第02讲 集合的表示-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第02讲 集合的表示

1. 了解集合的表示．
2. 能用列举法、描述法表示集合．

知识点一 列举法
1．将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内，用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
2．应用列举法表示集合时的四个注意点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合中的元素必须是明确的；
(3)集合中的元素不能重复；
(4)集合中的元素可以是任何事物．
知识点二 描述法
1．将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．{x|p(x)}中为集合的代表元素，p(x)指元素x具有的性质．
2．应用描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中代表元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
知识点三 Venn图
为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图．
知识点四 集合的分类
1．集合的分类：按照集合中元素的个数分类．
(1)有限集：含有有限个元素的集合称为有限集；
(2)无限集：含有无限个元素的集合称为无限集；
(3)空集：把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
2．集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
3．注意∅，0，{0}与{∅}之间的关系

区别
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅是集合；0是实数
∅不含任何元素；{0}含一个元素0
∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅


考点一：用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．
【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
【总结】
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
变式 用列举法表示下列给定的集合．
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合C.
【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以C＝{(1，4)}．

考点二：用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合．
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
【解析】(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
【总结】
用描述法表示集合的2个步骤

[注意]　描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
变式 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．

【解析】(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为
．
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
考点三：集合表示法的综合应用
例3 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【解析】当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
【总结】
集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数解；
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．

变式 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中有2个元素，求k的取值范围．
【解析】由题意得
解得k<1且k≠0.
故实数k的取值范围为{k|k<1且k≠0}．

考点四：集合相等
例4 (1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________．
【分析】　(1)解出集合A，并判断与B是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程即可．
【答案】是　(2)－1　1　
【解析】(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，
∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0,1}＝B．
(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．
∴＝－1，∴a＝－1，b＝1．]
【总结】
已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性.

变式 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
【解析】若消去b，则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
若消去b，则2ax2－ax－a＝0．
又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0．
又∵x≠1，∴x＝－．
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－．

1．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B.不等式x－1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
【答案】D　
【解析】选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A.3 B．6
C.8 D．10
【答案】D
【解析】列举法得B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10个元素．
3．(多选)下列说法错误的是(　　)
A.0∈∅ B．∅＝{0}
C.∅中元素的个数为0 D．∅∈{0}
【答案】ABD　
【解析】空集是不含任何元素的集合，∅中元素的个数为0，其他表述都不正确．
4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合用描述法表示为________．
【答案】{x|x＝2n，且－1≤n＜6，n∈Z}
【解析】根据描述法的定义可知，大于－3且小于11的偶数组成的集合为{x|x＝2n，且－1≤n＜6，n∈Z}.
5．(2021·学军中学高一期中)用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．

【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
【解析】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}．
6．下列四个集合中，是空集的为(　　)
A．{0}　　　　　　 B．{x|x>8，且x<5}
C．{x|x2－1＝0，x∈N} D．{x|x>4}
【答案】B　
【解析】满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅．
7．(多选题)方程组的解集可表示为(　　)
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
【答案】ABD　
【解析】方程组的解应为有序数对，故A、B、D正确．
8．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集为________．
【答案】{x|x>1}　
【解析】由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示为{x|x>1}．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________．
【答案】1或　
【解析】∵M＝N，则有或解得或∴a＋b＝1或．
10．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
【解析】三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．


1．下列说法中正确的是(　　)
A.集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D.{1，2}与{2，1}是不同的集合
【答案】A　
【解析】{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．
2．方程组的解集是(　　)
A.(－5，4) B．(5，－4)
C.{(－5，4)} D．{(5，－4)}
【答案】D　
【解析】解方程组得故解集为{(5，－4)}．故选D.
3．与集合{x|1＜x≤3，x∈N}相等的集合是(　　)
A.{2} B．{1，2，3}
C.{x|x＝3或x＝2} D．{x|x＝3且x＝2}
【答案】C　
【解析】由已知可得{x|1＜x≤3，x∈N}＝{2，3}＝{x|x＝3或x＝2}．故选C.
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A.9 B．8
C.5 D．4
【答案】A　
【解析】由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中的元素有(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共9个．故选A.
5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为(　　)
A.{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}
B.{(x，y)|x＝0且y＝0}
C.{(x，y)|xy＝0}
D.{(x，y)|x，y不同时为零}
【答案】C　
【解析】A，表示x轴和y轴上的点，但不包含原点，故A错误；B，集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C，xy＝0⇔x＝0或y＝0，即表示坐标轴上点的集合，故C正确；D，表示平面中的点，但不包含原点，故错误．故选C.
6．(多选)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　　)
A.{x|x＝2k－1，k∈N}
B.{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C.{x|x＝2k＋3，k∈N}
D.{x|x＝2k＋5，k∈N}
【答案】BD　
【解析】对于A，{x|x＝2k－1，k∈N}＝{－1，1，3…}；
对于B，{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}＝{5，7，9…}；
对于C，{x|x＝2k＋3，k∈N}＝{3，5，7…}；
对于D，{x|x＝2k＋5，k∈N}＝{5，7，9…}．故选B、D.
7．(多选)下列说法错误的是(　　)
A.在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0}
B.方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2，2}
C.集合{y|y＝x2}与集合{(x，y)|y＝x2}是同一个集合
D.若A＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则－1.1∈A
【答案】BCD　
【解析】对选项A，因为xy＞0⇔或
所以集合{(x，y)|xy＞0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A正确；
对选项B，方程＋|y＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B错误；
对选项C，集合{y|y＝x2}中的元素为实数；集合{(x，y)|y＝x2}中的元素为点的坐标，集合的属性不同，故不是同一个集合，故C错误；
对选项D，A＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误．故选B、C、D.
8．集合M＝{x|x－4＜1，x∈N}，则M中元素的个数为________.
【答案】5
【解析】∵x－4＜1，∴x＜5.又x∈N，
∴{x|x－4＜1，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，M中元素的个数为5.
9．已知集合M＝{a2，a－1}，N＝{0，－1}，若M＝N，则a＝________．
【答案】0
【解析】由题可知，M＝{a2，a－1}，N＝{0，－1}，
因为M＝N，而a2≥0，所以a2＝0，a－1＝－1，则a＝0.
10．若任意x∈A，都有∈A，则称该数集A为可倒数集，则集合M＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________(答案不唯一).
【答案】不是　
【解析】由于2的倒数不在集合M中，故集合M不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
11．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【解析】(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x|x2－4x＋4＝0，x∈R}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
12．(多选)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)
A.a∈M B．a∈P
C.b∈M D．b∈P
【解析】AD　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P.故选A、D.
13．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A.18 B．17
C.16 D．15
【解析】B　因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个．故选B.
14．已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，定义集合M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M中所有元素之和是________.
【答案】6
【解析】由题设，a＝0，b＝1时，x＝1；
a＝0，b＝2时，x＝2；
a＝1，b＝1时，x＝2；
a＝1，b＝2时，x＝3；
∴M＝{1，2，3}，故集合M中所有元素之和是6.
15．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．
【答案】{24，27，30}
【解析】∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．
∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分．
如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题乙也一定答错，此时乙可得24分．
综上可得乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．
16．用列举法表示集合A＝.
【解析】已知＝1，则有
(1)当x2－x－a－2＝0有两个相等的实根时，
有Δ＝0，得a＝－，
此时x＝，符合x2－2≠0.
(2)当x2－x－a－2＝0有两个不相等的实根时，
有Δ>0，得a>－.
令x2－2＝0，得x＝或x＝－.
当x＝－为＝1的一个增根时，
将x＝－代入x2－x－a－2＝0，
得a＝，符合题意．
当x＝为＝1的一个增根时，
将x＝代入x2－x－a－2＝0，得a＝－，符合题意．
综上可得，A＝.
17．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，所以a＝.
综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝.
(2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，
所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，
解得a<且a≠0，
所以实数a的取值范围为.
(3)当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥.
所以实数a的取值范围为.
18．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
【解析】(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：
设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.