绝对值型 PAGEREF _Tc28843 17
\l "_Tc19329" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc19329 19
\l "_Tc2154" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc2154 22
\l "_Tc478" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc478 25
【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数
【典例分析】
已知函数(常数).
(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.
【答案】(1)见解析(2)或
【分析】（1）先对函数化简，再列表，描点，连线可得函数图像，
（2）由函数在区间上是严格减函数，结合函数单调性的定义可得，再由在上存在自变量，使得函数值为正，可得在上有解，从而可求出的范围，进而可得整数的值.
（1）当时，，列表如下：
函数图像如下：
（2），任取，且，因为该函数在区间上是严格减函数，所以，因为，所以，
因为所以，得，因为在上存在自变量，使得函数值为正，
所以在上有解，因为，所以在上有解，
所以在上有解，所以，
因为在上递增，所以当时，取得最小值为，
所以，综上，因为，所以或
【变式训练】
已知函数，．
(1)若，使得，求实数的取值范围；
(2)若集合，对于都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)结合已知条件，将不等式转化为，然后利用基本不等式求解即可；
(2)首先结合的单调性求集合，然后将不等式转化为，通过讨论的对称轴与区间的位置关系，并结合的单调性即可求解.
（1）由题意，，使得，即，
因为，当且仅当时，即时，有最小值，
所以，即，故实数的取值范围为.
（2）因为在单调递减，且，，
所以在上的值域为，即，
由题意，都有恒成立，即在区间的最大值
的对称轴为，且的图像开口向上，
①当时，即时，在上单调递增，故；
②当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，
(i)当时，即时，，
此时在上的最大值为恒成立；
(ii)当时，即时，，
此时在上的最大值为恒成立；
③当时，即时，在上单调递减，
故恒成立，综上所述，实数的取值范围为.
【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”
【典例分析】
已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；(2)(3)
【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；
（2）解不等式，即可得到结果；
（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．
（1）解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）
解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）
解：由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．
【变式训练】
已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．(2)
【分析】（1）令，，将化为，由对勾函数的单调性可得的单调区间和值域（2）由题意可得的值域是的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范围
（1）．设，，则，．
由已知性质，得当，即时，单调递减，所以的单调递减区间为；
当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为．
由，，，得的值域为．
（2）因为在上单调递减，
所以．
由题意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以．

【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲”
【典例分析】
已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
【答案】(1)，，(2)证明见解析，(3)
【分析】（1）由题意可得，求出，再由可求出，
（2）任取，且，然后求，化简变形可得结论，
（3）由（2）可知在上单调递增，所以原不等式可化为，解不等式可得结果
（1）因为函数是奇函数，所以，即，
，所以，解得，所以，因为，
所以，解得，
（2）证明：由（1）可知任取，且，则
，因为，且，
所以，，所以，即，
所以在上单调递增；
（3）当时，，由（2）可知在上单调递增，
因为，所以，即，解得（舍去），或，
所以不等式的解集为

【变式训练】
已知函数满足.
(1)求的解析式，并判断其奇偶性；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，是奇函数(2)
【分析】(1)由求出，进而求得的解析式，利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可；
(2)根据幂函数的单调性可得函数的单调性，求出函数的最小值，将不等式恒成立转化为对任意使得恒成立即可.
（1）因为，所以，所以.所以.
的定义城为，且，所以是奇函数.
（2）因为，在上均为增函数，所以在上为增函数，所以.
对任意，不等式恒成立，则，
所以，即实数a的取值范围为.
【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型
【典例分析】
已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3).
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）证明：函在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.
（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，
由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.
【变式训练】
.已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)在，上单调递增，证明见解析(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质，结合（1），求解方程组，得到，的值，检验即可；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（3）将问题转化为，利用的单调性求出，分，和三种情况，利用的单调性求出，即可得到答案.
（1）因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），则，解得，，
所以函数，经检验，函数为奇函数，所以，；
（2）在，上单调递增.证明如下：设，则，
其中，，所以，即，故函数在，上单调递增；
（3）因为对任意的，，总存在，，使得成立，所以，
因为在，上单调递增，所以，
当时，；所以恒成立，符合题意；
当时，在，上单调递增，则（1），所以，解得；
当时，函数在，上单调递减，则，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型
【典例分析】
．已知．
(1)若时，求的值域；
(2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
（1）由，则，
由不等式性质，则，，，，，
故，即的值域为.
（2）由题意，，
由函数的值域为，则有解且无最大值，
当时，符合题意；
当时，根据二次函数的性质，可得，
其中，，，，解得或，
综上，故.
【变式训练】
求出函数的单调区间，并比较与的大小．
【答案】增区间是，是减区间．
【分析】化简后平移，通过幂函数的单调性确定的单调性，通过对称性将转化为，再利用单调性比较大小即可.
【详解】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．
.在上找出点关于直线的对称点．
由，．
【题型六】“分式型”6：判别式法
【典例分析】
已知函数．
(1)解不等式：；
(2)求函数的值域．
【答案】(1).(2).
【分析】（1）由分母可将不等式化为，进而求解集.
（2）令，将其转化为关于的一元二次方程，讨论、求的范围，即可知值域.
(1)由题意，，又
∴，即，
∴或，故解集为.
(2)令，可得，
当时，有；
当时，有，又为一元二次方程且在内有实数解，
∴，解得：且，
综上，，∴的值域为．
【变式训练】
．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式在时恒成立，求实数k的最大值；
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）化简函数得，由，可求出，从而可求得函数的值域，
（2）等式在时恒成立，转化为在时恒成立，令，可得在上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k的最大值，
（1）由题意得，因为，所以，则，
所以函数的值域为
（2）因为，所以不等式可化为，所以，令，
则在上单调递减，所以，所以，
所以实数的取值范围为，所以实数k的最大值为
【题型七】“分式型”7：中心对称求和型
【典例分析】
已知函数．
(1)求，的值；
(2)求证：的定值；
(3)求的值．
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)2022
【分析】（1）代入计算函数值可得答案；（2）化简计算可得答案；（3）利用可得答案.
（1）因为，所以，；
（2），是定值；
（3）由（2）知，因为，
，，……，，
所以.
【变式训练】
已知函数.(1)求的值；(2)求证：是定值；
(3)求的值.
【答案】(1)4；(2)证明见解析；(3)8088.
【分析】（1）代入计算函数值可得答案；（2）化简计算，由此完成证明；（3）利用可得答案.
（1）因为，所以；
（2）因为，所以，所以是定值，定值为4；
（3）
由（2）知，所以，，，……，，所以.
【题型八】“分式型”8：保值函数
【典例分析】
若函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的倍域函数，称函数的一个倍域区间．已知函数，且关于的不等式的解集为．
(1)求实数，的值；
(2)若（），是否存在（），使得函数为定义域内的某个区间上的倍域函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，k为2或3
【分析】（1）由题意，转化和是方程的根，列出方程组，即可求解；
（2）求得，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，
，求得， 即可求解.
（1）由题意，不等式的解集为，
即和是方程的根，所以，解得.
（2）由（1）知，可得，
由对勾函数性质知在上单调递减，且，
故在上单调递增，且
若存在区间，使得函数为上的倍域函数，则，
所以，即，所以 由于，所以， ，解得
又，所以k的值为2或3.

【变式训练】
对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值；
(3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在优美区间是，不存在优美区间；(2)(3)
【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；
（2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围；
（3）由函数的单调性，分类讨论：，，，确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布，可得结论．
(1)，在上单调递增，由得或1，存在优美区间是，
是增函数，若存在优美区间，则，无解，不合题意，不存在优美区间；
(2)在和上都是增函数，因此优美区间或，
由题意，所以有两个同号的不等实根，，，
，，或，，同号，满足题意，
，
，因为或，所以当，即时，．
(3)函数在上存在“优美区间”，设得其一个优美区间，在上递减，在上递增，
若，则，即有两个不等的非负根，，，，，
，则，所以；
若，则，即，两式相减得，，
，所以方程有两个不等的非正根，
方程整理为，
，，满足题意，，，
所以；
若，则，因此，所以，
，，
，即时，，，，
即时，，，，
，一正一负，取正根为，
，时，成立，
时，不等式变为，，，即，
综上，的取值范围是．
【题型九】分式型结构不良型
【典例分析】
已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；(2).
【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；
若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；
将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；
（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
（1）选择①.
由在上是偶函数，得，且，所以a＝2，b＝0.所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，所以.为奇函数.
证明如下：的定义域为R.因为，所以为奇函数.
（2）当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
【变式训练】
已知函数，，从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题．（注：若选择多于一个，则按照第一个选择进行计分）
①已知函数，满足；
②已知函数在上的值域为；
③已知函数，若在定义域上为偶函数．
(1)判断在上的单调性；
(2)解不等式．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)
【分析】（1）根据条件求出，，然后根据单调性的定义进行证明即可．
（2）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
(1)①已知函数，若满足；
则关于点成中心对称，即，．
②已知函数在，上的值域为，；
若，则，两式作差得，得或（舍，此时，
若，则，两式作差得，此时无解
③已知函数，若在定义域，上为偶函数．则，得，
是偶函数，关于轴对称，则关于对称，即，得，
综上①②③得答案相同，都为，，由①或②或③得，，
任取，且，则，
，则，，即，
则在上单调递增；
(2)因为，则为奇函数．由即
又因为在上单调递增，则，解得．
所以原不等式的解集为．
【题型十】含绝对值型
【典例分析】
已知函数是定义在上的偶函数，且.
（1）求的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）解不等式.
【答案】（1），（2）递增函数，证明见解析（3）
【分析】
（1）偶函数知，再代入易求解．
（2）根据单调性定义，任取，，假设，判断的差即可．
（3）首先考虑和在定义域内，再利用偶函数性质，根据单调性解抽象函数不等式即可．
【详解】
（1）为定义在上的偶函数在上恒成立，在上恒成立，
解得又,解得，检验：当时，
恒成立为偶函数
（2）判断：在区间上单调递增
证明：对任意。。
，又，
在区间上单调递增
（3）为定义在上的偶函数
原不等式等价于不等式，又在区间上单调递增，
,或。综上
【变式训练】
已知函数
（1）写出函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在上值域是，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间, 减区间；（2）实数的取值范围为
（3）实数的取值范围为
【详解】
试题分析：（1）由已知函数可化为，根据函数的单调区间，得出所求函数的单调区间；（2）由（1）可知不等式可化为，根据函数在的单调性，可求得函数在上的值域，从而求出所实数的范围；（3）由（1）可知函数的单调区间，可将区间分与两种情况进行讨论，根据函数的单调性及值域，分别建立关于，的方程组，由方程组解的情况，从而求出实数的取值范围.
试题解析：（1）故增区间, 减区间
（2）在上恒成立即在上恒成立
易证，函数在上递减，在上递增
故当上有。故的取值范围为
（3）或
①当时，在上递增，。即即方程有两个不等正实数根
方程化为：故得
②当时。在上递减
即（1）－（2）得
又，
综合①②得实数的取值范围为
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.已知函数
(1)判断的奇偶性；
(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)是奇函数；(2).
【分析】（1）判断出函数为奇函数，再利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）利用函数单调性的定义证明出函数在上为减函数，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围.
(1)
解：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以，函数是奇函数.
(2)
解：任取、且，
则，
由，得，，，，
所以，，即，
所以，函数在上单调递减，则，即.
因为当时，恒成立，
所以，，即实数的取值范围为.
2．已知函数，函数为R上的奇函数，且.
(1)求的解析式：
(2)判断在区间上的单调性，并用定义给予证明：
(3)若的定义域为时，求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)；(2)单调递增.证明见解析；(3)
【分析】（1）列方程组解得参数a、b，即可求得的解析式；
（2）以函数单调性定义去证明即可；
（3）依据奇函数在上单调递增，把不等式转化为整式不等式即可解决.
(1)
由题意可知，即，解之得，则，经检验，符合题意.
(2)在区间上单调递增.设任意，且，
则
由，且，可得
则，即故在区间上单调递增.
(3)不等式可化为
等价于，解之得
故不等式的解集为
3．已知.
(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
(2)证明：函数在区间上是严格增函数.
【答案】(1)当时，；(2)证明见解析.
【分析】(1)根据偶函数的定义设变量代入直接计算作答.
(2)利用函数单调性定义证明函数单调性的方法、步骤推理作答.
(1)，则，而时，，又函数是偶函数，
于是得，所以当时，.
(2)且，则，
因，则，，，即，有，
所以函数在区间上是严格增函数.
4．已知函数.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)证明：在区间上单调递减.
【答案】(1)是偶函数，证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可，
（2）利用单调性的定义证明
(1)为偶函数，证明如下：定义域为R，因为，
所以是偶函数.
(2)任取，且，则
因为，所以，
所以，即，
由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.
5．已知定义在上的函数.
(1)求证：是奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）判断的关系即可.
（2）任取，判断的正负即可；
（3）将原不等式移项得，脱“f”，可解得原不等式的解集.
(1)
由已知函数定义域为，关于原点对称，
所以函数是奇函数；
(2)
任取，
因为，
所以
所以在上单调递增；
(3)
不等式可化为
因为在上单调递增
所以不等式可化为解得.
培优第二阶——能力提升练
1.已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性．
(3)解关于t的不等式：．
【答案】(1)(2)单调递增(3)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出，再由求出，从而可求出函数解析式，（2）利用单调性的定义判断即可，
（3）先利用函数的奇偶性将不等式转化，再利用函数的单调性解不等式
(1)因为函数是定义在上的奇函数，所以，得，所以，
因为，所以，解得，所以
(2)任取，且，则，
因为，且，所以，
所以，即，所以函数在上单调递增，
(3)因为是定义在上的奇函数，所以可转化为，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为
2.已知函数（且）．
(1)当的定义域为时，求函数的值域；
(2)设函数，求的最小值．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）化简函数，根据反比例函数性质求解；（2）化简得，再分类讨论求解．
(1)解：，因为的定义域为，所以，，，，所以函数的值域为，．
(2)解：函数，
当即时，；
当即时，；
当即时，.
所以，
3.已知函数．
(1)用定义证明函数在区间上单调递增；
(2)对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由定义证明即可；
（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围．
(1)任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增．
(2)任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
4.已知函数是奇函数，是偶函数.
(1)求.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，再求函数在上的最值.
(3)若函数满足不等式，求出t的范围.
【答案】(1)(2)是区间上的增函数，理由见解析，
(3)
【分析】（1）由函数的奇偶性定义以及性质求解即可；
（2）利用定义证明单调性，进而得出最值；
（3）由在区间上的单调性以及奇偶性，解不等式得出t的范围.
(1)因为在是奇函数
验证：，，函数为奇函数；
为偶函数，则
验证：，，函数为偶函数.
(2)
是区间上的增函数，理由如下：设是区间上任意两个实数，且，
则因为所以
是区间上的增函数
(3)因为是区间上的增函数，且是奇函数，由满足
，即t的范围是
培优第三阶——培优拔尖练
1.已知函数是奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)若，，且．求证．
【答案】(1)
(2)函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上单调递减，在上单调递增；证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数是奇函数得到，结合，求出，，得到的解析式；（2）先求解定义域，再利用定义来证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，得到上的单调性；（3）作差法证明不等式.
（1）
为奇函数，且
，解得：，．
．验证满足题意.
（2）
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上单调递减，在上单调递增.
证明：函数的定义域为
在区间上任取，，令
①当时
，，，
即，故函数在区间上单调递减；
②当时，，，
即
故函数在区间上是增函数．
根据奇函数的对称性可知，函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上单调递减，在上单调递增
（3）
，，且．
2.已知函数是其定义域内的奇函数，且，
(1)求的表达式；
(2)设，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据题意和奇函数的定义，可求出的值，再结合，求得的值，从而得出的表达式；
（2）由题可得，从而得出，即可得出所求结果.
(1)解：是奇函数，，，解得：，故，
又，则，所以，.
(2)
解：由（1）知，则，，
.
3.已知定义在上的函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性（不用证明）；
(3)已知函数，，若对，总有，使得成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减(3)
【分析】（1）利用奇偶性的定义代特殊值再检验即可；（2）利用单调性的定义进行判断即可；
（3）先将条件转化为，再分别求出最值即可.
(1)解：∵为偶函数，∴，
当时，，∵，∴为偶函数，∴.
(2)解：在上单调递增，在上单调递减.
(3)解：由（1）知，∵对，总有，使得成立，
可得，由（2）知，在时取得最大值，即，
又，，∴时，，
∴，解得.所以实数的取值范围为.
4.设，.
(1)若在区间上是单调函数，求a的取值范围；
(2)若存在，使得对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）对称轴为，由或，解得即可；
（2）通过比较与给定区间之间的关系，分类讨论求出的最大值，利用换元法，令，得，，，原问题可转化为，再分三种情况，并结合对勾函数、二次函数的图象与性质，即可得解．
(1)
解：由题意知，对称轴，因为在区间上是单调函数，
所以或，∴或.
(2)
解：当，即时，在，上单调递减，所以；
当，即时，在，上单调递增，所以；
当，即时，在，上单调递增，在，上单调递减，所以，
综上， ，
由题意，问题转化为，
对恒成立，对函数，
令，则，，
则问题转化为：，恒成立，
①当时，对恒成立，
即，
因为，且在上恒成立，
所以恒成立，即符合题意；
②当时，对恒成立，
则对恒成立，
关于t的二次函数的对称轴在之间，开口向下，
则，解得或，即得.
③当时，对恒成立，
则对恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，即，所以.
综上可得，满足题意的a的范围是：.
……
0
……
……
0
3
2
……
【提分秘籍】
基本规律
形如型
1.通过分离常数，可以得到平移后反比例函数，在连续区间内，具有单调性，大题可用定义法证明，小题可用分离变量为主证明。在前两种方法掌握的前提下，可以适当引入快速画图法。
2.反比例函数有对称中心，满足(其中（a，b）是对称中心，
可通过“左加右减上加下减”求得.
3.涉及到恒成立或者解不等式等问题，大多数可以转化为一元二次型求解。
【提分秘籍】
基本规律
次型
1.当b=0时分母是ax型。很容易出对勾或者双曲函数，可以用单调性（大题用定义法证明单调性）或者均值不等式搞定最值。
2.当分母是ax-b型（b不为0），往往可以分离常数。对于理解力稍微好点的学生，还可以通过换元法（慎重，因为坐标系发生了变换）化简。程度差点的学生，可以换元化简后再还回去，也能达到分离常数的目的。
【提分秘籍】
基本规律
形如
1.是奇函数，y轴两侧都是单调递增函数，y=ax是“渐近线”。如图一
2.是奇函数，y轴两侧都是单调递减函数，y=ax是“渐近线”如图二

【提分秘籍】
基本规律
形如次型
1.当b=0时分子是ax型时，可以在x≠0时，同时除x，分母得到对勾或者双刀函数，为小题做积累。
2.当分子是ax-b时，也可以通过换元或者直接配凑，使得分母依旧是对勾或者双刀函数。
3.大题中单调性证明，依旧是定义法
【提分秘籍】
基本规律
1.分子与分母都有二次型的，最常见的，就是分子分母可以分离常数达到降幂目的，有时候换元也可以。
2.如果分母分子有线性关系，可以直接分离常数。这类题比较少。了解即可。
3.必要时可以用判别式法。
【提分秘籍】
基本规律
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
【提分秘籍】
基本规律
含绝对值型，以分类讨论为主要解题思想。