第06讲 两条直线的平行与垂直（七大题型）-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版）

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第06讲 两条直线的平行与垂直
【题型归纳目录】
题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行
题型二：两条直线相交、平行、重合的判定
题型三：两条直线垂直的判定
题型四：直线平行与垂直的综合应用
题型五：两直线的夹角
题型六：已知直线平行求参数
题型七：已知直线垂直求参数
【知识点梳理】
知识点一：两条直线相交、平行与重合
1、代数方法判断
两条直线的位置关系，可以用方程组
的解进行判断（如下表所示）
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平行
无交点
而或
或
有唯一解
相交
有一个交点
或
有无数个解
重合
无数个交点

或
2、几何方法判断
（1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行．
（2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设，
（1）与相交；
（2）且；
（3）与重合且．
简记表：
类型
斜率存在
斜率不存在
条件


对应关系

两直线斜率都不存在
图示


知识点二：两条直线的垂直
1、两条直线垂直的几何方法判断
对应关系
与的斜率都存在，分别为，则
与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是
图示


2、两条直线垂直的代数方法判断
已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）
（1）若
（2）若
【典例例题】
题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行
【例1】（2023·高二课时练习）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
【答案】B
【解析】过点和点的直线方程为，斜率为0，
又因为直线斜率为0，所以两直线平行.
故选：B
【对点训练1】（2023·江西上饶·高二统考期末）下列与直线平行的直线的方程是（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线斜率为，纵截距为，
A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；
B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
故选：A.
【对点训练2】（2023·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率；    ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，
其中正确命题的个数是（    ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确；
由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确，
所以正确的命题个数是4．
故选：D．
题型二：两条直线相交、平行、重合的判定
【例2】（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）直线与直线的位置关系是（    ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
【答案】B
【解析】直线化成斜截式方程为，
直线化成斜截式方程为，
两直线斜率相等，在y轴上截距不相等，所以两直线的位置关系是平行.
故选：B
【对点训练3】（2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）直线和直线的位置关系是（    ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合
【答案】B
【解析】方程可化为，因此该直线的斜率.
方程可化为，因此该直线的斜率，
因为，所以这两条直线相交但不垂直.
故选：B.
【对点训练4】（2023·高二课时练习）以为顶点的四边形是（    ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【答案】D
【解析】

  
在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中，
，
，
所以四边形ABCD是直角梯形；
故选：D.
题型三：两条直线垂直的判定
【例3】（2023·上海杨浦·高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为，
故两直线平行，故A错误；
对于B：直线的斜率为，直线的斜率为，
斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误；
对于C：直线的斜率为，直线的斜率为，
斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误；
对于D：直线的斜率为，直线的斜率为，
斜率之积为，即两直线垂直，故D正确；
故选：D
【对点训练5】（2023·江西九江·高二校考阶段练习）与直线的垂直的直线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得直线的斜率为，
对于A：直线的斜率为，
由于，
所以直线与直线不垂直，故A错误；
对于B：直线的斜率为
由于，
所以直线与直线不垂直，故B错误；
对于C：的斜率为，
由于，
所以直线与直线垂直，故C正确；
对于D：的斜率为，
由于，
所以直线与直线不垂直，故D错误，
故选：C.
【对点训练6】（2023·山东潍坊·高二校考期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（    ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定
【答案】B
【解析】设直线的斜率分别是，
依题意，所以.
故选：B
题型四：直线平行与垂直的综合应用
【例4】（2023·甘肃兰州·高二校考开学考试）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
【解析】（1），∵AD∥BC，∴．
∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0．
（2）∵．
又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴．
又∵AC的中点，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0．
【对点训练7】（2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）的三个顶点分别是，，.
(1)求边的垂直平分线所在直线方程；
(2)求内边上中线方程.
【解析】（1）由，可得线段的中点为，，
因为是边的垂直平分线，所以，
则所在直线方程：即
（2）由（1）可得线段的中点为，
故边上中线方程为即，
所以内边上中线方程：
【对点训练8】（2023·江西宜春·高二校考开学考试）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：
(1)相交；
(2)平行；
(3)垂直．
【解析】（1）直线相交，则，即，
所以且.
（2）直线相交，则，即，
所以或.
当时，，，符合题设；
当时，，，两线重合，不合题设；
综上，.
（3）直线垂直，则，可得.
【对点训练9】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考阶段练习）已知顶点坐标分别是，，．
（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程，
（2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．
【解析】（1）由已知可得AB的斜率为，
所以与直线AB平行的直线的斜率也为，
从而所求直线的方程为，即；
（2）可得直线AD的斜率为，
所以直线AD倾斜角的取值范围为．
题型五：两直线的夹角
【例5】（2023·上海奉贤·高二校考阶段练习）直线与直线所成夹角的余弦值等于__________
【答案】
【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；
直线，即，则其斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
所以，，而，
所以两直线的夹角为，
又因为，
则
所以，
故所求夹角的余弦值为.
故答案为：.
【对点训练10】（2023·河南郑州·高二校考阶段练习）直线与的夹角为________．
【答案】/
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，
所以，
又两直线夹角的范围为，
所以两直线夹角为，
故答案为：.
【对点训练11】（2023·高二课时练习）直线与的夹角的大小_________．
【答案】//
【解析】直线与的斜率分别为：
设直线与的夹角为
则，又，则
故答案为：
题型六：已知直线平行求参数
【例6】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________．
【答案】/2或/或2
【解析】由题意知，解得.
故答案为：
【对点训练12】（2023·云南临沧·高二校考阶段练习）已知直线：，：.当时，___________.
【答案】
【解析】当时，则需满足，解得，
故答案为：
【对点训练13】（2023·高二校考课时练习）已知两条直线和互相平行，则正数a的值为____.
【答案】2
【解析】根据两条直线的方程可以得出它们的斜率分别是，;
因为两条直线平行，所以有，解得或.
又因为，所以.经检验符合题意
故答案为：2.
题型七：已知直线垂直求参数
【例7】（2023·山东滨州·高二统考期末）已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．
【答案】或
【解析】因为直线与直线垂直，
则，解得或.
故答案为：或.
【对点训练14】（2023·云南曲靖·高二宣威市第三中学校考阶段练习）已知直线与直线垂直，则_________．
【答案】3
【解析】∵直线与直线垂直，
∴
∴.
故答案为：3.
【对点训练15】（2023·高二课时练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.
【答案】0或5
【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，
而经过点，则其斜率可能不存在，
当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；
当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，
由得，即，解得；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
【对点训练16】（2023·辽宁·高二校联考期末）若直线与垂直，则______．
【答案】1或/或1
【解析】因为，所以，解得或．
故答案为：1或

【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆长寿·高二统考期末）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ）
A．2或0 B．1 C．0 D．0或
【答案】C
【解析】若直线与直线互相平行，
则，解得或，
当时，直线与直线平行，符合题意；
当时，直线与直线重合，不符合题意；
综上所述：.
故选：C.
2．（2023·江苏南通·高二期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（    ）．
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若直线与直线平行，则；
若，则直线与直线平行，
直线与直线平行是的充分必要条件．
故选：B
3．（2023·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
4．（2023·高二课时练习）若直线与直线平行，则a的值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为直线与直线平行，显然，
所以，即，解得，
所以.
故选：D.
5．（2023·高二课时练习）直线与直线平行，则（    ）
A．2 B．2或 C． D．或
【答案】B
【解析】当时，
两直线为，，
两直线不平行，不符合题意；
当时，直线与直线平行，
，解得或.
故选：B．
6．（2023·高二课时练习）经过与的直线与直线互相垂直，则值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以直线的斜率为，
解得：=，
故选：D.
7．（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知，“直线与平行”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】直线与平行
则，
所以，
解得，
经检验，均符合题意，
故选：C.
8．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ）
A．存在，使得的倾斜角为；
B．对任意的，与都有公共点；
C．对任意的，与都不重合；
D．对任意的，与都不垂直；
【答案】C
【解析】当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确；
联立方程组，得，此方程恒有解，
故对任意的，与都有公共点，B正确；
当时，，此时与重合，故C错误；
因为的斜率为1，当时，与不垂直；
当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确；
故选：C.
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】直线，即的斜率为2，在轴的截距为，
对于A，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，A正确；
对于B，直线的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，B正确；
对于C，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，C正确；
对于D，直线的斜率为－2，所以两直线不平行，D错误．
故选：ABC．
10．（2023·山东济南·高二校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ）
A．若斜率，则 B．若，则
C．若倾斜角，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；
对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；
对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确；
对于D, 若，不妨取，
则，不满足，不垂直，D错误，
故选：
11．（2023·浙江台州·高二期末）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ）
A．在x轴上的截距为 B．能表示过点的任意直线
C．若，则或 D．若，则
【答案】AD
【解析】A项：令，则，故选项A正确；
B项：，令，则，过定点，但无法表示直线，故选项B错误；
C项：且，故选项C错误；
D项：，故选项D正确．
故选：AD
12．（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知直线，，则（    ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【解析】对于选项A：直线的方程可化为：，
令得：，
所以直线恒过点，
故选项A错误，
对于选项B：若时，显然不平行，
若时，显然不平行，
所以若，则，
且，
解得，
故选项B正确，
对于选项C：若，则，
解得，
故选项C错误，
对于选项D：若直线不经过第三象限，
当时，直线，符合题意，
当时，则，解得，
综上，，故选项D正确，
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是________．
【答案】/4.75
【解析】由题易知，即为圆的直径，即,
∴，
即，解得．
故答案：.
14．（2023·安徽六安·高二校考阶段练习）已知直线经过点且与直线：平行，则直线的一般式方程为_________.
【答案】
【解析】直线：，直线：
，又直线经过点且与直线：平行，
直线：，即.
故答案为：.
15．（2023·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.
【答案】
【解析】因为，所以线段的中点，且.
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.
故答案为：
16．（2023·江苏连云港·高二期末）已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是________．
【答案】或
【解析】根据题意，直线与直线平行，则设直线的方程为，
对于，令可得，即直线与轴的交点为，
令可得，即直线与轴的交点为，
故直线与坐标轴围成的三角形的面积，解得：，
故直线的方程为或．
故答案为：或．
四、解答题
17．（2023·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.
(1)若，求实数的值；
(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
【解析】（1）直线，．
则，解得或，
当时，，，则直线，重合，不符合题意；
当时，，，则直线，不重合，符合题意，
故.
（2）当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，
满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
当时直线，显然不符合题意，
综上所述，或．
18．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1)经过点经过点；
(2)经过点经过点．
【解析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为，
，
，
，
∴与不垂直．
（2）由题意知的倾斜角为90°，
则轴；
由题知直线的斜率存在，设为，
，
则轴，
∴．
19．（2023·江苏·高二假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形．
【解析】因为，
所以，，
所以，，
所以∥，∥，
所以四边形为平行四边形，
因为，
所以，
所以四边形为矩形.
20．（2023·江苏·高二假期作业）已知，，．
(1)求点的坐标，满足，；
(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．
【解析】（1）设，
由已知得，
又，可得，
即．　①
由已知得，
又，可得，
即．　②
联立①②解得，
∴．
（2）设，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴轴，
故直线MQ的倾斜角为90°．
21．（2023·上海·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．

(1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；
(2)求△AOB面积的最小值；
(3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直线l的方程为3x﹣2y﹣5＝0.
（2）设直线l的方程为，
将点（3，2）代入得，则ab≥24，
则，当且仅当，结合，即a＝6，b＝4时等号成立，
故△AOB的面积最小值为12.
（3）证明：点P分向量所成的比的值为2，即为，
设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），，
即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），
可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，
梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOME的面积为6，
设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6，
由直线EF的方程为，
将n＝6﹣m代入上式可得，
由，解得x＝3，y＝1，
则直线EF经过定点（3，1）．