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2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列一组年轻人喜好的星座图标中，圆内部分是中心对称图形的是( )
A. 金牛座 B. 白羊座
C. 水瓶座 D. 巨蟹座
2. 若分式12x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x=0 B. x≠0 C. x=32 D. x≠32
3. 命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是( )
A. 若a>b，则a2≤b2 B. 若ab2
C. 若a2>b2，则a>b D. 若a2>b2，则a≤b
4. 已知一个不等式组的解集如图所示，则以下各数是该不等式组的解集为( )
A. −3 B. 2 C. 3 D. 4
5. 下列因式分解正确的是( )
A. x(x2−1)=x3−x B. x2+6x+9=x(x+6)+9
C. x2−y2=(x−y)2 D. x2−9y2=(x+3y)(x−3y)
6. 正八边形的每个外角为( )
A. 45° B. 55° C. 135° D. 145°
7. 下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 63x B. x+1x2−1 C. x+1x2+2x+1 D. 2xx2+1
8. 如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF、DF，M、N分别为EF、DF的中点，连接MN，则MN的长为( )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______．
10. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上．线段AB绕着某一定点顺时针旋转一个角度α(0°<α<180°)后，得到线段A1B1(点A1，B1分别是A，B的对应点)，则α的大小是______．
11. 已知a+b=3，ab=−2，则a2b+ab2的值是______ ．
12. 已知一次函数y=ax+b的图象如图，则关于x的不等式ax+b>0的解集是______．
13. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为______．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE=AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G.现给出以下结论：①EF=FG；②CD=DE；③∠BEG=∠BDC；④∠DEF=45°.其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
(1)因式分解：a2b−4b；
(2)利用因式分解进行简便计算：2.22+4.4×17.8+17.82．
16. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.求证：BE//FD．
17. (本小题6.0分)
下面是小亮同学解不等式2x−13−5x+12≤1的过程：
解：去分母，得2(2x−1)−3(5x+1)≤1①；
去括号，得4x−2−15x−3≤1②；
移项、合并同类项，得−11x≤6③；
系数化为1，得x≥−611④；
小亮的解法有错误吗？如果有错误，请指出错在哪里，并写出正确的解题过程．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1−2x+1)÷x2−xx+1，其中x= 2．
19. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
20. (本小题7.0分)
如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，有一个平面直角坐标系xOy，且A(−2,1)，B(−2,−1)，C(0,1)，请你在网格中先画出平面直角坐标系xOy后，把△ABC平移到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1，若A1(0,−2)，请再画出△A1B1C1．
21. (本小题10.0分)
已知A=x3−x2y−y2(x−y)．
(1)当x=y时，求A的值．
(2)当x>0，y>0，且x≠y时，试说明A的值是正数．
22. (本小题10.0分)
如图，点B，E，F，D在同一条直线上，BE=DF，AC交BD于点O，AD//BC，AE//FC．
(1)求证：AC与BD互相平分；
(2)若AE⊥AC，AE=BE，BD=16，EF=10，求AC的长．
23. (本小题10.0分)
某中学计划购买A，B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A学习用品比购买一个B学习用品多用20元，若用200元购买A学习用品的数量和用40元购买B学习用品的数量相同．
(1)求A，B两种学习用品的售价分别为多少元？
(2)经商谈，商家给该校优惠：每购买一个A学习用品赠送一个B学习用品．如果该校需要B学习用品的个数是A学习用品个数的4倍还多8个，且该学校购买A，B两种学习用品的总费用不超过1000元，那么该校最多可购买A学习用品多少个？
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE，EF⊥AD，垂足为F，EF与AB交于点G．
(1)求证：∠BAD=∠E；
(2)求∠BFE的度数；
(3)求证：EF=AF+BC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：若分式12x−3有意义，则2x−3≠0，
解得：x≠32．
故选：D．
直接利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是“若a2>b2，则a>b”；
故选：C．
交换题设和结论可得原命题的逆命题．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题的方法：交换题设和结论．
4.【答案】B
【解析】解：由数轴知，该不等式组的解集为−1≤x<3，
所以四个选项中是该不等式组的解集为2，
故选：B．
根据数轴得出该不等式组的解集，再从各选项中选出此范围内的数即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据数轴得出该不等式组的解集．
5.【答案】D
【解析】解：A、x(x2−1)=x3−x，是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B、x2+6x+9=(x+3)2，故B不符合题意；
C、x2−y2=(x−y)(x+y)，故C不符合题意；
D、x2−9y2=(x+3y)(x−3y)，故D符合题意；
故选：D．
利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6.【答案】A
【解析】解：360°÷8=45°．
故选：A．
利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
7.【答案】D
【解析】解：A、原式=2x，不是最简分式，不符合题意；
B、原式=1x−1，不是最简分式，不符合题意；
C、原式=1x+1，不是最简分式，不符合题意；
D、2xx2+1是最简分式，符合题意；
故选：D．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
此题考查最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式．
8.【答案】A
【解析】解：∵BC=12，BD=12CD，
∴BD=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=12BD=2，
由勾股定理得：DE= BD2−BE2= 42−22=2 3，
∵M、N分别为EF、DF的中点，
∴MN=12DE= 3，
故选：A．
根据题意求出BD，根据等边三角形的性质得到∠B=60°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】−1
【解析】解：由题意可得x2−1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为−1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
10.【答案】90°
【解析】解：如图，连接BB1和AA1，作BB1和AA1的垂直平分线交于点O，则点O是旋转中心，
∴∠BOB1=90°=α，
故答案为：90°．
先找到旋转中心O，即可求解．
本题考查了旋转的性质，找到旋转中心是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵a+b=3，ab=−2．
∴a2b+ab2=ab(a+b)，
=−2×3，
=−6．
故答案为−6．
利用直接提取公因式进行分解因式，然后将已知代入即可得出．
本题考查了直接提取公因式法分解因式．
12.【答案】x>−1
【解析】解：观察函数图象可知：当x>−1时，一次函数y=ax+b的图象在x轴上方，
∴关于x的不等式ax+b>0的解集为x>−1．
故答案为：x>−1．
观察函数图象，找出一次函数图象在x轴上方时的x的取值范围，此题得解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=ax+b与y=0的上下位置关系找出不等式ax+b>0的解集是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE−AD=2，
即6+6−AD=2，
解得：AD=10；
∴BC=10；
故答案为：10．
由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．
14.【答案】①③④
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵EF⊥BD，
∴∠3=∠4=90°，∠EFD=∠DFG=90°，
在△BEF和△BGF中，
∠1=∠2BF=BF∠3=∠4，
∴△BEF≌△BGF(ASA)，
∴EF=FG，故①正确；
过D作DM⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD=DM，
在Rt△EMD中：DE>MD，
∴CD≠DE，故②说法错误；
∵△BEF≌△BGF，
∴∠5=∠6，
在四边形CDFG中∠C+∠8+∠DFG+∠7=180°，∠C=∠DFG=90°，
∴∠7+∠8=180°，
∵∠7+∠6=180°，
∴∠6=∠8，
∴∠5=∠8，
即∠BEG=∠BDC，故③正确；
∴∠AEF=∠ADF，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠DEF=∠EDF，
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF=45°，故④正确．
故答案为：①③④．
根据△BEF≌△BGF即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，根据四边形CDFG的内角和即可判断③，根据等腰三角形的性质和判定即可判断④．
此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上知识点，并灵活运用是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=b(a2−4)
=b(a+2)(a−2)．
(2)原式=(2.2+17.8)2
=202
=400．
【解析】(1)先提公因式，再用公式法．
(2)用完全平方公式求值．
本题考查因式分解的应用，正确的因式分解是求解本题的关键．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】根据平行四边形性质得出AD//BC，AD=BC，求出DE=BF，DE//BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质即可推出结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
17.【答案】解：小亮的解法有错误，错在第①步，去分母时，1漏乘了6，
正确的解题过程如下：
2x−13−5x+12≤1，
2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
4x−2−15x−3≤6，
4x−15x≤6+2+3，
−11x≤11，
x≥−1．
【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x+1−2x+1⋅x+1x(x−1)
=x−1x+1⋅x+1x(x−1)
=1x，
当x= 2时，原式=1 2= 22．
【解析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
20.【答案】解：建立平面直角坐标系和△A1B1C1如图所示；
【解析】根据点的坐标即可确定原点的位置，从而解决问题．
本题主要考查了作图−平移变换，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，确定坐标系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将x=y代入A=x3−x2y−y2(x−y)中得：
A=x3−x2⋅x−x2(x−x)=0，
则A的值为0；
(2)A=x3−x2y−y2(x−y)
=x2(x−y)−y2(x−y)
=(x−y)(x2−y2)
=(x−y)(x−y)(x+y)
=(x−y)2(x+y)；
∵x>0，y>0，且x≠y，
∴x+y>0，(x−y)2≠0，
∴A的值是正数．
【解析】(1)将x=y代入A=x3−x2y−y2(x−y)中，再进行化简即可得出答案；
(2)对A=x3−x2y−y2(x−y)进行因式分解即可得出答案．
本题主要考查了整式的加减，因式分解．
22.【答案】(1)证明：连接AB，CD，
∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE//FC，
∴∠AED=∠CFB，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AD=CB，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分；
(2)解：∵AC与BD互相平分，
∴OA=OC,OB=OD=12BD=8，
∵BE=DF，
∴OE=OF=12EF=5，
∴AE=BE=3，
∵AE⊥AC，
∴根据勾股定理得：AO= OE2−AE2=4，
∴AC=2AO=8．
【解析】(1)由AD//BC得到∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，再证BF=DE，得到△ADE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是平行四边形，由此得证；
(2)由AC与BD互相平分，得到OE与AE的长，结合AE⊥AC，即可算出AO，由此得到AC的长．
本题考查平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，勾股定理的运用，准确看图找到关联信息是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种学习用品的售价为x元，则B种学习用品的售价为(x−20)元，
由题意可得：200 x=40x−20，
解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意；
∴x−20=5，
答：A种学习用品的售价为25元，则B种学习用品的售价为5元；
(2)设购买A种学习用品a个，B种学习用品(4a+8)个，
由题意可得：25a+5(4a+8−a)⩽1000，
解得：a≤24，
答：该校最多可购买A学习用品24个．
【解析】(1)设A种学习用品的售价为x元，则B种学习用品的售价为(x−20)元，由用200元购买A学习用品的数量和用40元购买B学习用品的数量相同，列出方程，即可求解；
(2)设购买A种学习用品a个，B种学习用品(4a+8)个，由该校需要B学习用品的个数是A学习用品个数的4倍还多8个，且该学校购买A，B两种学习用品的总费用不超过1000元，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠BGE+∠E=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠GFA=90°，
∴∠AGF+∠BAD=90°，
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠BAD=∠E；
(2)解：如图：过点B作BH⊥BF，交EF于H，
∴∠FBH=∠ABH+∠ABF=90°，
∵∠ABE=∠ABH+∠EBH=90°，
∴∠EBH=∠ABF，
由(1)知∠E=∠BAF，EB=AB，
∴△EBH≌△ABF(ASA)，
∴BH=BF，
∴∠BFH=∠BHF，
∵∠FBH=90°，
∴∠BFE=45°；
(3)证明：如图：连接CF，
由(2)得△EBH≌△ABF，
∴EH=AF，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴BF=CF，
∴∠BFD=∠CFD，
∵∠BFD=90°−∠BFE=45°，
∴∠CFD=∠BFD=45°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BFC=∠FBH=90°，
∴HB//FC，
∵HF⊥AD，AD⊥BC，
∴HF//BC，
∴四边形HBCF为平行四边形，
∴HF=BC，
∵EF=EH+HF，EH=AF，
∴EF=AF+BC．
【解析】(1)根据将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE及垂直的定义，即可证得结论；
(2)过点B作BH⊥BF，交EF于点H，可证得∠EBH=∠ABF，再由(1)知∠E=∠BAF，EB=AB，可证得△EBH≌△ABF(ASA)，进而证得∠BFH=∠BHF，据此即可求得∠BFE的度数；
(3)连接CF，由△EBH≌△ABF，可得EH=AF，由等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=CD，BF=CF，∠BFD=∠CFD，可求得∠BFC=∠FBH=90°，HB//FC，再由平行线的判定，可证得HF//AD，即可证得四边形HBCF为平行四边形，HF=BC，据此即可证得EF=AF+BC．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质的综合运用，作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列一组年轻人喜好的星座图标中，圆内部分是中心对称图形的是( )
A. 金牛座 B. 白羊座
C. 水瓶座 D. 巨蟹座
2. 若分式12x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x=0 B. x≠0 C. x=32 D. x≠32
3. 命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是( )
A. 若a>b，则a2≤b2 B. 若a
C. 若a2>b2，则a>b D. 若a2>b2，则a≤b
4. 已知一个不等式组的解集如图所示，则以下各数是该不等式组的解集为( )
A. −3 B. 2 C. 3 D. 4
5. 下列因式分解正确的是( )
A. x(x2−1)=x3−x B. x2+6x+9=x(x+6)+9
C. x2−y2=(x−y)2 D. x2−9y2=(x+3y)(x−3y)
6. 正八边形的每个外角为( )
A. 45° B. 55° C. 135° D. 145°
7. 下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 63x B. x+1x2−1 C. x+1x2+2x+1 D. 2xx2+1
8. 如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF、DF，M、N分别为EF、DF的中点，连接MN，则MN的长为( )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______．
10. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上．线段AB绕着某一定点顺时针旋转一个角度α(0°<α<180°)后，得到线段A1B1(点A1，B1分别是A，B的对应点)，则α的大小是______．
11. 已知a+b=3，ab=−2，则a2b+ab2的值是______ ．
12. 已知一次函数y=ax+b的图象如图，则关于x的不等式ax+b>0的解集是______．
13. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为______．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE=AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G.现给出以下结论：①EF=FG；②CD=DE；③∠BEG=∠BDC；④∠DEF=45°.其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
(1)因式分解：a2b−4b；
(2)利用因式分解进行简便计算：2.22+4.4×17.8+17.82．
16. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.求证：BE//FD．
17. (本小题6.0分)
下面是小亮同学解不等式2x−13−5x+12≤1的过程：
解：去分母，得2(2x−1)−3(5x+1)≤1①；
去括号，得4x−2−15x−3≤1②；
移项、合并同类项，得−11x≤6③；
系数化为1，得x≥−611④；
小亮的解法有错误吗？如果有错误，请指出错在哪里，并写出正确的解题过程．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1−2x+1)÷x2−xx+1，其中x= 2．
19. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
20. (本小题7.0分)
如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，有一个平面直角坐标系xOy，且A(−2,1)，B(−2,−1)，C(0,1)，请你在网格中先画出平面直角坐标系xOy后，把△ABC平移到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1，若A1(0,−2)，请再画出△A1B1C1．
21. (本小题10.0分)
已知A=x3−x2y−y2(x−y)．
(1)当x=y时，求A的值．
(2)当x>0，y>0，且x≠y时，试说明A的值是正数．
22. (本小题10.0分)
如图，点B，E，F，D在同一条直线上，BE=DF，AC交BD于点O，AD//BC，AE//FC．
(1)求证：AC与BD互相平分；
(2)若AE⊥AC，AE=BE，BD=16，EF=10，求AC的长．
23. (本小题10.0分)
某中学计划购买A，B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A学习用品比购买一个B学习用品多用20元，若用200元购买A学习用品的数量和用40元购买B学习用品的数量相同．
(1)求A，B两种学习用品的售价分别为多少元？
(2)经商谈，商家给该校优惠：每购买一个A学习用品赠送一个B学习用品．如果该校需要B学习用品的个数是A学习用品个数的4倍还多8个，且该学校购买A，B两种学习用品的总费用不超过1000元，那么该校最多可购买A学习用品多少个？
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE，EF⊥AD，垂足为F，EF与AB交于点G．
(1)求证：∠BAD=∠E；
(2)求∠BFE的度数；
(3)求证：EF=AF+BC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：若分式12x−3有意义，则2x−3≠0，
解得：x≠32．
故选：D．
直接利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题是“若a2>b2，则a>b”；
故选：C．
交换题设和结论可得原命题的逆命题．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题的方法：交换题设和结论．
4.【答案】B
【解析】解：由数轴知，该不等式组的解集为−1≤x<3，
所以四个选项中是该不等式组的解集为2，
故选：B．
根据数轴得出该不等式组的解集，再从各选项中选出此范围内的数即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据数轴得出该不等式组的解集．
5.【答案】D
【解析】解：A、x(x2−1)=x3−x，是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B、x2+6x+9=(x+3)2，故B不符合题意；
C、x2−y2=(x−y)(x+y)，故C不符合题意；
D、x2−9y2=(x+3y)(x−3y)，故D符合题意；
故选：D．
利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6.【答案】A
【解析】解：360°÷8=45°．
故选：A．
利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
7.【答案】D
【解析】解：A、原式=2x，不是最简分式，不符合题意；
B、原式=1x−1，不是最简分式，不符合题意；
C、原式=1x+1，不是最简分式，不符合题意；
D、2xx2+1是最简分式，符合题意；
故选：D．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
此题考查最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式．
8.【答案】A
【解析】解：∵BC=12，BD=12CD，
∴BD=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=12BD=2，
由勾股定理得：DE= BD2−BE2= 42−22=2 3，
∵M、N分别为EF、DF的中点，
∴MN=12DE= 3，
故选：A．
根据题意求出BD，根据等边三角形的性质得到∠B=60°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】−1
【解析】解：由题意可得x2−1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为−1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
10.【答案】90°
【解析】解：如图，连接BB1和AA1，作BB1和AA1的垂直平分线交于点O，则点O是旋转中心，
∴∠BOB1=90°=α，
故答案为：90°．
先找到旋转中心O，即可求解．
本题考查了旋转的性质，找到旋转中心是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵a+b=3，ab=−2．
∴a2b+ab2=ab(a+b)，
=−2×3，
=−6．
故答案为−6．
利用直接提取公因式进行分解因式，然后将已知代入即可得出．
本题考查了直接提取公因式法分解因式．
12.【答案】x>−1
【解析】解：观察函数图象可知：当x>−1时，一次函数y=ax+b的图象在x轴上方，
∴关于x的不等式ax+b>0的解集为x>−1．
故答案为：x>−1．
观察函数图象，找出一次函数图象在x轴上方时的x的取值范围，此题得解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=ax+b与y=0的上下位置关系找出不等式ax+b>0的解集是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE−AD=2，
即6+6−AD=2，
解得：AD=10；
∴BC=10；
故答案为：10．
由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．
14.【答案】①③④
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵EF⊥BD，
∴∠3=∠4=90°，∠EFD=∠DFG=90°，
在△BEF和△BGF中，
∠1=∠2BF=BF∠3=∠4，
∴△BEF≌△BGF(ASA)，
∴EF=FG，故①正确；
过D作DM⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD=DM，
在Rt△EMD中：DE>MD，
∴CD≠DE，故②说法错误；
∵△BEF≌△BGF，
∴∠5=∠6，
在四边形CDFG中∠C+∠8+∠DFG+∠7=180°，∠C=∠DFG=90°，
∴∠7+∠8=180°，
∵∠7+∠6=180°，
∴∠6=∠8，
∴∠5=∠8，
即∠BEG=∠BDC，故③正确；
∴∠AEF=∠ADF，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠DEF=∠EDF，
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF=45°，故④正确．
故答案为：①③④．
根据△BEF≌△BGF即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，根据四边形CDFG的内角和即可判断③，根据等腰三角形的性质和判定即可判断④．
此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上知识点，并灵活运用是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=b(a2−4)
=b(a+2)(a−2)．
(2)原式=(2.2+17.8)2
=202
=400．
【解析】(1)先提公因式，再用公式法．
(2)用完全平方公式求值．
本题考查因式分解的应用，正确的因式分解是求解本题的关键．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】根据平行四边形性质得出AD//BC，AD=BC，求出DE=BF，DE//BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质即可推出结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
17.【答案】解：小亮的解法有错误，错在第①步，去分母时，1漏乘了6，
正确的解题过程如下：
2x−13−5x+12≤1，
2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
4x−2−15x−3≤6，
4x−15x≤6+2+3，
−11x≤11，
x≥−1．
【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x+1−2x+1⋅x+1x(x−1)
=x−1x+1⋅x+1x(x−1)
=1x，
当x= 2时，原式=1 2= 22．
【解析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
20.【答案】解：建立平面直角坐标系和△A1B1C1如图所示；
【解析】根据点的坐标即可确定原点的位置，从而解决问题．
本题主要考查了作图−平移变换，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，确定坐标系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将x=y代入A=x3−x2y−y2(x−y)中得：
A=x3−x2⋅x−x2(x−x)=0，
则A的值为0；
(2)A=x3−x2y−y2(x−y)
=x2(x−y)−y2(x−y)
=(x−y)(x2−y2)
=(x−y)(x−y)(x+y)
=(x−y)2(x+y)；
∵x>0，y>0，且x≠y，
∴x+y>0，(x−y)2≠0，
∴A的值是正数．
【解析】(1)将x=y代入A=x3−x2y−y2(x−y)中，再进行化简即可得出答案；
(2)对A=x3−x2y−y2(x−y)进行因式分解即可得出答案．
本题主要考查了整式的加减，因式分解．
22.【答案】(1)证明：连接AB，CD，
∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE//FC，
∴∠AED=∠CFB，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AD=CB，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分；
(2)解：∵AC与BD互相平分，
∴OA=OC,OB=OD=12BD=8，
∵BE=DF，
∴OE=OF=12EF=5，
∴AE=BE=3，
∵AE⊥AC，
∴根据勾股定理得：AO= OE2−AE2=4，
∴AC=2AO=8．
【解析】(1)由AD//BC得到∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，再证BF=DE，得到△ADE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是平行四边形，由此得证；
(2)由AC与BD互相平分，得到OE与AE的长，结合AE⊥AC，即可算出AO，由此得到AC的长．
本题考查平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，勾股定理的运用，准确看图找到关联信息是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种学习用品的售价为x元，则B种学习用品的售价为(x−20)元，
由题意可得：200 x=40x−20，
解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意；
∴x−20=5，
答：A种学习用品的售价为25元，则B种学习用品的售价为5元；
(2)设购买A种学习用品a个，B种学习用品(4a+8)个，
由题意可得：25a+5(4a+8−a)⩽1000，
解得：a≤24，
答：该校最多可购买A学习用品24个．
【解析】(1)设A种学习用品的售价为x元，则B种学习用品的售价为(x−20)元，由用200元购买A学习用品的数量和用40元购买B学习用品的数量相同，列出方程，即可求解；
(2)设购买A种学习用品a个，B种学习用品(4a+8)个，由该校需要B学习用品的个数是A学习用品个数的4倍还多8个，且该学校购买A，B两种学习用品的总费用不超过1000元，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠BGE+∠E=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠GFA=90°，
∴∠AGF+∠BAD=90°，
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠BAD=∠E；
(2)解：如图：过点B作BH⊥BF，交EF于H，
∴∠FBH=∠ABH+∠ABF=90°，
∵∠ABE=∠ABH+∠EBH=90°，
∴∠EBH=∠ABF，
由(1)知∠E=∠BAF，EB=AB，
∴△EBH≌△ABF(ASA)，
∴BH=BF，
∴∠BFH=∠BHF，
∵∠FBH=90°，
∴∠BFE=45°；
(3)证明：如图：连接CF，
由(2)得△EBH≌△ABF，
∴EH=AF，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴BF=CF，
∴∠BFD=∠CFD，
∵∠BFD=90°−∠BFE=45°，
∴∠CFD=∠BFD=45°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BFC=∠FBH=90°，
∴HB//FC，
∵HF⊥AD，AD⊥BC，
∴HF//BC，
∴四边形HBCF为平行四边形，
∴HF=BC，
∵EF=EH+HF，EH=AF，
∴EF=AF+BC．
【解析】(1)根据将AB绕点B逆时针旋转90°得到BE及垂直的定义，即可证得结论；
(2)过点B作BH⊥BF，交EF于点H，可证得∠EBH=∠ABF，再由(1)知∠E=∠BAF，EB=AB，可证得△EBH≌△ABF(ASA)，进而证得∠BFH=∠BHF，据此即可求得∠BFE的度数；
(3)连接CF，由△EBH≌△ABF，可得EH=AF，由等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=CD，BF=CF，∠BFD=∠CFD，可求得∠BFC=∠FBH=90°，HB//FC，再由平行线的判定，可证得HF//AD，即可证得四边形HBCF为平行四边形，HF=BC，据此即可证得EF=AF+BC．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质的综合运用，作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
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