2023年全国高考数学真题分类组合第4章《三角函数》试题及答案

这是一份2023年全国高考数学真题分类组合第4章《三角函数》试题及答案，共14页。试卷主要包含了已知命题若为第一象限角，且，则，若，，则 ，已知函数，在中，角所对的边分別是．已知．等内容，欢迎下载使用。

第四章 三角函数
第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式
1.（2023全国甲卷理科7）“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.
【解析】当，时，有，但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，是成立的必要不充分条件.
故选B.
2.（2023北京卷13）已知命题若为第一象限角，且，则.能说明为假命题的一组的值为 ； .
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【解析】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
3.（2023全国乙卷文科14）若，，则 .
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【解析】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为.
第二节 三角恒等变换
1.（2023新高考I卷6）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，所以圆心为，
记，设切点为，如图所示.

因为，，故，
，，
.故选B.
2.（2023新高考I卷8）已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，
所以，所以，
.故选B.
3.（2023新高考II卷7）已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，所以，
则或.
因为为锐角，所以，舍去，得.故选D.
第三节 三角函数的图像与性质
1.（2023新高考II卷16）已知函数，如图所示，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______.

【解析】的图象与直线两个相邻交点的最近距离为，占周期的，所以，解得，所以.
再将代入得的一个值为，即.
所以.
2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）
A. B. C.3 D.4
【解析】因为函数向左平移个单位可得
而过与两点，分别作出与的图像如图所示，
考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.
3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，所以
又，则.
所以故选D.
【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.
4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）
因为公差为，所以只考虑，即一个周期内的情形即可.
依题意，，即中只有2个元素，
则中必有且仅有2个相等.
如图所示，设横坐标为的点对应图像中点.

①当时，且，
所以图像上点的位置必为如图1所示，关于对称，且，
则，，.
所以.
②当时，，
所以图像上点的位置必为如图2所示，关于对称，且，
则，，.
所以.
综上所述，.故选B.
解法二（代数法），
，，
由于，故中必有2个相等.
①若，即，
解得或.
若，则，
，
若，则，
，
故.
②若，得，
解得或.
当时，，
，
当时，，，
故.
③若，与①类似有.
综上，故选B.
5.（2023北京卷17）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若在区间上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：在上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【解析】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，，
所以,所以,,所以，
又因为，所以，所以，
所以，因为，所以.所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
6.（2023天津卷5）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ）
A． B． C． D．
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【解析】选项中的解析式均为三角函数的形式，所以由最小正周期求：
排除选项C，D；
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A；
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴.
故选B.
第四节 解三角形
1.（2023全国甲卷理科16）在中，，，，为上一点，平分，则 .
【解析】如图所示，记
由余弦定理可得，解得（负值舍去）.

由可得，
，
解得.
2.（2023全国甲卷文科17）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求.
（2）若，求面积 .
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【解析】（1）因为，所以，
解得．
（2）由正弦定理可得

，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
3.（2023全国乙卷理科18）在中，，，.
（1）求；
（2）若为上一点，且，求的面积.
【解析】（1）利用余弦定理可得
.
故.

又由正弦定理可知.
故.
（2）由（1）可知，
在中，，
故，
又，
所以.
4.（2023全国乙卷文科4）在中，内角的对边分别是，若，且，则 （ ）
A. B. C. D.
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，则.
故选C.
5.（2023新高考I卷17）已知在中，，.
（1） 求；
（2） 设，求边上的高.
【解析】（1）解法一 因为，所以，所以，



.
解法二 因为，所以，所以，
所以，所以，
故，即，
得.又，，得.
（2） 若.
如图所示，设边上的高为，边上的高为， ，
由（1）可得，
，，
所以，
.

6.（2023新高考II卷17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为的中点，且.
（1） 若，求；
（2） 若，求.
【解析】（1）依题意，，
，解得，.
如图所示，过点作于点.因为，所以,,
则，所以.

（2）设，，由极化恒等式得，
即，化简得，
即①，
又，即②.
得，得，
代入①得，与联立可得.

7.（2023北京卷7）在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选B.
8.（2023天津卷16）在中，角所对的边分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，
而，所以都为锐角，
因此，，
故．