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【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下学期数学-关于9的数论特点讲义
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关于9的数论特点（解析版）
一、知识点
1、9的倍数的特征
一个数的各个数位上的数字之和是９的倍数，则这个数就是９的倍数。
2、9的余数的特性
一个数除以９的余数等于它的各个数位上的数字之和除以９的余数。
3、弃九法
将和为９或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字之和求除以9的余数的方法
应用
计算一个数除以９的余数
检验四则运算的正确性
4、进位和借位
加法进位的数字和变化
无进位时，各个加数的数字之和的和等于和的数字之和
有进位时，每进位一次，和的数字之和就比各个加数的数字之和减少９
减法借位的数字和变化
无借位时，被减数与减数的数字之和的差等于差的数字之和
有借位时，每借位一次，差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9
二、学习目标
1.我能够了解数字求和法在9的整除特征与9的特性求余中的应用。
2.我能够掌握弃九法，并能用弃九法求算式除以9的余数。
3.我能够掌握乱切法，并能用乱切法求多位数除以9的余数。
4.我能够运用加减法的进位与借位解决数字和的变化规律问题。
三、课前练习
1. 判断下列各数能否被9整除。
18762 475326 6354711 49865576
【解答】
1＋8＋7＋6＋2＝24，24不能被9整除，故18762不能被9整除。4＋7＋5＋3＋2＋6＝27，27能被9整除，故475326 能被9整除。6＋3＋5＋4＋7＋1＋1＝27，27能被9整除，故6354711能被9整除。4＋9＋8＋6＋5＋5＋7＋6＝50，50不能被9整除，故49865576不能被9整除。
2. 求下列各数除以9的余数。
642517 1096823 19962017 123234345
【解答】
6＋4＋2＋5＋1＋7＝25，25除以9的余数为7，故642517除以9的余数为7。1＋0＋9＋6＋8＋2＋3＝29，29除以9的余数为2，故1096823除以9的余数为2。1＋9＋9＋6＋2＋0＋1＋7＝35，35除以9的余数为8，故 19962017除以9的余数为8。1＋2＋3＋2＋3＋4＋3＋4＋5＝27，27除以9的余数为0，故123234345除以9 的余数为0。
四、典型例题
思路点拨
两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。
例题1
（1）用弃九法计算下列算式的结果除以9的余数。
228×222 334×336
【解答】
228的九余数为3，222的九余数为6，3×6＝18，18除以9余0，则228×222的结果除以9的余数为0。334的九余数为1，336的九余数为3，1×3＝3，3除以9余3，则334×336的结果除以9的余数为3。
（2）用弃九法计算680×680＋192×192－464×464的结果除以9的余数。
【解答】
680的九余数为5，192的九余数为3，464的九余数为5，5×5＋3×3－5×5＝9，9除以9余0，则算式680×680＋192×192－464×464的结果除以9余数为0。
练习1
（1）计算算式3145×92653的结果除以9的余数。
【解答】
3145的九余数为4，92653的九余数为7，4×7＝28，28除以9余1，则3145×92653的结果除以9的余数为1。
（2）用弃九法计算173×173×173－162×162×162的结果除以9的余数。
【解答】
173的九余数为2，162的九余数为0，2×2×2－0＝8，8除以9余8，则算式173×173×173－162×162×162的结果除以9余数为8。
思路点拨
乱切法：把一个数随意切成几段，再求和，然后看和能否被3或9整除。使用时，一般先找规律再切。
例题2：将1至2020这2020个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20192020，这个多位数除以9的余数是 （ ）
【解答】
此题数位太多，没有办法用弃九法，可用乱切法，按照数字规律切成1，2，3，4，5……2018，2019，2020，利用连续9个数的和一定是9的倍数这个特点进行分组，求出剩余几个数，再进行特性求余即可。2020÷9＝224（组）……4（个）
(1＋2＋3＋4)÷9＝1……1
或（2017＋2018＋2019＋2020）÷9＝897……1
（此处可从前面开始分组切，也可以从后面开始分组切。为计算方便，可选数小的计算余数。）
综上所述，原多位数除以9的余数是1。
练习2：将1至2035这2035个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20342035，这个多位数除以9的余数是 （ ）
【解答】
按照数字规律切成1，2，3，4，5……2034，2035。
2035÷9＝226（组）……1（个）
1÷9＝0……1
综上所述，原多位数除以9的余数是1。
加法减法进位的数字和变化：
1.可列举一下两位数加两位数的加法，并从中总结一下两个加数的数字和与和的数字和的关系。
2. 可以借助竖式谜的形式。
例题3
（1）有A、B两个整数，A的各位数字之和为25，B的各位数字之和为16，两数相加时进位3次，那么A＋B的和的各位数字之和是 。
【解答】
在加法中，有进位时，每进位一次，和的数字之和就比各个加数的数字之和的和减少9。此题进位3次，因此要减去9×3，因此A＋B的和的各位数字之和是：25＋16－9×3＝14。
（2）有A、B两个整数，A的各位数字之和为25，B的各位数字之和为16，两数相减时借位2次，那么A－B的差的各位数字之和是 。
【解答】
在减法中，有借位时，每借位一次，差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9。此题借位2次，因此要加上9×2，因此A－B的差的各位数字之和是：25－16＋9×2＝27。
练习3
（1）有C、D两个整数，C的各位数字之和为35，D的各位数字之和为12，两数相加时进位4次，那么C＋D的和的各位数字之和是 。
【解答】35＋12－9×4＝11
（2）有A、B两个整数，A的各位数字之和为7，B的各位数字之和为19，两数相减时借位3次，那么A－B的差的各位数字之和是 。
【解答】7－19＋9×3＝15
思路点拨
加法减法进位的数字和变化规律的逆运用：
方法一：利用填竖式谜的方法去解答。
方法二：利用数字和变化规律，要先分析进位和借位情况。
例题4
从1~9中选出6个不同的数字填入下面加法竖式的方框中，使竖式成立，则方框中的6个数字之和为 。
【解答】1＋2＋8＋2×9＝29
第一种方法：利用填竖式谜的方法可得：492＋536＝1028或681＋347＝1028。数字之和为：4＋9＋2＋5＋3＋6＝29或6＋8＋1＋3＋4＋7＝29。
第二种方法：由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位、百位均进位了，因此进位了2次，可知，方框中的6个数字之和为：1＋0＋2＋8＋2×9＝29。
练习4
从1~9中选出7个不同的数字填入下面加法竖式的方框中，使竖式成立，则方框中的7个数字之和为 。
【解答】进位2次，2＋8＋2×9＝28
选讲题
将一个数的各位数字相加得到一个新的数称为一次操作，经连续若干次操作后可以
变为6的数称为“好数”，那么不超过2020的“好数”的个数为 ，这些数的最大公因数是 。
【解答】
题意中的"好数"实际是指小于或等于2020中除以9余6的数有多少个，即数列6、15、24、…、2004、2013。求出（2013－6）里面有几个9，再加上1，就是所有的“好数”；6和15的最大公因数就是这组数列的最大公因数。其个数为：（2013－6）÷9＋1＝224（个）
（6，15）＝3，故所有好数的最大公因数为3。
五、课后作业
1. 用弃九法计算下列算式的结果除以9的余数。
624×376 13468×259
【解答】
624的九余数为3，376的九余数为7，3×7＝21，21除以9余3，则 624×376的结果除以9的余数为3。
13468的九余数为4，259的九余数为7，4×7＝28，28除以9余1，则13468×259的结果除以9的余数为1。
2. 用弃九法计算183×183＋253×253－243×243的结果除以9的余数。
【解答】
183的九余数为3，253的九余数为1，243的九余数为0，3×3＋1×1－0＝10，10除以9余1，则算式183×183＋253×253－243×243的结果除以9余数为1。
3.将1至2028这2028个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20272028，这个多位数除以9的余数是 （ ）
【解答】
2028÷9＝225（组）……3（个）
(1＋2＋3)÷9＝0……6
综上所述，原多位数除以9的余数是6。
4.（1）有A、B两个整数，A的各位数字之和为21，B的各位数字之和为15，两数相加时进位3次，那么A＋B的和的各位数字之和是 。
【解答】21＋15－3×9＝9
（2）有A、B两个整数，A的各位数字之和为21，B的各位数字之和为35，两数相减时借位3次，那么A－B的差的各位数字之和是 。
【解答】21－35＋3×9＝13
5. 从1~9中选出6个不同的数字填入下式的方框中，使竖式成立，则方框中的6个数字之和是 。
【解答】（1＋6＋1＋9）＋2×9＝35
选做题
一个自然数，把它的各位数字加起来得到一个新数，称为一次变换，例如自然数5636，
各位数字之和为5＋6＋3＋6＝20，对20再作这样的变换得2＋0＝ 。
【解答】
单看从1到9就有三组：
①123456789，，，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45×3＝135
两位数的十位之和为1×10＋2×10＝30
一次变化后，得数为135＋30＝165；
二次变化后，得数为1＋6＋5＝12。
最终得数1＋2＝3最终得到的一位数是3。
关于9的数论特点（解析版）
一、知识点
1、9的倍数的特征
一个数的各个数位上的数字之和是９的倍数，则这个数就是９的倍数。
2、9的余数的特性
一个数除以９的余数等于它的各个数位上的数字之和除以９的余数。
3、弃九法
将和为９或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字之和求除以9的余数的方法
应用
计算一个数除以９的余数
检验四则运算的正确性
4、进位和借位
加法进位的数字和变化
无进位时，各个加数的数字之和的和等于和的数字之和
有进位时，每进位一次，和的数字之和就比各个加数的数字之和减少９
减法借位的数字和变化
无借位时，被减数与减数的数字之和的差等于差的数字之和
有借位时，每借位一次，差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9
二、学习目标
1.我能够了解数字求和法在9的整除特征与9的特性求余中的应用。
2.我能够掌握弃九法，并能用弃九法求算式除以9的余数。
3.我能够掌握乱切法，并能用乱切法求多位数除以9的余数。
4.我能够运用加减法的进位与借位解决数字和的变化规律问题。
三、课前练习
1. 判断下列各数能否被9整除。
18762 475326 6354711 49865576
【解答】
1＋8＋7＋6＋2＝24，24不能被9整除，故18762不能被9整除。4＋7＋5＋3＋2＋6＝27，27能被9整除，故475326 能被9整除。6＋3＋5＋4＋7＋1＋1＝27，27能被9整除，故6354711能被9整除。4＋9＋8＋6＋5＋5＋7＋6＝50，50不能被9整除，故49865576不能被9整除。
2. 求下列各数除以9的余数。
642517 1096823 19962017 123234345
【解答】
6＋4＋2＋5＋1＋7＝25，25除以9的余数为7，故642517除以9的余数为7。1＋0＋9＋6＋8＋2＋3＝29，29除以9的余数为2，故1096823除以9的余数为2。1＋9＋9＋6＋2＋0＋1＋7＝35，35除以9的余数为8，故 19962017除以9的余数为8。1＋2＋3＋2＋3＋4＋3＋4＋5＝27，27除以9的余数为0，故123234345除以9 的余数为0。
四、典型例题
思路点拨
两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。
例题1
（1）用弃九法计算下列算式的结果除以9的余数。
228×222 334×336
【解答】
228的九余数为3，222的九余数为6，3×6＝18，18除以9余0，则228×222的结果除以9的余数为0。334的九余数为1，336的九余数为3，1×3＝3，3除以9余3，则334×336的结果除以9的余数为3。
（2）用弃九法计算680×680＋192×192－464×464的结果除以9的余数。
【解答】
680的九余数为5，192的九余数为3，464的九余数为5，5×5＋3×3－5×5＝9，9除以9余0，则算式680×680＋192×192－464×464的结果除以9余数为0。
练习1
（1）计算算式3145×92653的结果除以9的余数。
【解答】
3145的九余数为4，92653的九余数为7，4×7＝28，28除以9余1，则3145×92653的结果除以9的余数为1。
（2）用弃九法计算173×173×173－162×162×162的结果除以9的余数。
【解答】
173的九余数为2，162的九余数为0，2×2×2－0＝8，8除以9余8，则算式173×173×173－162×162×162的结果除以9余数为8。
思路点拨
乱切法：把一个数随意切成几段，再求和，然后看和能否被3或9整除。使用时，一般先找规律再切。
例题2：将1至2020这2020个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20192020，这个多位数除以9的余数是 （ ）
【解答】
此题数位太多，没有办法用弃九法，可用乱切法，按照数字规律切成1，2，3，4，5……2018，2019，2020，利用连续9个数的和一定是9的倍数这个特点进行分组，求出剩余几个数，再进行特性求余即可。2020÷9＝224（组）……4（个）
(1＋2＋3＋4)÷9＝1……1
或（2017＋2018＋2019＋2020）÷9＝897……1
（此处可从前面开始分组切，也可以从后面开始分组切。为计算方便，可选数小的计算余数。）
综上所述，原多位数除以9的余数是1。
练习2：将1至2035这2035个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20342035，这个多位数除以9的余数是 （ ）
【解答】
按照数字规律切成1，2，3，4，5……2034，2035。
2035÷9＝226（组）……1（个）
1÷9＝0……1
综上所述，原多位数除以9的余数是1。
加法减法进位的数字和变化：
1.可列举一下两位数加两位数的加法，并从中总结一下两个加数的数字和与和的数字和的关系。
2. 可以借助竖式谜的形式。
例题3
（1）有A、B两个整数，A的各位数字之和为25，B的各位数字之和为16，两数相加时进位3次，那么A＋B的和的各位数字之和是 。
【解答】
在加法中，有进位时，每进位一次，和的数字之和就比各个加数的数字之和的和减少9。此题进位3次，因此要减去9×3，因此A＋B的和的各位数字之和是：25＋16－9×3＝14。
（2）有A、B两个整数，A的各位数字之和为25，B的各位数字之和为16，两数相减时借位2次，那么A－B的差的各位数字之和是 。
【解答】
在减法中，有借位时，每借位一次，差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9。此题借位2次，因此要加上9×2，因此A－B的差的各位数字之和是：25－16＋9×2＝27。
练习3
（1）有C、D两个整数，C的各位数字之和为35，D的各位数字之和为12，两数相加时进位4次，那么C＋D的和的各位数字之和是 。
【解答】35＋12－9×4＝11
（2）有A、B两个整数，A的各位数字之和为7，B的各位数字之和为19，两数相减时借位3次，那么A－B的差的各位数字之和是 。
【解答】7－19＋9×3＝15
思路点拨
加法减法进位的数字和变化规律的逆运用：
方法一：利用填竖式谜的方法去解答。
方法二：利用数字和变化规律，要先分析进位和借位情况。
例题4
从1~9中选出6个不同的数字填入下面加法竖式的方框中，使竖式成立，则方框中的6个数字之和为 。
【解答】1＋2＋8＋2×9＝29
第一种方法：利用填竖式谜的方法可得：492＋536＝1028或681＋347＝1028。数字之和为：4＋9＋2＋5＋3＋6＝29或6＋8＋1＋3＋4＋7＝29。
第二种方法：由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位、百位均进位了，因此进位了2次，可知，方框中的6个数字之和为：1＋0＋2＋8＋2×9＝29。
练习4
从1~9中选出7个不同的数字填入下面加法竖式的方框中，使竖式成立，则方框中的7个数字之和为 。
【解答】进位2次，2＋8＋2×9＝28
选讲题
将一个数的各位数字相加得到一个新的数称为一次操作，经连续若干次操作后可以
变为6的数称为“好数”，那么不超过2020的“好数”的个数为 ，这些数的最大公因数是 。
【解答】
题意中的"好数"实际是指小于或等于2020中除以9余6的数有多少个，即数列6、15、24、…、2004、2013。求出（2013－6）里面有几个9，再加上1，就是所有的“好数”；6和15的最大公因数就是这组数列的最大公因数。其个数为：（2013－6）÷9＋1＝224（个）
（6，15）＝3，故所有好数的最大公因数为3。
五、课后作业
1. 用弃九法计算下列算式的结果除以9的余数。
624×376 13468×259
【解答】
624的九余数为3，376的九余数为7，3×7＝21，21除以9余3，则 624×376的结果除以9的余数为3。
13468的九余数为4，259的九余数为7，4×7＝28，28除以9余1，则13468×259的结果除以9的余数为1。
2. 用弃九法计算183×183＋253×253－243×243的结果除以9的余数。
【解答】
183的九余数为3，253的九余数为1，243的九余数为0，3×3＋1×1－0＝10，10除以9余1，则算式183×183＋253×253－243×243的结果除以9余数为1。
3.将1至2028这2028个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20272028，这个多位数除以9的余数是 （ ）
【解答】
2028÷9＝225（组）……3（个）
(1＋2＋3)÷9＝0……6
综上所述，原多位数除以9的余数是6。
4.（1）有A、B两个整数，A的各位数字之和为21，B的各位数字之和为15，两数相加时进位3次，那么A＋B的和的各位数字之和是 。
【解答】21＋15－3×9＝9
（2）有A、B两个整数，A的各位数字之和为21，B的各位数字之和为35，两数相减时借位3次，那么A－B的差的各位数字之和是 。
【解答】21－35＋3×9＝13
5. 从1~9中选出6个不同的数字填入下式的方框中，使竖式成立，则方框中的6个数字之和是 。
【解答】（1＋6＋1＋9）＋2×9＝35
选做题
一个自然数，把它的各位数字加起来得到一个新数，称为一次变换，例如自然数5636，
各位数字之和为5＋6＋3＋6＝20，对20再作这样的变换得2＋0＝ 。
【解答】
单看从1到9就有三组：
①123456789，，，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45×3＝135
两位数的十位之和为1×10＋2×10＝30
一次变化后，得数为135＋30＝165；
二次变化后，得数为1＋6＋5＝12。
最终得数1＋2＝3最终得到的一位数是3。
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