还剩21页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
浙江省台州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
展开
这是一份浙江省台州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共24页。试卷主要包含了解方程组，的软管制作简易计时装置等内容，欢迎下载使用。
浙江省台州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．解二元一次方程组（共1小题）
1．（2023•台州）解方程组：．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
三．反比例函数的应用（共2小题）
3．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
4．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
8．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
八．解直角三角形的应用（共2小题）
10．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
11．（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
九．统计量的选择（共1小题）
12．（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
浙江省台州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解二元一次方程组（共1小题）
1．（2023•台州）解方程组：．
【答案】．
【解答】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程组的解是．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2；
任务2：h＝﹣0.1t+30；
任务3：（1）0.05，（2）0.038．
任务4：见解析．
【解答】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）²+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）w＝（10k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（10k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2﹣0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
三．反比例函数的应用（共2小题）
3．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】（1）y＝；
（2）4cm．
【解答】解：（1）由题意设：y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
4．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）；（2）；（3）最大质量为115千克．
【解答】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，
得：，
解得：．
∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．
（2）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，
即：可变电阻电压＝8﹣U0，
∵I＝，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴．
化简得：R1＝，
∵R0＝30，
∴．
（3）将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，
得：﹣2m+240＝，
化简得：m＝（0≤m≤120）．
（4）∵m＝中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，
∴m随U0的增大而增大，
∴U0取最大值6的时候，mmax＝＝115（千克）．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【答案】（1）①y＝﹣（x﹣2）2+2，OC为6m；
②（2，0）；
③2≤d≤2﹣1；
（2）．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）相邻线段的比为或（答案不唯一）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，
∴AA1＝BB1＝AB，
在△A1AB1和△B1BC1中，
，
∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），
∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，
∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，
∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，
∴∠A1B1C1＝90°，
同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）解：设AB＝5a，
则AB1＝4a，AA1＝a，
由勾股定理得：A1B1＝a，
∴＝＝；
（3）相邻线段的比为或．
证明如下：∵BB1＝AB，B1B2＝A1B1，
∴＝＝，
同理可得：＝，
∴相邻线段的比为或（答案不唯一）．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【答案】（1）BC＝2；
（2）＝；
（3）＝．
【解答】解：（1）如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，长为π，
∴＝π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝＝2；
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∴cos∠BAQ＝＝，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF＝BC，
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，
∵∠ABQ＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴＝①，
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，
由BC＝CD，将①②两式相除得：
＝，
∵cos∠BAQ＝＝，
∴＝．
8．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
【答案】（1）①证明见解析部分．
②8．
（2）①AB的长为4或．
②．
【解答】（1）①证明：∵＝，
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
②解：连接OA交BD于J，连接OC．
∵＝，
∴OA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴A，O，C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2，OD＝3，
∴OJ＝＝＝1，
∴AJ＝OA﹣OJ＝3﹣1＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2，
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8．
（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJ⊥BD于J．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵CD∥AB，
∴DP⊥AB，
∴PA＝PB，
∴DB＝AD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝2，
∴OH⊥BD，
∴∠DHO＝∠DPB＝90°，
∵∠ODH＝∠BDP，
∴△DHO∽△DPB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DP＝，PB＝，
∴AB＝2PB＝，
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．
综上所述，AB的长为4或．
②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵•AB•DP＝•BD•AJ，
∴AJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∴JH＝BH﹣BJ＝2﹣＝，
∴tan∠AHJ＝＝＝，
如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）作图见解析部分．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，
∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），
即∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．
八．解直角三角形的应用（共2小题）
10．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
【答案】AC的长约为80cm．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB＝，
∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
11．（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
【答案】164cm．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AE于点G，得矩形GBFD，
∴DF＝GB，
在Rt△GDE中，DE＝80cm，∠GED＝48°，
∴GE＝DE×cos48°≈80×0.67＝53.6（cm），
∴GB＝GE+BE＝53.6+110＝163.6≈164（cm）．
∴DF＝GB＝164（cm）．
答：活动杆端点D离地面的高度DF为164cm．
九．统计量的选择（共1小题）
12．（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【答案】（1）50、46；
（2）B班成绩好于A班成绩，理由见解答；
（3）张老师新的教学方法效果较好，理由见解答．
【解答】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），
B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2）＝＝9.1，
＝≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
，
．4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
浙江省台州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．解二元一次方程组（共1小题）
1．（2023•台州）解方程组：．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
三．反比例函数的应用（共2小题）
3．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
4．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
8．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
八．解直角三角形的应用（共2小题）
10．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
11．（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
九．统计量的选择（共1小题）
12．（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
浙江省台州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解二元一次方程组（共1小题）
1．（2023•台州）解方程组：．
【答案】．
【解答】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程组的解是．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2；
任务2：h＝﹣0.1t+30；
任务3：（1）0.05，（2）0.038．
任务4：见解析．
【解答】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）²+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）w＝（10k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（10k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2﹣0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
三．反比例函数的应用（共2小题）
3．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】（1）y＝；
（2）4cm．
【解答】解：（1）由题意设：y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
4．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）；（2）；（3）最大质量为115千克．
【解答】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，
得：，
解得：．
∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．
（2）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，
即：可变电阻电压＝8﹣U0，
∵I＝，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴．
化简得：R1＝，
∵R0＝30，
∴．
（3）将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，
得：﹣2m+240＝，
化简得：m＝（0≤m≤120）．
（4）∵m＝中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，
∴m随U0的增大而增大，
∴U0取最大值6的时候，mmax＝＝115（千克）．
四．二次函数的应用（共1小题）
5．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【答案】（1）①y＝﹣（x﹣2）2+2，OC为6m；
②（2，0）；
③2≤d≤2﹣1；
（2）．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）求的值．
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）相邻线段的比为或（答案不唯一）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，
∴AA1＝BB1＝AB，
在△A1AB1和△B1BC1中，
，
∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），
∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，
∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，
∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，
∴∠A1B1C1＝90°，
同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
（2）解：设AB＝5a，
则AB1＝4a，AA1＝a，
由勾股定理得：A1B1＝a，
∴＝＝；
（3）相邻线段的比为或．
证明如下：∵BB1＝AB，B1B2＝A1B1，
∴＝＝，
同理可得：＝，
∴相邻线段的比为或（答案不唯一）．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【答案】（1）BC＝2；
（2）＝；
（3）＝．
【解答】解：（1）如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，长为π，
∴＝π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝＝2；
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∴cos∠BAQ＝＝，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF＝BC，
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，
∵∠ABQ＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴＝①，
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，
由BC＝CD，将①②两式相除得：
＝，
∵cos∠BAQ＝＝，
∴＝．
8．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．
【答案】（1）①证明见解析部分．
②8．
（2）①AB的长为4或．
②．
【解答】（1）①证明：∵＝，
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
②解：连接OA交BD于J，连接OC．
∵＝，
∴OA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴A，O，C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2，OD＝3，
∴OJ＝＝＝1，
∴AJ＝OA﹣OJ＝3﹣1＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2，
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8．
（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJ⊥BD于J．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵CD∥AB，
∴DP⊥AB，
∴PA＝PB，
∴DB＝AD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝2，
∴OH⊥BD，
∴∠DHO＝∠DPB＝90°，
∵∠ODH＝∠BDP，
∴△DHO∽△DPB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DP＝，PB＝，
∴AB＝2PB＝，
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．
综上所述，AB的长为4或．
②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵•AB•DP＝•BD•AJ，
∴AJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∴JH＝BH﹣BJ＝2﹣＝，
∴tan∠AHJ＝＝＝，
如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）作图见解析部分．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，
∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），
即∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．
八．解直角三角形的应用（共2小题）
10．（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
【答案】AC的长约为80cm．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB＝，
∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
11．（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
【答案】164cm．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AE于点G，得矩形GBFD，
∴DF＝GB，
在Rt△GDE中，DE＝80cm，∠GED＝48°，
∴GE＝DE×cos48°≈80×0.67＝53.6（cm），
∴GB＝GE+BE＝53.6+110＝163.6≈164（cm）．
∴DF＝GB＝164（cm）．
答：活动杆端点D离地面的高度DF为164cm．
九．统计量的选择（共1小题）
12．（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【答案】（1）50、46；
（2）B班成绩好于A班成绩，理由见解答；
（3）张老师新的教学方法效果较好，理由见解答．
【解答】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），
B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2）＝＝9.1，
＝≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
，
．4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
相关试卷
河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类： 这是一份河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共28页。试卷主要包含了和点B，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
2021-2023三年浙江省温州市中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)： 这是一份2021-2023三年浙江省温州市中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共29页。试卷主要包含了计算，某公司生产的一种营养品信息如表，根据以下素材，探索完成任务，，且∠AEB＝∠CFD＝90°，，且满足＝，，连结AE等内容，欢迎下载使用。
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类： 这是一份江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共17页。试卷主要包含了的图象于点C，课本再现等内容，欢迎下载使用。
