2023年上海市中考数学真题（含解析）

这是一份2023年上海市中考数学真题（含解析），共24页。试卷主要包含了 分解因式， 化简等内容，欢迎下载使用。

1. 本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．
2. 作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．
4. 选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】
1. 下列运算正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，故正确，符合题意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，故错误，不符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，故错误，不符合题意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
2. 在分式方程 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得到关于y的整式方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则原方程可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则原方程可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
3. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ）

A. 小车的车流量与公车的车流量稳定；B. 小车的车流量的平均数较大；
C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D. 小车与公车车流量的变化趋势相同．
【答案】B
【解析】
【分析】根据折线统计图逐项判断即可得．
【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；
B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；
C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；
D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．
5. 在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．下列说法能使四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为矩形
故C符合题意
D： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
6. 已知在梯形 SKIPIF 1 < 0 中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．下列两个说法：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
则下列说法正确的是（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①②均正确D. ①②均错误
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
【详解】解：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：

若梯形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，此时①正确；
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：

在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，此时②正确；
而题中，梯形 SKIPIF 1 < 0 是否为等腰梯形，并未确定；梯形 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 还是 SKIPIF 1 < 0 ，并未确定，
SKIPIF 1 < 0 无法保证①②正确，
故选：D．
【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 分解因式： SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
8. 化简： SKIPIF 1 < 0 结果为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9. 已知关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．
【详解】解：根据题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
等式两边分别平方， SKIPIF 1 < 0
移项， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
故答案： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．
10. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．
11. 已知关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根，那么a的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．
【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
13. 如果一个正多边形的中心角是 SKIPIF 1 < 0 ，那么这个正多边形的边数为________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 SKIPIF 1 < 0 进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
14. 一个二次函数 SKIPIF 1 < 0 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数 SKIPIF 1 < 0 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵二次函数 SKIPIF 1 < 0 的顶点在y轴正半轴上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的解析式可以是 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
15. 如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D，E在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先根据向量的减法可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据相似三角形的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得．
【详解】解：∵向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．
16. 垃圾分类（Refuse srting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．
【答案】1500吨
【解析】
【分析】由题意易得试点区域垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．
【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为 SKIPIF 1 < 0 （吨），
∴全市可收集干垃圾总量为 SKIPIF 1 < 0 （吨）；
故答案为1500吨．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．
17. 如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点A旋转 SKIPIF 1 < 0 ，旋转后的点B落在 SKIPIF 1 < 0 上，点B的对应点为D，连接 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，则 SKIPIF 1 < 0 ________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据角平分线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形的外角性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 中，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
18. 在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，点D在边 SKIPIF 1 < 0 上，点E在 SKIPIF 1 < 0 延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 过点A， SKIPIF 1 < 0 过点D，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点，那么 SKIPIF 1 < 0 半径r的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先画出图形，连接 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点可得一个关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：由题意画出图形如下：连接 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的半径为7，
SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，它的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 延长线上，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不等式①可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
解方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
画出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如下：

由函数图象可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即不等式①的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得：不等式②的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式组的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
半径r的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，共78分）
19. 计算： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
20. 解不等式组 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
解不等式①得： SKIPIF 1 < 0 ，
解不等式②得： SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式组的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
21. 如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，弦 SKIPIF 1 < 0 的长为8，点C在 SKIPIF 1 < 0 延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 ．

（1）求 SKIPIF 1 < 0 的半径；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的正切值．
【答案】（1）5 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，先根据圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再解直角三角形可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，先解直角三角形可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据正切的定义即可得．
【小问1详解】
解：如图，延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

由圆周角定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 弦 SKIPIF 1 < 0 的长为8，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 的半径为5，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
【答案】（1）900 （2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ，计算求解即可；
（2）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，整理求解即可；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据优惠后油的单价比原价便宜 SKIPIF 1 < 0 元，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知， SKIPIF 1 < 0 （元），
答：实际花了900元购买会员卡；
【小问2详解】
解：由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴y关于x的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问3详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴优惠后油的单价比原价便宜 SKIPIF 1 < 0 元．
【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．
23. 如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，点F，E分别在线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0

（1）求证： SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角形的全等的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据相似三角形的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【小问1详解】
证明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
证明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）已证： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段 SKIPIF 1 < 0 上，以点C为顶点的抛物线M： SKIPIF 1 < 0 经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 即可求得；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，得到抛物线的顶点式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入可求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得到抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得b，c；
（3）根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据平移的性质可得点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 向下平移的距离相同，即列式求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后得到抛物线N解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点A，y轴交于点B，
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则可设抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线M经过点B，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
【小问3详解】
如图：
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，点P在x轴上，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 向下平移的距离相同，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线N的函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线N的函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
25. 如图（1）所示，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 中点，为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，求边 SKIPIF 1 < 0 的长；
（3）联结 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为腰的等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）见解析 （2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等量代换得出 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，等量代换得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求解；
（3） SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为腰的等腰三角形，分为①当 SKIPIF 1 < 0 时，②当 SKIPIF 1 < 0 时，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 中点，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
【小问3详解】
解：①当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点P，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明 SKIPIF 1 < 0 是解题的关键．