(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.6.2 二次方程根的分布问题（2份打包，学生版+教师版）

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第2.6章 函数的应用
2.6.2 二次方程根的分布问题

高中要求
1掌握二次函数、一元二次方程的关系；
2 掌握二次函数零点的分布问题.

1 概念
二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题.
2 常见题型
① 两根与的大小比较(以为例)
分布情况
两根都小于，
即
两根都大于，
即
一根小于，一根大于，即
大致图像



得出的结论








② 两根分别在区间外



大致图像


得出的结论


③ 根在区间上的分布(以为例)
分布情况
两根都在内

两根有且仅有一根在内
一根内，
另一根在内
大致图像



得出的结论





【题型1】 两根与的大小比较
【典题1】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。
解析
方法一：
当时，若要满足题意，必须；
当时，若要满足题意，必须；
即，解得。
方法二：(韦达定理)
设是的两个根，若要满足题意等价于
，解得。

变式练习
1.若方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是(　　)

答案
解析 方程有一个正根和一个负根，
两根之积，故，
，求得或，
故选：．
2.已知关于的方程有两个实数根，且一根大于，一根小于，则实数的取值范围为　 　．
答案
解析 令，由题意可得，
即：，整理：，解得：，
所以实数的取值范围为；
故答案为：．

3.若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，
则实数的取值范围是　 　．
答案
解析 关于的二次方程的两个互异的实根都小于，
则 ，
即 求得，
即的范围为.

【题型2】 根在区间上的分布
【典题1】 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范围为　 　．
解析 方法1
方程对应的函数为
若要满足题意，
则
故答案是.
方法2 方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案是.

变式练习
1.方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　)

答案
解析 令
方程的两根分别在与内，
，，
，
的取值范围为．
故选：．
2.若方程的一个根在区间内，则实数的取值范围是(　　)

答案
解析 若方程有两相等的实根，
则，解得，
此时，不在区间内，
令，
若方程有两不相等的实根，且一个根在区间内，
则，即，
解得：，
故选：．
3.已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范
围为　 　．
答案
解析 设，
方程的两根分别在区间，之内，
可得，，
即有，且，
即为，解得．
故答案为：．
4.若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　．
答案
解析 设函数，
方程的一个根在区间上，另一根在区间，
，∴，即，
则
即实数的取值范围是；
故答案为：(4，2)．


【题型3】 两根分别在区间外
【典题1】 已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　．
解析 关于的方程对应的二次函数
若，即图象开口向上，
的两个实根一个小于，另一个大于，
只需，且，
即且，则；
若，即图象开口向下，
的两个实根一个小于，另一个大于，
只需，且，
即且，则．
综上可得的范围是．
故答案为：．

变式练习
1.若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且，
则实数的取值范围是(　　)


答案
解析 由题意设，
方程有两个不相等的实根，且，，
，则，解得，
故选：．


1.已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　)

答案
解析 设，
若方程有一根大于，另一根小于，则只需要，
即，得，
即实数的取值范围是，
故选：．
2.关于的方程的两根都大于，则的取值范围是(　　)


答案
解析 关于的方程的两根都大于，
，解得：，
故选：．
3.方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　)

答案
解析 若关于的方程的两根分别在与内，
则函数与内各有一个零点
则
即，，
解得
故选：．
4.已知方程至少有一个负根，则实数的取值范围是(　　)


答案
解析 (1)当时，方程变为，有一负根，满足题意，
(2)当时，，方程的两根满足0，
此时有且仅有一个负根，满足题意，
(3)当时，由方程的根与系数关系可得
方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件，
,
综上可得，，
故选：．
5.已知方程的两根为，且，则的取值范围
是　　．
答案
解析 由程，
知对应的函数图象开口方向朝上
又方程的两根满足,
则 ,即 ,即 ，

故答案为
6.求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根。
解析 设．
依题意有，即，得 ．
(2)依题意有，解得．
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
7.已知，且方程的两根分别为，且
，求证：．
证明：令．
因为是方程的根，
所以．
当时，由于，得，
又，得，
即．

因为
所以，．
得．
由此得．
综上得证．