第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

这是一份第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册），文件包含第11讲函数的奇偶性及函数性质综合人教A版必修第一册解析版docx、第11讲函数的奇偶性及函数性质综合人教A版必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

·模块一 函数的奇偶性
·模块二 函数的图象
·模块三 课后作业
模块一
函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)奇、偶函数图象对称性的应用
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
【考点1 函数奇偶性的判断】
【例1.1】（2023·高一课时练习）函数f(x)=x⋅|x|(x≤0)的奇偶性是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
【解题思路】根据给定条件，利用奇偶性函数的定义直接判断作答.
【解答过程】函数f(x)=x⋅|x|(x≤0)的定义域为(−∞,0]，不关于数0对称，
所以函数f(x)是非奇非偶函数.
故选：D.
【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．f(x)=x3B．f(x)=|x−1|C．f(x)=1D．f(x)=xx2+1
【解题思路】利用偶函数定义逐项判断作答.
【解答过程】对于A，函数f(x)=x3的定义域为R，f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，f(x)不是偶函数，A不是；
对于B，函数f(x)=|x−1|的定义域为R，f(−x)=|−x−1|=|x+1|≠f(x)，f(x)不是偶函数，B不是；
对于C，函数f(x)=1的定义域为R，f(−x)=1=f(x)，f(x)是偶函数，C是；
对于D，函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f(−x)=−x(−x)2+1=−f(x)，f(x)不是偶函数，D不是.
故选：C.
【变式1.1】（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．f(x)=xB．f(x)=|x|C．f(x)=x2D．f(x)=x2−1
【解题思路】利用奇函数的定义逐项判断作答.
【解答过程】对于A，f(x)=x的定义域为R，f(−x)=−x=−f(x)，函数f(x)是奇函数，A是；
对于B，f(x)=|x|的定义域为R，f(−x)=|−x|=f(x)，函数f(x)不是奇函数，B不是；
对于C，f(x)=x2的定义域为R，f(−x)=(−x)2=f(x)，函数f(x)不是奇函数，C不是；
对于D，f(x)=x2−1的定义域为R，f(−x)=(−x)2−1=f(x)，函数f(x)不是奇函数，D不是.
故选：A.
【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)⋅g(x)是奇函数
B．若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数
C．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数
D．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)+g(x)不一定是奇函数
【解题思路】由函数的奇偶性的定义即可判断.
【解答过程】对于A，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=−g(x)，
令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ℎ(x)，
所以f(x)⋅g(x)是偶函数，故A错误；
对于B，因为f(x)和g(x)都是偶函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=g(x)，
令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ℎ(x)，
所以f(x)⋅g(x)是偶函数，故B正确；
对于C，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，
令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)=−ℎ(x)，
所以f(x)⋅g(x)是奇函数，故C错误；
对于D，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=−g(x)，
令ℎ(x)=f(x)+g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−ℎ(x)，
所以f(x)+g(x)是奇函数，故D错误.
故选：B.
【考点2 由函数奇偶性求函数值、解析式】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知fx为偶函数，当x>0时，fx=x2−2x−3，则当x<0时，fx=（ ）
A．−x2−2x+3B．x2+2x−3C．−x2+2x+3D．x2−2x−3
【解题思路】根据已知，利用函数的奇偶性求解.
【解答过程】当x<0时，−x>0，则f−x=−x2−2−x−3=x2+2x−3，
又因为fx是偶函数，所以fx=f−x=x2+2x−3.
故选：B.
【例2.2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知函数fx的定义域为R，若函数fx−2x为偶函数，函数fx−x2为奇函数，则f1=（ ）
A．1B．3C．−1D．−3
【解题思路】利用奇偶性的定义列出fx和f−x的方程组求解即可．
【解答过程】函数fx的定义域为R，设函数gx=fx−2x， ℎx=fx−x2，
则g−x=f−x+2x=fx−2x=gx，ℎx+ℎ−x=fx−x2+f−x−x2=0，
即fx−f−x=4xfx+f−x=2x2，解得fx=2x+x2，所以f1=3，
故选：B.
【变式2.1】（2023秋·湖南郴州·高一校联考期末）设fx是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈2,3时，fx=x，则当 x∈−2,0 时，fx的解析式为（ ）
A．x+4B．2−xC．3−x+1D．2+x+1
【解题思路】当x∈−2,−1时，由fx=fx+4可得出fx的表达式；当x∈−1,0时，由函数的周期性和奇偶性可得出fx=f−x=f2−x.综合可得结果.
【解答过程】当x∈−2,−1时，x+4∈2,3，fx=fx+4=x+4=3+x+1，
当x∈−1,0时，−x∈0,1，2−x∈2,3，
因为函数fx为偶函数，则fx=f−x=f2−x=2−x=3−x+1，
综上所述，当x∈−2,0时，fx=3−x+1.
故选：C.
【变式2.2】（2023春·云南昆明·高一校考期中）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=ax2+b.若f0+f3=6，则f133=（ ）
A．−94B．−32C．329D．103
【解题思路】根据给定条件，确定出函数解析式fx=−2x2+2，再借助函数的性质即可计算作答.
【解答过程】由fx+1是奇函数，得f−x+1=−fx+1，即f(−x+2)=−f(x)，
由fx+2是偶函数，得fx+2=f−x+2，
令x=1，得：f0=−f2=−4a+b，f3=f1=a+b，
而f0+f3=6，于是−4a+b+a+b=6，解得a=−2，
令x=0，得f1=−f1，即f1=0，则a+b=0，解得b=2，因此fx=−2x2+2，
又f(x+2)=−f(x)，于是f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以f(133)=f(13+4)=f(13)=−f(53)=−[−2×(53)2+2]=329.
故选：C.
【考点3 由函数奇偶性求参数】
【例3.1】（2022秋·高一单元测试）已知函数fx=−1+x3+a是R上奇函数，则a=（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【解题思路】利用奇函数的定义可求参数a的值.
【解答过程】因为fx是R上的奇函数，故f0=0，所以−1+a=0，故a=1，
当a=1时，fx=x3，f−x=−x3=−x3=−fx，则fx=x3是奇函数，
所以a=1.
故选：D.
【例3.2】（2022秋·广东湛江·高一校考期中）若函数f(x)=ax2+(a+2b)x−2a+3是定义在2a−2,0∪0,−3a上的偶函数，则a=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案.
【解答过程】因为偶函数的定义域关于原点对称，则−3a+2a−2=0，解得a=−2,
而当a=−2,b=1时，函数f(x)=−2x2+7是(−6,0)∪(0,6)上的偶函数，
所以a=−2.
故选：A.
【变式3.1】（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知f(x)是偶函数，当x≥0时，fx=x2−2x，若fa=3，则a=（ ）
A．±1B．±3C．−1或3D．±1或±3
【解题思路】根据偶函数的定义求解.
【解答过程】当a≥0时，由fa=3，得a2−2a=3，
解得a=−1（舍去）或a=3；
根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当a<0时，
由fa=3，得a=1(舍)或a=−3，
综上，a=±3，
故选:B.
【变式3.2】（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）设fx=−x3+a−2x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数，则fa+b＝（ ）
A．−1B．0C．1D．−2
【解题思路】根据奇函数的定义可得a,b的值，从而确定函数解析式，即可求得fa+b的值.
【解答过程】因为fx=−x3+a−2x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数，
所以2b+b+3=0，即b=−1，且f−x＝x3+a−2x2−x=−fx，故a−2=0，所以a=2，
所以fx=−x3+x，则fa+b=f1=−13+1=0.
故选：B.
模块二
函数的图象
1．函数图象的对称性
(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
2．函数图象的识别、判断
(1)排除法：利用特殊点的值来排除；
(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【考点1 函数图象的识别、判断】
【例1.1】（2023春·江苏泰州·高一校考阶段练习）函数fx=2xx2+1的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用排除法及奇函数的性质，结合基本不等式即可求解.
【解答过程】由x2+1≠0，解得x∈R，
所以函数fx的定义域为xx∈R，
所以f−x=2−x−x2+1=−2xx2+1=−fx，
所以fx为奇函数，排除A ；
当x>0时，fx=2xx2+1>0，排除D ；
当x>0时，x+1x≥2x⋅1x=2，所以2x+1x≤1，（当且仅当x=1时等号成立）
即fx=2xx2+1=2x+1x≤1，排除B；
所以C正确.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·校联考三模）函数fx=2x31+x2−x的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算f12,f2即可判断.
【解答过程】因为fx=2x31+x2−x=2x3−x−x31+x2=x3−x1+x2，易知fx的定义域为R.
因为f−x=−x3−−x1+−x2=−x3+x1+x2=−x3−x1+x2=−fx，所以fx为奇函数，
图象关的原点对称.排除A，D选项；
又f12=123−121+122<0，f2=23−21+22>0，所以排除C选项.
故选：B.
【变式1.1】（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）如图，给出奇函数y=fx的局部图象，则2f−1+3f−2的值为（ ）
A．−7B．7C．5D．−5
【解题思路】结合函数的奇偶性以及图象求得正确答案.
【解答过程】依题意，fx是奇函数，
结合图象可知2f−1+3f−2=−2f1−3f2=−2×1−3×53=−7.
故选：A.
【变式1.2】（2023春·河北保定·高一校考期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中．有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=2x1−xB．fx=2xx2−1
C．fx=2xx2+1D．fx=x2+1x2−1
【解题思路】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除C；再根据x>1时函数值为正排除A即可得出结果.
【解答过程】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除C；
对于A，当x>1时，y<0，不满足图象，故排除A，选B.
故选：B.
【考点2 函数性质的综合应用】
【例2.1】（2023春·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当0(1)求当−3≤x<0时，函数fx的解析式；
(2)若fa+1+f2a−1>0，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）设−3≤x<0，则0<−x≤3，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；
（2）将fa+1+f2a−1>0转化为fa+1>f1−2a，再判断fx的单调性，由其单调性可求出不等式的解集.
【解答过程】（1）设−3≤x<0，则0<−x≤3，
所以f−x=12(−x)2−x=12x2−x，
因为fx是定义在−3,3上的奇函数，
所以f−x=−fx，
所以−fx=12x2−x，
所以fx=−12x2+x
即当−3≤x<0时，函数fx的解析式为fx=−12x2+x，
（2）由fa+1+f2a−1>0，得fa+1>−f2a−1，
因为fx为奇函数，所以fa+1>f1−2a，
当0所以fx在(0,3]上单调递增，
因为函数fx是定义在−3,3上的奇函数，
所以fx在−3,3上单调递增，
所以−3≤a+1≤3−3≤2a−1≤3a+1>1−2a，解得0即实数a的取值范围为(0,2].
【例2.2】（2023春·安徽马鞍山·高一校考开学考试）已知函数f(x)=m−23x+1是R上的奇函数.
(1)求m的值；
(2)比较f(3x2−x+1)+f1−x−2x2与0的大小，并说明理由.
【解题思路】（1）由奇函数的性质列式求解；（2）先判断函数的单调性，然后求解(3x2−x+1)−−1+x+2x2>0，利用单调性与奇偶性即可判断出f(3x2−x+1)+f1−x−2x2>0.
【解答过程】（1）因为f(x)=m−23x+1是R上的奇函数，
所以f(0)=m−230+1=m−1=0，得m=1
m=1时，f(−x)=1−23−x+1=−1−23x+1=−fx，
满足f(x)为奇函数，所以m=1.
（2）设x1因为x10,3x2+1>0，
所以f(x1)−fx2<0，即f(x1)所以函数f(x)在−∞,0上为增函数，又因为f(x)为R上的奇函数，
所以函数f(x)在R上为增函数，
因为(3x2−x+1)−−1+x+2x2=x2−2x+2=x−12+1>0，
即3x2−x+1>2x2+x−1，所以f3x2−x+1>f2x2+x−1，
因为f(x)是R上的奇函数，所以f3x2−x+1>−f−2x2−x+1，
所以f(3x2−x+1)+f1−x−2x2>0.
【变式2.1】（2023·全国·高一专题练习）函数fx=kx+b9−x2是定义在−3,3上的奇函数，且f1=18．
(1)确定fx的解析式；
(2)判断fx在−3,3上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于t的不等式ft−1+ft<0．
【解题思路】（1）由f0=0和f1=18可求得k,b，验证可知满足题意，由此可得解析式；
（2）任取−30可得结论；
（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.
【解答过程】（1）∵fx为定义在−3,3上的奇函数，∴f0=b9=0，解得：b=0，
∴f1=k8=18，解得：k=1；
当k=1，b=0时，fx=x9−x2，
∴f−x=−x9−−x2=−x9−x2=−fx，满足fx为奇函数；
综上所述：fx=x9−x2−3（2）fx在−3,3上单调递增；
证明如下：任取−3fx2−fx1=x29−x22−x19−x12=x29−x12−x19−x229−x229−x12=9x2−x1−x1x2x1−x29−x229−x12 =x2−x19+x1x29−x229−x12；
∵−30，9−x22>0，9−x12>0，∴fx2−fx1>0，
∴fx在−3,3上单调递增.
（3）∵fx为定义在−3,3上的奇函数，∴由ft−1+ft<0得：ft−1<−ft=f−t，
又fx在−3,3上单调递增，∴−3∴不等式ft−1+ft<0的解集为−2,12.
【变式2.2】（2023春·天津河东·高二校考阶段练习）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=45．
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断当x∈−1,1时，函数fx的单调性，并用定义证明；
(3)若ft2−1<−ft恒成立，求t的取值范围．
【解题思路】（1）根据奇函数得到f0=b=0，再根据f12=45计算得到答案.
（2）确定函数单调递增，设−1fx1得到证明.
（3）变换得到ft2−1【解答过程】（1）函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，则f0=b=0，
f12=12a14+1=45，解得a=2，故fx=2xx2+1，
x∈−1,1时，f−x=−2xx2+1=−fx，函数为奇函数，
综上所述：fx=2xx2+1.
（2）当x∈−1,1时，函数fx单调递增，
设−1−10，x2−x1>0，1−x1x2>0，
故fx2−fx1>0，即fx2>fx1，
故fx在−1,1上单调递增.
（3）ft2−1<−ft，即ft2−1fx在−1,1上单调递增，故t2−1<−t−1【考点3 抽象函数的性质】
【例3.1】（2023秋·高一单元测试）已知函数fx对一切实数x,y∈R都有fx+y=f(x)+f(y)+1成立， 且f3=2021.
(1)分别求f0和f−3的值；
(2)判断并证明函数F(x)=f(x)+1的奇偶性．
【解题思路】（1）利用赋值法求解即可；
（2）令y=−x可得f(x)+f(−x)=−2，然后可判断.
【解答过程】（1）因为函数fx对一切实数x,y∈R都有fx+y=f(x)+f(y)+1成立，f3=2021，
所以当x=y=0时f0=f(0)+f(0)+1，即f0=−1，
令x=−3,y=3可得f0=f(−3)+f(3)+1，所以−1=f(−3)+2021+1，即f(−3)=−2023
（2）令y=−x可得f0=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)=−2，
所以f(x)+1+f(−x)+1=0，即F(−x)+Fx=0，F(−x)=−Fx，
所以函数F(x)=f(x)+1是奇函数.
【例3.2】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）设函数fx是定义在R上的增函数，对于任意x,y∈R都有fx+y=fx+fy．
(1)证明fx是奇函数；
(2)解不等式12fx2−f(x)>12f(3x)．
【解题思路】（1）对x,y赋值，利用奇函数的定义进行证明；
（2）先化简目标式为fx2>f(5x)，结合函数单调性可求答案.
【解答过程】（1）证明：令x=0，则由fx+y=fx+fy，得fy=f0+fy，即f0=0；
令y=−x，则由fx+y=fx+fy，得f0=0=fx+f−x，
即得f−x=−fx，故fx是奇函数．
（2）12fx2−f(x)>12f(3x)，所以fx2−2f(x)>f(3x)，则fx2>2f(x)+f(3x)，
即fx2>f(x)+f(x)+f(3x)，
因为fx+y=fx+fy，
所以fx+fx+f3x=f5x，所以fx2>f(5x)，
又因为函数fx是增函数，所以x2>5x，所以x<0或x>5．
所以x的解集为(−∞，0)∪(5,+∞)．
【变式3.1】（2023秋·高一单元测试）已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；
(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.
【解题思路】（1）首先设x1>x2，利用条件，结合函数单调性的定义，即可证明；
（2）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可证明；
（3）法一，首先利用奇函数的性质，不等式转化为fx2−x法二，首先利用条件，化简不等式，再结合奇函数的性质，f0=0，再结合函数的单调性，即可求解.
【解答过程】（1）证明 设x1>x2，则x1－x2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)
又当x>0时，f(x)<0恒成立，所以fx1−x2<0，即f(x1)∴函数y＝f(x)是R上的减函数.
（2）由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝f(0)，
又由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝b＝0，得f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R，
即函数y＝f(x)是奇函数.
（3）法一 由f(x2－2)＋f(x)<0得
f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，
即f(x2－2)又y＝f(x)在R上是减函数，
所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.
故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).
法二 由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.
故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).
【变式3.2】（2023·高一课时练习）若函数y=f(x)对任意x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(1)=−1．
(1)求证：y=f(x)是奇函数；
(2)求f(−2),f(6)的值；
(3)若x>0时，f(x)<0，试求f(x)在[−2,6]上的最大值和最小值．
【解题思路】（1）赋值法得到f(0)=0，再由y=−x得到f(−x)=−f(x)，得到函数为奇函数；
（2）赋值法求出f(2)=2f(1)=−2，利用（1）中的函数奇偶性求出f(−2)=2，再用赋值法求出f(6)=−6；
（3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案.
【解答过程】（1）定义域为R，令x=y=0，得f(0)=0，再令y=−x，得f(−x)=−f(x)，
所以f(−x)+f(x)=0，故y=f(x)是奇函数；
（2）因为f(1)=−1，故令x=y=1得f(1+1)=2f(1)，即f(2)=2f(1)=−2，
又y=f(x)是奇函数，所以f(−2)=2，
令x=y=2得f(4)=2f(2)=−4，
令x=2,y=4得f6=f4+f2=−4−2=−6
故f(6)=−6；
（3）不妨设x2>x1,x1,x2∈R，
f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=x1,y=x2−x1得，
f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)，
因为x2−x1>0，又x>0时，f(x)<0，
所以f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)<0，即f(x2)所以fx在R上单调递减，
故f(x)max=f(−2)=2,f(x)min=f(6)=−6．
模块三
课后作业
1．（2023·高一课时练习）下列关于奇函数与偶函数的叙述中：
①奇函数的图象必通过原点；
②偶函数的图象必与y轴相交；
③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数必是f(x)=0(x∈R).
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据奇偶性的定义，举反例判断即可.
【解答过程】奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如y=1x，故①错；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y=1x2，故②错；
根据奇函数或偶函数的定义，其定义域必关于原点对称，故③对；
既是奇函数又是偶函数的函数不一定是f(x)=0(x∈R)，如f(x)=0(x∈Z)，故④错；
故选：B.
2．（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)=|x+1|+|x−1|的奇偶性是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【解题思路】得出f−x与fx的关系，即可判断出函数y=fx的奇偶性.
【解答过程】f(x)=|x+1|+|x−1|的定义域为R，关于原点对称，
f(−x)=|−x+1|+|−x−1|=x−1+x+1=fx≠−fx.
故f(x)=|x+1|+|x−1|为偶函数.
故选：B.
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知f(x)=x−2x+a是偶函数，则a=（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
【解题思路】方法一：由偶函数的性质f(x)=f(−x)，即可求得a的值；方法二：由偶函数图像关于y轴对称，求出二次函数对称轴，列出方程求解即可．
【解答过程】方法一：因为fx=x2+a−2x−2a，
所以f−x=x2−a−2x−2a，
由f−x=fx，得x2−a−2x−2a=x2+a−2x−2a，
解得a=2；
方法二：fx=x2+a−2x−2a，
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)图像关于直线x=0对称，
所以−a−22=0，解得a=2，
故选：D．
4．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−6x，则f(−1)=（ ）
A．−7B．−5C．5D．7
【解题思路】求出x<0时的解析式后，代入x=−1可求出结果.
【解答过程】因为f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−6x，
所以当x<0时，f(x)=−f(−x)=−−x2−6−x=−x2−6x，
所以f(−1)=−1+6=5.
故选：C.
5．（2023秋·河南许昌·高一校考期末）已知函数fx是奇函数，gx是偶函数，且fx+gx=3x+2x−2，则fx=（ ）
A．6x−4xx2−4B．6x+4xx2−4C．3x−3xx2−4D．3x+2xx2−4
【解题思路】根据函数的奇偶性可得出关于fx、gx的等式组，由此可解得函数fx的解析式.
【解答过程】因为fx是奇函数，gx是偶函数，所以f−x=−fx，g−x=gx．
所以，fx+gx=3x+2x−2f−x+g−x=−3x+2−x−2，即fx+gx=3x+2x−2−fx+gx=−3x−2x+2，
因此，fx=3x+2xx2−4.
故选：D.
6．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）函数fx=x3x+2的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可.
【解答过程】对任意的x∈R，x+2≥2>0，故函数fx=x3x+2的定义域为R，
又因为f−x=−x3−x+2=−x3x+2=−fx，所以fx为奇函数，故A、C错误；
当x>0时，fx>0，故B错误；
故选：D．
7．（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数f2x+1是奇函数，fx+2是偶函数，当x∈2,3时，f(x)=3−x，则下列选项不正确的是（ ）
A．f(x)在区间(−2,0)上单调递减
B．f(x)的图象关于直线x=−1对称
C．f(x)的最大值是1
D．当x∈(−1,1)时恒有f(x)<0
【解题思路】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以fx的图象关于点1,0对称，fx的图象关于直线x=2对称，进而得出fx周期为4.根据fx在2,3上的解析式，结合函数的对称性可得出fx在2,4上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出fx在2,4上的值域，根据对称性即可得出C、D项.
【解答过程】因为函数f2x+1是奇函数，
所以f2x的图象关于点12,0对称，所以fx的图象关于点1,0对称，所以，f−x=−f2+x；
因为fx+2是偶函数，所以fx的图象关于直线x=2对称，所以，f−x=f4+x.
所以，f4+x=−f2+x=fx，所以fx周期为4.
对于A项，因为fx的图象关于点1,0对称，fx的图象关于直线x=2对称，所以3,0也是fx的对称中心.
因为x∈2,3时，f(x)=3−x，
∀x∈3,4，则6−x∈2,3，所以f(6−x)=3−6−x=x−3.
根据函数的对称性可知，f3−x=−f3+x，所以fx=−f6−x=3−x.
所以当x∈2,4时，f(x)=3−x单调递减.
又fx的图象关于点1,0对称，所以f(x)在区间(−2,0)上单调递减，故A项正确；
对于B项，因为fx的图象关于点3,0对称，fx周期为4，所以fx的图象关于点−1,0对称，故B项错误；
对于C项，由A知，当x∈2,4时，f(x)=3−x，所以−1≤f(x)≤1.
又fx的图象关于直线x=2对称，所以当x∈0,2时，有−1≤f(x)≤1.
综上所述，当x∈0,4时，有−1≤f(x)≤1.
因为fx周期为4，所以f(x)的最大值是1，故C项正确；
对于D项，由已知当x∈2,3时，f(x)=3−x>0.
又fx的图象关于直线x=2对称，所以当x∈1,2时，fx>0.
综上所述，当x∈1,3时，fx>0恒成立.
因为fx的图象关于点1,0对称，所以，当x∈(−1,1)时，恒有f(x)<0，故D项正确.
故选：B.
8．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数f(x+1)是偶函数，当1A．bC．b【解题思路】利用函数的单调性及偶函数的性质,结合函数的对称性即可求解.
【解答过程】因为1所以fx2≥fx1，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为f(x+1)是偶函数，
所以f(x)的图象关于x=1对称，
因为a=f(−12)=f(52)，b=f2，c=f3，
因为2<52<3，
所以f2所以c>a>b．
故选：A．
9．（2023春·湖北·高一校联考期中）设f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)满足x2fx1−x1fx2x1−x2<0且f(2)=4，则不等式f(x)>2x的解集为（ ）
A．(−2,0)∪(2,+∞)B．(−2,0)∪(0,2)
C．(−∞,−2)∪(2,+∞)D．(−∞,−2)∪(0,2)
【解题思路】判断出fx1x1>fx2x2，构造Fx=fxx，根据f(x)的奇偶性得到Fx=fxx的奇偶性和单调性，从而对f(x)>2x变形，得到不等式，根据单调性求出解集.
【解答过程】不妨设x1,x2∈(0,+∞)，且x1因为x2fx1−x1fx2x1−x2<0，所以x2fx1−x1fx2>0，
不等式两边同除以x1x2得，fx1x1−fx2x2>0，即fx1x1>fx2x2，
令Fx=fxx，则Fx1>Fx2，
所以Fx=fxx在x∈(0,+∞)上单调递减，
Fx=fxx定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
又f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，
故F−x=f−x−x=−fx−x=fxx=Fx，
所以Fx=fxx为偶函数，
故Fx=fxx在x∈(−∞,0)上单调递增，
因为f(2)=4，所以f(−2)=−4，
当x>0时，f(x)>2x变形得到f(x)x>2=f(2)2，即F(x)>F2，解得x<2，
所以解集为0,2，
当x<0时，f(x)>2x变形得到f(x)x<2=f(−2)−2，即F(x)所以解集为−∞,−2，
所以不等式f(x)>2x的解集为(−∞,−2)∪(0,2).
故选：D.
10．（2023·广西玉林·统考三模）函数fx对任意x，y∈R总有fx+y=fx+fy，当x<0时，fx<0，f1=13，则下列命题中正确的是（ ）
A．fx是偶函数B．fx是R上的减函数
C．fx在−6,6上的最小值为−2D．若fx+fx−3≥−1，则实数x的取值范围为3,+∞
【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为f2x−3≥f−3，利用函数的单调性，即可判断D.
【解答过程】解：取x=0，y=0，则f0=f0+f0，解得f0=0，y=−x，
则f0=fx+f−x．即−fx=f−x，函数fx是奇函数，所以选项A错误；
令x1，x2∈R，且x1则fx1−fx2=fx1+f−x2=fx1−x2<0．即fx1函数fx是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数fx是R上的增函数，所以函数fx在−6,6上的最小值为f−6，
f−6=f−3+f−3=2f−3，f−3=−f3，f3=f2+f1=3f1=1．
故f−6=−2，fx在−6,6的最小值为-2，所以选项C正确；
fx+fx−3≥−1，即f2x−3≥f−3，
因为函数fx是R上的增函数，所以2x−3≥−3，所以x≥0，
所以实数x的取值范围为0,+∞，所以选项D不正确．
故选：C．
11．（2023·全国·高一假期作业）判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3−1x；
(2) f(x)=x2−1+1−x2；
(3)f(x)=36−x2|x+3|−3.
【解题思路】（1）求得f(x)的定义域，计算f(−x)，与f(x)比较，可得结论；
（2）求得f(x)的定义域，化简f(x)，可得结论；
（3）求得f(x)的定义域，判断是否关于原点对称，可得结论．
【解答过程】（1）f(x)=x3−1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(−x)=(−x)3−1−x=−(x3−1x)=−f(x)，则f(x)为奇函数.
（2）由x2−1≥01−x2≤0，解得x=±1，则f(x)=x2−1+1−x2的定义域为{−1,1}，关于原点对称，
又f(x)=0，则f(x)既是奇函数，也是偶函数.
（3）由36−x2≥0|x+3|−3≠0，可得−6f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
12．（2023秋·河南三门峡·高一统考期末）已知函数y=f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2−2x．

(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
【解题思路】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解fx的解析式，
（2）由fx的图象即可求解单调区间.
【解答过程】（1）∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)．
又fx的定义域为R，∴f0=−f0，解得f0=0．
设x<0，则−x>0，
∵当x>0时，fx=x2−2x，
∴f−x=−x2−2−x=x2+2x=−fx，∴fx=−x2−2x，
所以fx=x2−2x,x>00,x=0−x2−2x,x<0；
（2）由（1）可得fx的图象如下所示：

由图象可知fx的单调递增区间为−∞,−1和1,+∞，单调递减区间为−1,1.
13．（2023秋·高一单元测试）函数fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=x2−x+1．
(1)计算f0，f−1；
(2)求fx的解析式．
【解题思路】（1）根据奇函数的性质f(0)=0，f(−1)=−f(1)，计算得到答案.
（2）令x<0，则−x>0，则f(−x)=x2+x+1，再根据奇函数性质得到解析式.
【解答过程】（1）函数fx是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，f(−1)=−f(1)=−12−1+1=−1．
（2）令x<0，则−x>0，则f(−x)=x2+x+1，
又函数fx是奇函数，f−x=−fx，所以fx=−x2−x−1，
所以fx=x2−x+1,x>00,x=0−x2−x−1,x<0．
14．（2023·江苏·高一专题练习）已知fx是定义在区间−1,1上的奇函数且为增函数，f1=1.
(1)求f0的值；
(2)解不等式fx+12(3)若fx≤t2−2at+1对所有x∈−1,1、a∈−1,1恒成立，求实数t的取值范围.
【解题思路】（1）由奇函数定义可得f−x=−fx，代入x=0即可求得结果；
（2）根据fx单调性和定义域可构造不等式组求得结果；
（3）根据fx单调性可将恒成立不等式化为t2−2at≥0对a∈−1,1恒成立，令ga=−2t⋅a+t2−1≤a≤1，分别在t=0、t>0和t<0的情况下，根据gamin≥0，结合一次函数单调性可求得结果.
【解答过程】（1）∵fx为定义在−1,1上的奇函数，∴f−x=−fx，
∴f0=−f0，解得：f0=0.
（2）∵fx为定义在−1,1上的增函数，∴−1≤x+12≤1−1≤1−x≤1x+12<1−x，解得：0≤x<14，
∴不等式fx+12（3）∵fx≤t2−2at+1对x∈−1,1恒成立，∴t2−2at+1≥fxmax，
∵fx为定义在−1,1上的增函数，∴fxmax=f1=1，
∴t2−2at+1≥1，即t2−2at≥0对a∈−1,1恒成立，
设ga=−2t⋅a+t2−1≤a≤1；
当t=0时，ga=0≥0恒成立，满足题意；
当t>0时，ga在−1,1上单调递减，∴gamin=g1=t2−2t≥0，解得：t≥2；
当t<0时，ga在−1,1上单调递增，∴gamin=g−1=t2+2t≥0，解得：t≤−2；
综上所述：实数t的取值范围为−∞,−2∪2,+∞∪0.
15．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知函数fx对于任意实数x,y∈R恒有fx+y=fx+fy，且当x>0时，fx>0，又f1=1．
(1)判断fx的奇偶性并证明；
(2)求fx在区间−4,4的最小值；
(3)解关于x的不等式：fax2−2fx>fax−2．
【解题思路】(1)令x=y=0,得f0=0，再令y=−x，结合奇偶性定义可证；
(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；
(3)先化为fax2+2>f2x+ax，再利用单调性转化为ax2−a+2x+2>0，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可.
【解答过程】（1）fx为奇函数，理由如下：
函数fx的定义域为R，关于原点对称，
令x=y=0得f0=2f0，解得f0=0，
令y=−x得fx+f−x=f0=0所以f−x=−fx对任意x∈R恒成立，所以fx为奇函数，
（2）任取x1,x2∈−∞,+∞，且x10.因为当x>0时，fx>0，所以fx2−x1>0.
fx2−fx1=fx2+f−x1=fx2−x1>0，即fx1所以fx在区间−4,4的最小值为f−4，
因为f1=1，令x=y=1得f2=f1+f1=2，
令x=2，y=2得f4=f2+2=f2+f2=2+2=4，
fx在区间−4,4的最小值为f(x)min=f−4=−f4=−4，
（3）由fax2−2fx>fax−2，
得fax2+2>2fx+fax=fx+fx+fax=f2x+ax，
由f2=2得fax2+f2=fax2+2>f2x+ax，
由fx在R上单调递增得ax2+2>2x+ax整理得ax2−a+2x+2>0，即ax−2x−1>0，
当a=0时，−2x+2>0，解得x<1；当a≠0时，ax−2ax−1>0，
当a<0时，x−2ax−1<0，2a<0，解集为2a,1，
当a>0时，x−2ax−1>0，
当a=2时，(x−1)2>0，解集为x|x≠1，
当01，解集为−∞,1∪2a,+∞，
当a>2时，0<2a<1，解集为−∞,2a∪1,+∞，
综上所述：当a=0时，解集为−∞,1；当a<0时，解集为2a,1；
当a=2时，解集为x|x≠1；当0当a>2时，解集为−∞,2a∪1,+∞．定 义
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.
非奇非
偶函数
既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.
定义域
特征
定义域必须是关于原点对称的区间.
等价
形式
设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且
f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.