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2023年四川省成都市中考数学试卷（含答案解析）
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这是一份2023年四川省成都市中考数学试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 因式分解等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市中考数学试卷
1. 在3，−7，0，19四个数中，最大的数是( )
A. 3 B. −7 C. 0 D. 19
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×108 B. 3×109 C. 3×1010 D. 3×1011
3. 下列计算正确的是( )
A. −3x2=−9x2 B. 7x+5x=12x2
C. x−32=x2−6x+9 D. x−2yx+2y=x2+4y2
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是( )
A. 26 B. 27 C. 33 D. 34
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. AC=BD B. OA=OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. 12(x+4.5)=x−1 B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5 D. 12(x−1)=x+4.5
8. 如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 抛物线的顶点坐标为(−12，−6)
C. A，B两点之间的距离为5
D. 当x<−1时，y的值随x值的增大而增大
9. 因式分解：m2−3m=__________.
10. 若点A(−3,y1)，B(−1,y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1__________y2(填“>”或“<”).
11. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF 的长为__________.
12. 在平面直角坐标系xOy中，点P5,−1关于y轴对称的点的坐标为__________.
13. 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E.若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则BECE的值为__________.
14. (1)计算： 4+2sin 45∘−(π−3)0+| 2−2|；
(2)解不等式组：{2(x+2)−x⩽5,①4x+13>x−1.②
15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴.成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有__________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.
16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16∘，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45∘时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin 16∘≈0.28，cos 16∘≈0.96，tan 16∘≈0.29)
17. 如图，以△ABC 的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE//AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE.
(1)求证：AC=BC；
(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长.
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画ΔPDE，使它与ΔPAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
19. 若3ab−3b2−2=0，则代数式(1−2ab−b2a2)÷a−ba2b的值为__________.
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有__________个.
21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳__________名观众同时观看演出.(π取3.14， 3取1.73)
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE//BC交AC于点E，将ΔDEC沿DE折叠得到ΔDEF，DF交AC于点G.若AGGE=73，则tanA=__________.
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是__________；第23个智慧优数是__________.
24. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
【初步感知】
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF= 22AB，请写出证明过程.
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明).
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M.若AB=2 2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数和零大于一切负实数，零小于任何的正实数，据此判断即可.
此题主要考查了实数大小比较，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数.
【解答】
解：∵3>19>0>−7，
∴所给的四个数中，最大的数是3.
故选A.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
此题考查了科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
【解答】
解：3000亿=300000000000=3×1011，
故选D.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
根据积的乘方法则，合并同类项法则，完全平方公式和平方差公式进行判断即可.
本题主要考查了积的乘方法则，合并同类项法则，完全平方公式和平方差公式，掌握相关法则和公式是解题关键.
【解答】
解：A：(−3x)2=9x2，故A选项错误；
B：7x+5x=12x，故B选项错误；
C：x−32=x2−6x+9，故C选项正确；
D：(x−2y)(x+2y)=x2−4y2，故D选项错误.
故选：C.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
将数据按照从小到大的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.
本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
【解答】
解：将数据按照从小到大的顺序排列：26，27，33，34，40，
∴这组数据的中位数是33.
故选C.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题.
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
【解答】
解： A、由平行四边形的对角线互相平分有OA=OC，OB=OD，但是AC与BD不一定相等，故本选项错误；
B、由平行四边形的对角线互相平分有OA=OC，OB=OD，故本选项正确；
C、平行四边形的对角线不一定垂直，故本选项错误；
D、由平行四边形的性质得AD//BC，所以∠ADC+∠BCD=180∘，但∠ADC不一定等于∠BCD，故本选项错误.
故选B.
6.【答案】B
【解析】
【分析】
总共有6张卡片，随机抽取1张，有6种可能结果，水果类的卡片有2张，抽中水果类的可能性有2种，再根据概率公式计算即可.
此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
【解答】
解：∵从6张卡片中随机抽取一张有6种结果，抽中的是水果类的情况有2种，
∴恰好抽中水果类卡片的概率是：26=13.
故选B.
7.【答案】A
【解析】
【分析】
设木长为x尺，根据等量关系“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出方程即可解答.
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
【解答】
解：设木长x尺，由“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，得绳长为(x+4.5)尺，
再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，得方程：12(x+4.5)=x−1.
故选A.
8.【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质逐一判断即可.
本题考查二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴，顶点坐标及与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
【解答】
解：∵抛物线与x轴交于点A(−3,0)，
∴0=9a−3−6，解得a=1，
∴y=x2+x−6
∴抛物线的对称轴为x=−12，则选项A错误；
∴顶点坐标为(−12,−254)，则选项B错误；
令y=x2+x−6=0，解得x1=−3，x2=2，
∴A(−3,0)，B(2,0)，
∴AB=2−(−3)=5，故选项C正确；
由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小，故选项D错误.
故选C.
9.【答案】m(m−3)
【解析】
【分析】
利用提公因式法分解因式即可.
本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题关键.
【解答】
解：m2−3m=m(m−3).
故答案为：m(m−3).
10.【答案】>
【解析】
【分析】
由反比例函数的系数为6>0，在每一个象限内，y随x的增大而减小解答即可.
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题关键.
【解答】
解：∵k=6>0，
∴函数的图象位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
又∵−3<−1<0，
∴y1>y2，
故答案为：>.
11.【答案】3
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质和线段的和差求解即可.
【解答】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=8，
∴CF=EF−CE=8−5=3.
故答案为：3.
12.【答案】(−5,−1)
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征解答即可.
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题关键.
【解答】
解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴点P5,−1关于y轴对称的点的坐标为(−5,−1).
故答案为：(−5,−1).
13.【答案】23
【解析】
【分析】
根据作图步骤可知∠BDE=∠BAC，则DE//AC，△BDE∽△BAC，由△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，可得△BDE与△BAC的面积比为4：25，从而得到△BDE与△BAC的相似比，即可求出BECE的值.
本题主要考查了尺规作图，平行线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，得到△BDE与△BAC的相似比是解题关键.
【解答】
根据作图步骤可知∠BDE=∠BAC，∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC.
∵△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，
∴△BDE与△BAC的面积比为4：(4+21)=4：25，
∴BEBC= 425=25，
∴BECE=25−2=23.
故答案为23.
14.【答案】解：(1)原式=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3；
(2)解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−4，
∴不等式组的解集为−4
【分析】
(1)根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值和实数混合运算顺序进行计算即可；
(2)分别解两个不等式①和②，再得出不等式组的解集即可.
本题主要考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，掌握实数的混合运算和解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键.
15.【答案】解：(1)300，补全条形统计图如下：
(2)参加“敬老服务”的人数占调查总人数的：120÷300=40%，
∴“敬老服务”对应的圆心角度数为360∘×40%=144∘；
(3)1500名师生中参加志愿者服务的人数为1500×80%=1200(人)，
∴参加“文明宣传”项目的师生人数为1200×90300=360(人).
【解析】解：(1)根据题意，本次调查的师生总人数为：60÷20%=300(人)，故答案为：300.
∴参加“文明宣传”的人数为：300−60−120−30=90(人).
补充条形统计图如下：
(2)见答案；
(3)见答案.
(1)用参加“清洁卫生”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；再求出参加“文明宣传”的人数，即可补全条形统计图；
(2)先计算参加“敬老服务”的人数占调查总人数的百分比，再乘360∘，即可求解；
(3)先求出1500名师生中参加志愿者服务的人数，再乘参加“文明宣传”项目所占的百分比，即可求解.
本题主要了考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
16.【答案】解：如图所示，过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，则四边形AFCG是矩形，
在Rt△ABF中，AF=AB⋅cos16∘，BF=AB⋅sin16∘，
∴AG=FC=BC−BF=BC−AB⋅sin16∘，
DG=CG−CD=AF−CD=AB⋅cos16∘−CD，
在Rt△ADG中，∵∠AGD=90∘，∠ADG=45∘，
∴AG=DG，即BC−AB⋅sin16∘=AB⋅cos16∘−CD，
∴CD=AB⋅cos16∘+AB⋅sin16∘−BC
≈5×0.96+5×0.28−4
=2.2(米)
故阴影CD的长为2.2米.
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，则四边形AFCG是矩形，在Rt△ABF中，根据锐角三角函数的知识可得AF=AB⋅cos16∘，BF=AB⋅sin16∘，则AG=BC−AB⋅sin16∘，
DG=AB⋅cos16∘−CD，在Rt△ADG中，由AG=DG可得BC−AB⋅sin16∘=AB⋅cos16∘−CD，代入数据求出CD即可.
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线，并得出关于CD的方程是解题关键.
17.【答案】解：(1)证明：∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∵AE=AE，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ADE=∠BAC，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC；
(2)∵AC为直径，∴∠ADC=90∘，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
设BD=x，
由tanB=2，CD=3，
可得AD=2x，AC=BC=x+3，
根据勾股定理有：AB= 5x，
∴(2x)²+3²=(x+3)²
解得x=2或0(舍去)，
∴AB= 5x=2 5，AD=4，
如图，过点A作AF⊥DE交DE于点F，连接AE，
∴∠AFD=∠AFE=90∘，
∵AD=AD
∴∠ACD=∠AEF，
∴tan∠ADF=tanB=2，
tan∠AEF=tan∠ACD=ADCD=43，
设DF=a，则AF=2a，AD= 5a，
∴ 5a=4，a=4 55，
∴DF=4 55，AF=8 55，
∴tan∠AEF=AFEF=43，
∴EF=6 55，
∴DE=DF+EF=2 5.
∴AB=2 5，DE=2 5.
【解析】(1)根据CE//AB得∠BAC=∠ACE，由同弧所对的圆周角相等得∠ADE=∠ACE，再由∠B=∠ADE得到∠B=∠BAC，即可得到AC=BC；
(2)过点A作AF⊥DE交DE于点F，连接AE，可得tan∠ADF=tanB=2，tan∠AEF=tan∠ACD=ADCD=43，从而在Rt△AFD和Rt△AFE中，分别求出DF，EF，再相加即可.
本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
18.【答案】解：(1)∵直线y=−x+5与y轴交于点A，
∴令x=0，得y=−x+5=5，
∴点A的坐标为(0,5).
∵直线y=−x+5与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，
∴−a+5=4，解得a=1，则B(1,4)，
将B(1,4)代入y=kx，可得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
(2)∵直线l⊥直线AB，∴可设直线l的表达式为y=x+b，
将点B的坐标代入y=x+b，可得1+b=4，解得b=3，
∴直线l的表达式为y=x+3，
如图，设直线l交y轴于点F，令x=0，可得y=0+3=3，则F(0,3).
设C(m,m+3)，∵A(0,5)，B(1,4)，
∴S△ABC=12×(yA−yF)×xB−xC=12×(5−3)×1−m=5，解得m=−4或6，
∴点C的坐标为(−4,−1)或(6,9)；
(3)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与y=4x的另一个交点，
将直线l与反比例函数y=4x联立得：y=4xy=x+3
解得：x=1y=4或x=−4y=−1
∴E(−4,−1)
画出图形如下：
又∵△PAB∽△PDE
∴∠PAB=∠PDE
∴AB//DE
∴可设直线DE的解析式为：y=−x+b2
将点E(−4,−1)代入y=−x+b2得：−1=−(−4)+b2
解得：b2=−5
∴直线DE的解析式是：y=−x−5
∵点D也在y=4x上，
∴点D是直线DE与y=4x的另一个交点，
将直线y=−x−5与y=4x联立得：y=4xy=−x−5
解得：x=−1y=−4或x=−4y=−1
∴D(−1,−4)
设直线AD的解析式是：y=k3x+b3
将点A(0,5)，D(−1,−4)代入y=k3x+b3得：−k3+b3=−4b3=5
解得：k1=9b1=5
∴直线AD的解析式是：y=9x+5，
又将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得：y=9x+5y=x+3
解得：x=−14y=114
∴点P的坐标为(−14,114)
∴BP= −14−12+114−42=54 2
EP= −14+42+114+12=154 2
∴m=EPBP=3
【解析】
【分析】
(1)令y=−x+5的x=0即可求得点A的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求得a=1，则B(1,4)，将B(1,4)代入y=kx，即可求得反比例函数的表达式；
(2)首先由待定系数法求得直线l的表达式，设直线l交y轴于点F，则F(0,3)，设C(m,m+3)，根据三角形的面积公式得到关于m的方程，再解方程即可；
(3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E(−4,−1)，由△PAB∽△PDE得到AB//DE，可设直线DE的解析式是：y=−x+b2，将E(−4,−1)代入y=−x+b2求得DE的解析式是：y=−x−5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D(−1,−4)，再用待定系数法求出AD的解析式是y=9x+5，利用直线AD的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为(−14,114)，再用勾股定理求得BP=54 2，EP=154 2，从而求得m=EPBP=3.
本题是反比例函数和一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，位似的性质，平面直角坐标系中两点间的距离，平行线的判定等知识，能综合运用所学知识解决问题是解题关键.
19.【答案】23
【解析】
【分析】
由3ab−3b2−2=0可变形为b(a-b)=23，再代入化简后的式子即可求解.
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式.
【解答】
解：(1−2ab−b2a2)÷a−ba2b
=a2−2ab+b2a2÷a−ba2b
=a−b2a2⋅a2ba−b
=ba−b
∵3ab−3b2−2=0，
∴3b(a-b)=2，即b(a-b)=23，
∴原式=23
故答案为23.
20.【答案】6
【解析】
【分析】
根据主视图与俯视图，得到第一层有4个小立方块，第2层最多有2个小立方块，得到最多共有4+2=6(个)小立方块.
本题考查几何体的三视图，由俯视图确定第一层小立方块的个数，由主视图确定第二层小立方块的个数是解题关键.
【解答】
解：由俯视图得到第一层有4个小立方块，
由主视图得到第2层最多有2个小立方块，
4+2=6(个)
所以最多有6个小立方块.
故答案为6.
21.【答案】184
【解析】
【分析】
过点O作OC⊥AB，交AB于点C，分别求出AB的长和∠AOB的度数，利用S阴影=S扇形OAB−S△AOB求出阴影部分的面积，即可解决问题.
本题考查了垂径定理的应用，扇形的面积，三角形的面积等，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形求出AB的长，利用锐角三角函数形求出∠OAC的度数，从而得到圆心角∠AOB的度数.
【解答】
解：如图，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，
根据题意有：OC=5米，OA=OB=10米，
由OC⊥AB，则∠ACO=90∘，AC=BC，∠AOC=∠BOC，
∴sin∠OAC=OCOA=12，AC= 10²−5²=5 3(米)，
∴∠OAC=30∘，∠AOC=60∘，AB=2AC=10 3(米)，
∴∠AOB=120∘
∴S扇形OAB=120360×3.14×10²=3143(平方米)，
S△AOB=12AB⋅OC=12×10 3×5=25 3(平方米)
∴S阴影=S扇形OAB−S△AOB=(3143−253)
∴S阴影×3=314−753≈184.25
即最多可容纳184名观众同时观看演出.
故答案为：184.
22.【答案】3 77
【解析】
【分析】
过E作EM//AD交DF于点M，延长ME交CD于点N，分别证△ADG∽△EMG，△DEM≌△DEN(ASA)，得到ADEM=ADEN=73，再证△CEN∽△CAD，得到CACE=ADEN=73，从而设CE=3x，有AE=4x，再根据CD平分∠AGB，DE//BC得到DE=CE=3x，同时由勾股定理求出AD= 4x2−3x2= 7x，从而可求tanA=DEAD=3x 7x=3 77.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线.
【解答】
解：如图，过E作EM//AD交DF于点M，延长ME交CD于点N，
∴△ADG∽△EMG，
∴ADEM=AGGE=73，
∵DE//BC，EM//AD，∠ABC=90∘，
∴∠ABC=∠ADE=∠DEM=90∘，
∴∠DEN=90∘，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠FDE=∠CDE，
在△DEM和△DEN中，
∠MDE=∠NDEDE=DE∠DEM=∠DEN
∴△DEM≌△DEN(ASA)
∴EM=EN，
∴ADEM=ADEN=73，
又∵MN//AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴CACE=ADEN=73，
设CE=3x，则CA=7x，
∴AE=CA−CE=4x，
∵CD平分∠ACB，DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB=∠ECD，
∴DE=CE=3x，
在Rt△ADE中，
AD= 4x2−3x2= 7x
∴tanA=DEAD=3x 7x=3 77.
23.【答案】15
57
【解析】
【分析】
m−n>1，m，n是正整数，确定m，n的最小值，再按照m的不同取值，列举出所有的智慧优数，即可求解.
本题考查了数式规律的探究问题，解决本题的关键是要找到数式的规律，再根据规律解决问题.
【解答】
解：∵m−n>1，m，n是正整数
∴m>n+1，m最小为3，n最小为1，
当m=3，n=1时，第1个智慧优数为3²−1²=(3+1)×(3−1)=8，
当m=4，n=2时，第2个智慧优数为4²−2²=(4+2)×(4−2)=12，
当m=4，n=1时，第3个智慧优数为4²−1²=(4+1)×(4−1)=15，
当m=5时，n可取3，2，1，有3个智慧优数，分别为16，21，24；
当m=6时，n可取4，3，2，1，有4个智慧优数，分别为20，27，32，35；
当m=7时，n可取5，4，3，2，1，有5个智慧优数，分别为24，33，40，45，48；
当m=8时，n可取6，5，4，3，2，1，有6个智慧优数，分别为28，39，48，55，60，63；
当m=9时，n可取7，6，5，4，3，2，1，有7个智慧优数，分别为32，45，56，65，72，77，80；
当m=10时，n可取8，7，6，5，4，3，2，1，有8个智慧优数，分别为36，51，64，75，84，91，96，99；
当m=11时，n可取9，8，7，6，5，4，3，2，1，有9个智慧优数，分别为40，57，72，85，96，105，112，118，120；
当m=12时，n可取10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有10智慧优数，分别为44，63，80，95，108，119，128，135，140，143；
当m=13时，n可取11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有11智慧优数，分别为48，69，88，105，120，133，144，153，160，165，168；
当m=14时，n可取12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有12智慧优数，分别为52，75，96，115，132，147，160，171，180，187，192，195；
按照从小到大排序，第3个智慧优数为15，第23个智慧优数为57.
故答案为15；57.
24.【答案】解：(1)设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元，
根据题意有：x+y=685x+3y=280，
解得：x=38y=30
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；
(2)设购买A种食材m千克，则购买B种食材(36−m)千克，
∴m≥2(36−m)
解得m≥24，
设购买两种食材的总费用为w元，
则w=38m+30(36−m)=8m+1080，
∵8>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=24时，总费用最小为8×24+1080=1272(元).
答：购买A种食材24千克，购买B种食材12千克时，总费用最低，是1272元.
【解析】(1)设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元，根据购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元，列出二元一次方程组，再解方程组即可.
(2)设购买A种食材m千克，则购买B种食材(36−m)千克，根据题意得到m≥2(36−m)，解得m≥24，设总费用为w，用m表示出总费用，得到w=8m+1080，再根据一次函数的性质求解即可.
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式及一次函数等知识点，是中考常考考点.
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，A(0,1)，
∴16a+c=−3c=1，解得a=−14c=1，
∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+1；
(2)①如图，当AB=AP时，根据抛物线的对称性可得B(−4,−3)；
②如图，当AB=BP时，
设B(a,−14a2+1)，由AB2=BP2得a2+−14a22=(a−4)2+−14a2+42，
整理得a2+4a−16=0，解得a=−2+2 5或−2−2 5，
当a=−2+2 5时，−14a2+1=−5+2 5，
当a=−2−2 5时，−14a2+1=−5−2 5，
∴点B的坐标为(−2+2 5,−5+2 5)或(−2−2 5,−5−2 5).
综上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，点B的坐标为(−4,−3)或(−2+2 5,−5+2 5)或(−2−2 5,−5−2 5)；
(3)存在常数m，使得OD⊥OE.
根据题意，画出图形如下图，
设抛物线y=−14x2+1与直线y=kx(k≠0)的交点坐标为B(a,ka)，C(b,kb)，
由y=−14x2+1=kx得x2+4kx−4=0，
∴a+b=−4k，ab=−4;
设直线AB的表达式为y=px+q，
则ap+q=kaq=1，解得p=ka−1aq=1
∴直线AB的表达式为y=ka−1ax+1，
令y=m，由y=ka−1ax+1=m得x=a(m−1)ka−1，
∴D(a(m−1)ka−1,m)，
同理，可得直线AC的表达式为y=kb−1bx+1，则E(b(m−1)kb−1,m)，
过E作EM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
则∠EMO=∠OND=90∘，EM=ND=m，MO=−b(m−1)kb−1，ON=a(m−1)ka−1，
若OD⊥OE，则∠EOD=90∘，
∴∠MEO+∠MOE=∠DON+∠MOE=90∘，
∴∠MEO=∠DON，
∴△EMO∽△OND，
∴EMON=MOND，
则ma(m−1)ka−1=−b(m−1)kb−1m，
整理，得m2(ka−1)(kb−1)=−ab(m−1)2，
即m2[abk2−k(a+b)+1]=−ab(m−1)2，
将a+b=−4k，ab=−4代入，得m2(−4k2+4k2+1)=4(m−1)2，
即m2=4(m−1)2，则m=2(m−1)或m=−2(m−1)，
解得m1=2，m2=23，
综上，存在常数m，使得OD⊥OE，m的值为2或23.
【解析】
【分析】
(1)将P(4,−3)，A(0,1)代入y=ax2+c，得到关于a，c的方程组，解方程组求得a，c的值，即可得到抛物线的函数表达式；
(2)分AB=AP，AB=BP两种情况求点B的坐标即可；
(3)先根据题意画出图形，设抛物线y=−14x2+1与直线y=kx(k≠0)的交点坐标为B(a,ka)，C(b,kb)，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到a+b=−4k，ab=−4，利用待定系数法分别求得直线AB、AC的表达式为得到D(a(m−1)ka−1,m)，E(b(m−1)kb−1,m)，过E作EM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，证明△EMO∽OND得到，整理可得到m2=4(m−1)2，进而求解即可.
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，直线与二次函数的交点，等腰三角形的判定等知识，要注意数形结合思想的灵活运用.
26.【答案】解：(1)证明：如图，连接CD，
当n=1时，AD=BD，即D是AB的中点，
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘，CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠BCD=∠A=45∘，
∵∠AED+∠CED=180∘，∠CED+∠CFD=180∘，
∴∠AED=∠CFD，
∴在△AED和△CFD中，
∠AED=∠CFD∠A=∠DCFAD=CD
∴△AED≌△CFD(AAS)，
∴AE=CF，
∵BC= 22AB，
∴BF+AE=BF+CF= 22AB；
(2)①AE+12BF= 23AB，证明如下：
如图，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∴∠DME=∠DNF=90∘，
由(1)知，∠AED=∠CFD，∠A=∠B，
∴△MED∽△NFD，△AMD∽△DNB，
∴MENF=DEDF=MDND=ADDB，
设AD=1，ME=x，
则NF=nx，BD=n，AM= 22，BN= 22n，
∴AE= 22+x，BF= 22n−nx，
∴AE+1nBF= 2，AB=n+1，
∴AE+1nBF= 2n+1AB，
当n=2时，AE+12BF= 23AB.
②当点F在射线BC上时， AE+1nBF= 2n+1AB，
当点F在CB延长线上时， AE−1nBF= 2n+1AB ；
(3)当E在A点时，过D作DF1⊥AB交BC的延长线于点F1，连接AF1，
当E在C点时，作相应的△E2DF2
由(2)知，E1DDF1=E2DDF2=1n，∠E1DE2=∠F1DF2，
∴△E1DE2∽△F1DF2，
∴E1E2F1F2=1n，
∵AB=2 2，
∴E1E2=AC=2，
∴F1F2=2n，
如图，分别取E1F1，E2F2的中点M1，M2，连接M1，M2即为M的轨迹，
连接E1F2，取其中点N，连接M1N，M2N，
∴M1N//F1F2且M1N=12F1F2，M2N//AC且M2N=12AC，
∴M1N⊥M2N，M1N=n，M2N=1，
∵∠ACB=90∘，
∴M1M2= n2+1.
即点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为 n2+1.
【解析】(1)连接CD，证△AED≌△CFD(AAS)，得到AE=CF，再由BC= 22AB，得BF+AE=BF+CF= 22AB；
(2)①结论：AE+12BF= 23AB，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，证△MED∽△NFD，△AMD∽△DNB，得MENF=DEDF=MDND=ADDB，设AD=1，ME=x，从而得到AE+1nBF= 2n+1AB，当n=2时，代入即可求证；
②分两种情况讨论，仿照①的证明过程进行证明即可;
(3)当E在A点时，过D作DF1⊥AB交BC的延长线于点F1，连接AF1，当E在C点时，作相应的△E2DF2，证△E1DE2∽△F1DF2，得F1F2=2n，分别取E1F1，E2F2的中点M1，M2，连接M1，M2即为M的轨迹.
本题考查了三角形与代数的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定等知识，灵活掌握这些知识是解题的关键.
2023年四川省成都市中考数学试卷
1. 在3，−7，0，19四个数中，最大的数是( )
A. 3 B. −7 C. 0 D. 19
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×108 B. 3×109 C. 3×1010 D. 3×1011
3. 下列计算正确的是( )
A. −3x2=−9x2 B. 7x+5x=12x2
C. x−32=x2−6x+9 D. x−2yx+2y=x2+4y2
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是( )
A. 26 B. 27 C. 33 D. 34
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. AC=BD B. OA=OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. 12(x+4.5)=x−1 B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5 D. 12(x−1)=x+4.5
8. 如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 抛物线的顶点坐标为(−12，−6)
C. A，B两点之间的距离为5
D. 当x<−1时，y的值随x值的增大而增大
9. 因式分解：m2−3m=__________.
10. 若点A(−3,y1)，B(−1,y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1__________y2(填“>”或“<”).
11. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF 的长为__________.
12. 在平面直角坐标系xOy中，点P5,−1关于y轴对称的点的坐标为__________.
13. 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E.若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则BECE的值为__________.
14. (1)计算： 4+2sin 45∘−(π−3)0+| 2−2|；
(2)解不等式组：{2(x+2)−x⩽5,①4x+13>x−1.②
15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴.成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有__________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.
16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16∘，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45∘时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin 16∘≈0.28，cos 16∘≈0.96，tan 16∘≈0.29)
17. 如图，以△ABC 的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE//AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE.
(1)求证：AC=BC；
(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长.
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画ΔPDE，使它与ΔPAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.
19. 若3ab−3b2−2=0，则代数式(1−2ab−b2a2)÷a−ba2b的值为__________.
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有__________个.
21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳__________名观众同时观看演出.(π取3.14， 3取1.73)
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE//BC交AC于点E，将ΔDEC沿DE折叠得到ΔDEF，DF交AC于点G.若AGGE=73，则tanA=__________.
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是__________；第23个智慧优数是__________.
24. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
【初步感知】
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF= 22AB，请写出证明过程.
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明).
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M.若AB=2 2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数和零大于一切负实数，零小于任何的正实数，据此判断即可.
此题主要考查了实数大小比较，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数.
【解答】
解：∵3>19>0>−7，
∴所给的四个数中，最大的数是3.
故选A.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
此题考查了科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
【解答】
解：3000亿=300000000000=3×1011，
故选D.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
根据积的乘方法则，合并同类项法则，完全平方公式和平方差公式进行判断即可.
本题主要考查了积的乘方法则，合并同类项法则，完全平方公式和平方差公式，掌握相关法则和公式是解题关键.
【解答】
解：A：(−3x)2=9x2，故A选项错误；
B：7x+5x=12x，故B选项错误；
C：x−32=x2−6x+9，故C选项正确；
D：(x−2y)(x+2y)=x2−4y2，故D选项错误.
故选：C.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
将数据按照从小到大的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.
本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
【解答】
解：将数据按照从小到大的顺序排列：26，27，33，34，40，
∴这组数据的中位数是33.
故选C.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题.
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
【解答】
解： A、由平行四边形的对角线互相平分有OA=OC，OB=OD，但是AC与BD不一定相等，故本选项错误；
B、由平行四边形的对角线互相平分有OA=OC，OB=OD，故本选项正确；
C、平行四边形的对角线不一定垂直，故本选项错误；
D、由平行四边形的性质得AD//BC，所以∠ADC+∠BCD=180∘，但∠ADC不一定等于∠BCD，故本选项错误.
故选B.
6.【答案】B
【解析】
【分析】
总共有6张卡片，随机抽取1张，有6种可能结果，水果类的卡片有2张，抽中水果类的可能性有2种，再根据概率公式计算即可.
此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
【解答】
解：∵从6张卡片中随机抽取一张有6种结果，抽中的是水果类的情况有2种，
∴恰好抽中水果类卡片的概率是：26=13.
故选B.
7.【答案】A
【解析】
【分析】
设木长为x尺，根据等量关系“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出方程即可解答.
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
【解答】
解：设木长x尺，由“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，得绳长为(x+4.5)尺，
再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，得方程：12(x+4.5)=x−1.
故选A.
8.【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质逐一判断即可.
本题考查二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴，顶点坐标及与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
【解答】
解：∵抛物线与x轴交于点A(−3,0)，
∴0=9a−3−6，解得a=1，
∴y=x2+x−6
∴抛物线的对称轴为x=−12，则选项A错误；
∴顶点坐标为(−12,−254)，则选项B错误；
令y=x2+x−6=0，解得x1=−3，x2=2，
∴A(−3,0)，B(2,0)，
∴AB=2−(−3)=5，故选项C正确；
由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小，故选项D错误.
故选C.
9.【答案】m(m−3)
【解析】
【分析】
利用提公因式法分解因式即可.
本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题关键.
【解答】
解：m2−3m=m(m−3).
故答案为：m(m−3).
10.【答案】>
【解析】
【分析】
由反比例函数的系数为6>0，在每一个象限内，y随x的增大而减小解答即可.
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题关键.
【解答】
解：∵k=6>0，
∴函数的图象位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
又∵−3<−1<0，
∴y1>y2，
故答案为：>.
11.【答案】3
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质和线段的和差求解即可.
【解答】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=8，
∴CF=EF−CE=8−5=3.
故答案为：3.
12.【答案】(−5,−1)
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征解答即可.
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题关键.
【解答】
解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴点P5,−1关于y轴对称的点的坐标为(−5,−1).
故答案为：(−5,−1).
13.【答案】23
【解析】
【分析】
根据作图步骤可知∠BDE=∠BAC，则DE//AC，△BDE∽△BAC，由△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，可得△BDE与△BAC的面积比为4：25，从而得到△BDE与△BAC的相似比，即可求出BECE的值.
本题主要考查了尺规作图，平行线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，得到△BDE与△BAC的相似比是解题关键.
【解答】
根据作图步骤可知∠BDE=∠BAC，∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC.
∵△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，
∴△BDE与△BAC的面积比为4：(4+21)=4：25，
∴BEBC= 425=25，
∴BECE=25−2=23.
故答案为23.
14.【答案】解：(1)原式=2+2× 22−1+2− 2
=2+ 2−1+2− 2
=3；
(2)解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−4，
∴不等式组的解集为−4
【分析】
(1)根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值和实数混合运算顺序进行计算即可；
(2)分别解两个不等式①和②，再得出不等式组的解集即可.
本题主要考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，掌握实数的混合运算和解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键.
15.【答案】解：(1)300，补全条形统计图如下：
(2)参加“敬老服务”的人数占调查总人数的：120÷300=40%，
∴“敬老服务”对应的圆心角度数为360∘×40%=144∘；
(3)1500名师生中参加志愿者服务的人数为1500×80%=1200(人)，
∴参加“文明宣传”项目的师生人数为1200×90300=360(人).
【解析】解：(1)根据题意，本次调查的师生总人数为：60÷20%=300(人)，故答案为：300.
∴参加“文明宣传”的人数为：300−60−120−30=90(人).
补充条形统计图如下：
(2)见答案；
(3)见答案.
(1)用参加“清洁卫生”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；再求出参加“文明宣传”的人数，即可补全条形统计图；
(2)先计算参加“敬老服务”的人数占调查总人数的百分比，再乘360∘，即可求解；
(3)先求出1500名师生中参加志愿者服务的人数，再乘参加“文明宣传”项目所占的百分比，即可求解.
本题主要了考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
16.【答案】解：如图所示，过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，则四边形AFCG是矩形，
在Rt△ABF中，AF=AB⋅cos16∘，BF=AB⋅sin16∘，
∴AG=FC=BC−BF=BC−AB⋅sin16∘，
DG=CG−CD=AF−CD=AB⋅cos16∘−CD，
在Rt△ADG中，∵∠AGD=90∘，∠ADG=45∘，
∴AG=DG，即BC−AB⋅sin16∘=AB⋅cos16∘−CD，
∴CD=AB⋅cos16∘+AB⋅sin16∘−BC
≈5×0.96+5×0.28−4
=2.2(米)
故阴影CD的长为2.2米.
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，则四边形AFCG是矩形，在Rt△ABF中，根据锐角三角函数的知识可得AF=AB⋅cos16∘，BF=AB⋅sin16∘，则AG=BC−AB⋅sin16∘，
DG=AB⋅cos16∘−CD，在Rt△ADG中，由AG=DG可得BC−AB⋅sin16∘=AB⋅cos16∘−CD，代入数据求出CD即可.
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线，并得出关于CD的方程是解题关键.
17.【答案】解：(1)证明：∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∵AE=AE，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ADE=∠BAC，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC；
(2)∵AC为直径，∴∠ADC=90∘，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
设BD=x，
由tanB=2，CD=3，
可得AD=2x，AC=BC=x+3，
根据勾股定理有：AB= 5x，
∴(2x)²+3²=(x+3)²
解得x=2或0(舍去)，
∴AB= 5x=2 5，AD=4，
如图，过点A作AF⊥DE交DE于点F，连接AE，
∴∠AFD=∠AFE=90∘，
∵AD=AD
∴∠ACD=∠AEF，
∴tan∠ADF=tanB=2，
tan∠AEF=tan∠ACD=ADCD=43，
设DF=a，则AF=2a，AD= 5a，
∴ 5a=4，a=4 55，
∴DF=4 55，AF=8 55，
∴tan∠AEF=AFEF=43，
∴EF=6 55，
∴DE=DF+EF=2 5.
∴AB=2 5，DE=2 5.
【解析】(1)根据CE//AB得∠BAC=∠ACE，由同弧所对的圆周角相等得∠ADE=∠ACE，再由∠B=∠ADE得到∠B=∠BAC，即可得到AC=BC；
(2)过点A作AF⊥DE交DE于点F，连接AE，可得tan∠ADF=tanB=2，tan∠AEF=tan∠ACD=ADCD=43，从而在Rt△AFD和Rt△AFE中，分别求出DF，EF，再相加即可.
本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
18.【答案】解：(1)∵直线y=−x+5与y轴交于点A，
∴令x=0，得y=−x+5=5，
∴点A的坐标为(0,5).
∵直线y=−x+5与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，
∴−a+5=4，解得a=1，则B(1,4)，
将B(1,4)代入y=kx，可得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
(2)∵直线l⊥直线AB，∴可设直线l的表达式为y=x+b，
将点B的坐标代入y=x+b，可得1+b=4，解得b=3，
∴直线l的表达式为y=x+3，
如图，设直线l交y轴于点F，令x=0，可得y=0+3=3，则F(0,3).
设C(m,m+3)，∵A(0,5)，B(1,4)，
∴S△ABC=12×(yA−yF)×xB−xC=12×(5−3)×1−m=5，解得m=−4或6，
∴点C的坐标为(−4,−1)或(6,9)；
(3)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与y=4x的另一个交点，
将直线l与反比例函数y=4x联立得：y=4xy=x+3
解得：x=1y=4或x=−4y=−1
∴E(−4,−1)
画出图形如下：
又∵△PAB∽△PDE
∴∠PAB=∠PDE
∴AB//DE
∴可设直线DE的解析式为：y=−x+b2
将点E(−4,−1)代入y=−x+b2得：−1=−(−4)+b2
解得：b2=−5
∴直线DE的解析式是：y=−x−5
∵点D也在y=4x上，
∴点D是直线DE与y=4x的另一个交点，
将直线y=−x−5与y=4x联立得：y=4xy=−x−5
解得：x=−1y=−4或x=−4y=−1
∴D(−1,−4)
设直线AD的解析式是：y=k3x+b3
将点A(0,5)，D(−1,−4)代入y=k3x+b3得：−k3+b3=−4b3=5
解得：k1=9b1=5
∴直线AD的解析式是：y=9x+5，
又将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得：y=9x+5y=x+3
解得：x=−14y=114
∴点P的坐标为(−14,114)
∴BP= −14−12+114−42=54 2
EP= −14+42+114+12=154 2
∴m=EPBP=3
【解析】
【分析】
(1)令y=−x+5的x=0即可求得点A的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求得a=1，则B(1,4)，将B(1,4)代入y=kx，即可求得反比例函数的表达式；
(2)首先由待定系数法求得直线l的表达式，设直线l交y轴于点F，则F(0,3)，设C(m,m+3)，根据三角形的面积公式得到关于m的方程，再解方程即可；
(3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E(−4,−1)，由△PAB∽△PDE得到AB//DE，可设直线DE的解析式是：y=−x+b2，将E(−4,−1)代入y=−x+b2求得DE的解析式是：y=−x−5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D(−1,−4)，再用待定系数法求出AD的解析式是y=9x+5，利用直线AD的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为(−14,114)，再用勾股定理求得BP=54 2，EP=154 2，从而求得m=EPBP=3.
本题是反比例函数和一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，位似的性质，平面直角坐标系中两点间的距离，平行线的判定等知识，能综合运用所学知识解决问题是解题关键.
19.【答案】23
【解析】
【分析】
由3ab−3b2−2=0可变形为b(a-b)=23，再代入化简后的式子即可求解.
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式.
【解答】
解：(1−2ab−b2a2)÷a−ba2b
=a2−2ab+b2a2÷a−ba2b
=a−b2a2⋅a2ba−b
=ba−b
∵3ab−3b2−2=0，
∴3b(a-b)=2，即b(a-b)=23，
∴原式=23
故答案为23.
20.【答案】6
【解析】
【分析】
根据主视图与俯视图，得到第一层有4个小立方块，第2层最多有2个小立方块，得到最多共有4+2=6(个)小立方块.
本题考查几何体的三视图，由俯视图确定第一层小立方块的个数，由主视图确定第二层小立方块的个数是解题关键.
【解答】
解：由俯视图得到第一层有4个小立方块，
由主视图得到第2层最多有2个小立方块，
4+2=6(个)
所以最多有6个小立方块.
故答案为6.
21.【答案】184
【解析】
【分析】
过点O作OC⊥AB，交AB于点C，分别求出AB的长和∠AOB的度数，利用S阴影=S扇形OAB−S△AOB求出阴影部分的面积，即可解决问题.
本题考查了垂径定理的应用，扇形的面积，三角形的面积等，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形求出AB的长，利用锐角三角函数形求出∠OAC的度数，从而得到圆心角∠AOB的度数.
【解答】
解：如图，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，
根据题意有：OC=5米，OA=OB=10米，
由OC⊥AB，则∠ACO=90∘，AC=BC，∠AOC=∠BOC，
∴sin∠OAC=OCOA=12，AC= 10²−5²=5 3(米)，
∴∠OAC=30∘，∠AOC=60∘，AB=2AC=10 3(米)，
∴∠AOB=120∘
∴S扇形OAB=120360×3.14×10²=3143(平方米)，
S△AOB=12AB⋅OC=12×10 3×5=25 3(平方米)
∴S阴影=S扇形OAB−S△AOB=(3143−253)
∴S阴影×3=314−753≈184.25
即最多可容纳184名观众同时观看演出.
故答案为：184.
22.【答案】3 77
【解析】
【分析】
过E作EM//AD交DF于点M，延长ME交CD于点N，分别证△ADG∽△EMG，△DEM≌△DEN(ASA)，得到ADEM=ADEN=73，再证△CEN∽△CAD，得到CACE=ADEN=73，从而设CE=3x，有AE=4x，再根据CD平分∠AGB，DE//BC得到DE=CE=3x，同时由勾股定理求出AD= 4x2−3x2= 7x，从而可求tanA=DEAD=3x 7x=3 77.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线.
【解答】
解：如图，过E作EM//AD交DF于点M，延长ME交CD于点N，
∴△ADG∽△EMG，
∴ADEM=AGGE=73，
∵DE//BC，EM//AD，∠ABC=90∘，
∴∠ABC=∠ADE=∠DEM=90∘，
∴∠DEN=90∘，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠FDE=∠CDE，
在△DEM和△DEN中，
∠MDE=∠NDEDE=DE∠DEM=∠DEN
∴△DEM≌△DEN(ASA)
∴EM=EN，
∴ADEM=ADEN=73，
又∵MN//AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴CACE=ADEN=73，
设CE=3x，则CA=7x，
∴AE=CA−CE=4x，
∵CD平分∠ACB，DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB=∠ECD，
∴DE=CE=3x，
在Rt△ADE中，
AD= 4x2−3x2= 7x
∴tanA=DEAD=3x 7x=3 77.
23.【答案】15
57
【解析】
【分析】
m−n>1，m，n是正整数，确定m，n的最小值，再按照m的不同取值，列举出所有的智慧优数，即可求解.
本题考查了数式规律的探究问题，解决本题的关键是要找到数式的规律，再根据规律解决问题.
【解答】
解：∵m−n>1，m，n是正整数
∴m>n+1，m最小为3，n最小为1，
当m=3，n=1时，第1个智慧优数为3²−1²=(3+1)×(3−1)=8，
当m=4，n=2时，第2个智慧优数为4²−2²=(4+2)×(4−2)=12，
当m=4，n=1时，第3个智慧优数为4²−1²=(4+1)×(4−1)=15，
当m=5时，n可取3，2，1，有3个智慧优数，分别为16，21，24；
当m=6时，n可取4，3，2，1，有4个智慧优数，分别为20，27，32，35；
当m=7时，n可取5，4，3，2，1，有5个智慧优数，分别为24，33，40，45，48；
当m=8时，n可取6，5，4，3，2，1，有6个智慧优数，分别为28，39，48，55，60，63；
当m=9时，n可取7，6，5，4，3，2，1，有7个智慧优数，分别为32，45，56，65，72，77，80；
当m=10时，n可取8，7，6，5，4，3，2，1，有8个智慧优数，分别为36，51，64，75，84，91，96，99；
当m=11时，n可取9，8，7，6，5，4，3，2，1，有9个智慧优数，分别为40，57，72，85，96，105，112，118，120；
当m=12时，n可取10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有10智慧优数，分别为44，63，80，95，108，119，128，135，140，143；
当m=13时，n可取11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有11智慧优数，分别为48，69，88，105，120，133，144，153，160，165，168；
当m=14时，n可取12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，有12智慧优数，分别为52，75，96，115，132，147，160，171，180，187，192，195；
按照从小到大排序，第3个智慧优数为15，第23个智慧优数为57.
故答案为15；57.
24.【答案】解：(1)设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元，
根据题意有：x+y=685x+3y=280，
解得：x=38y=30
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；
(2)设购买A种食材m千克，则购买B种食材(36−m)千克，
∴m≥2(36−m)
解得m≥24，
设购买两种食材的总费用为w元，
则w=38m+30(36−m)=8m+1080，
∵8>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=24时，总费用最小为8×24+1080=1272(元).
答：购买A种食材24千克，购买B种食材12千克时，总费用最低，是1272元.
【解析】(1)设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元，根据购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元，列出二元一次方程组，再解方程组即可.
(2)设购买A种食材m千克，则购买B种食材(36−m)千克，根据题意得到m≥2(36−m)，解得m≥24，设总费用为w，用m表示出总费用，得到w=8m+1080，再根据一次函数的性质求解即可.
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式及一次函数等知识点，是中考常考考点.
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，A(0,1)，
∴16a+c=−3c=1，解得a=−14c=1，
∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+1；
(2)①如图，当AB=AP时，根据抛物线的对称性可得B(−4,−3)；
②如图，当AB=BP时，
设B(a,−14a2+1)，由AB2=BP2得a2+−14a22=(a−4)2+−14a2+42，
整理得a2+4a−16=0，解得a=−2+2 5或−2−2 5，
当a=−2+2 5时，−14a2+1=−5+2 5，
当a=−2−2 5时，−14a2+1=−5−2 5，
∴点B的坐标为(−2+2 5,−5+2 5)或(−2−2 5,−5−2 5).
综上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，点B的坐标为(−4,−3)或(−2+2 5,−5+2 5)或(−2−2 5,−5−2 5)；
(3)存在常数m，使得OD⊥OE.
根据题意，画出图形如下图，
设抛物线y=−14x2+1与直线y=kx(k≠0)的交点坐标为B(a,ka)，C(b,kb)，
由y=−14x2+1=kx得x2+4kx−4=0，
∴a+b=−4k，ab=−4;
设直线AB的表达式为y=px+q，
则ap+q=kaq=1，解得p=ka−1aq=1
∴直线AB的表达式为y=ka−1ax+1，
令y=m，由y=ka−1ax+1=m得x=a(m−1)ka−1，
∴D(a(m−1)ka−1,m)，
同理，可得直线AC的表达式为y=kb−1bx+1，则E(b(m−1)kb−1,m)，
过E作EM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
则∠EMO=∠OND=90∘，EM=ND=m，MO=−b(m−1)kb−1，ON=a(m−1)ka−1，
若OD⊥OE，则∠EOD=90∘，
∴∠MEO+∠MOE=∠DON+∠MOE=90∘，
∴∠MEO=∠DON，
∴△EMO∽△OND，
∴EMON=MOND，
则ma(m−1)ka−1=−b(m−1)kb−1m，
整理，得m2(ka−1)(kb−1)=−ab(m−1)2，
即m2[abk2−k(a+b)+1]=−ab(m−1)2，
将a+b=−4k，ab=−4代入，得m2(−4k2+4k2+1)=4(m−1)2，
即m2=4(m−1)2，则m=2(m−1)或m=−2(m−1)，
解得m1=2，m2=23，
综上，存在常数m，使得OD⊥OE，m的值为2或23.
【解析】
【分析】
(1)将P(4,−3)，A(0,1)代入y=ax2+c，得到关于a，c的方程组，解方程组求得a，c的值，即可得到抛物线的函数表达式；
(2)分AB=AP，AB=BP两种情况求点B的坐标即可；
(3)先根据题意画出图形，设抛物线y=−14x2+1与直线y=kx(k≠0)的交点坐标为B(a,ka)，C(b,kb)，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到a+b=−4k，ab=−4，利用待定系数法分别求得直线AB、AC的表达式为得到D(a(m−1)ka−1,m)，E(b(m−1)kb−1,m)，过E作EM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，证明△EMO∽OND得到，整理可得到m2=4(m−1)2，进而求解即可.
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，直线与二次函数的交点，等腰三角形的判定等知识，要注意数形结合思想的灵活运用.
26.【答案】解：(1)证明：如图，连接CD，
当n=1时，AD=BD，即D是AB的中点，
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘，CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠BCD=∠A=45∘，
∵∠AED+∠CED=180∘，∠CED+∠CFD=180∘，
∴∠AED=∠CFD，
∴在△AED和△CFD中，
∠AED=∠CFD∠A=∠DCFAD=CD
∴△AED≌△CFD(AAS)，
∴AE=CF，
∵BC= 22AB，
∴BF+AE=BF+CF= 22AB；
(2)①AE+12BF= 23AB，证明如下：
如图，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∴∠DME=∠DNF=90∘，
由(1)知，∠AED=∠CFD，∠A=∠B，
∴△MED∽△NFD，△AMD∽△DNB，
∴MENF=DEDF=MDND=ADDB，
设AD=1，ME=x，
则NF=nx，BD=n，AM= 22，BN= 22n，
∴AE= 22+x，BF= 22n−nx，
∴AE+1nBF= 2，AB=n+1，
∴AE+1nBF= 2n+1AB，
当n=2时，AE+12BF= 23AB.
②当点F在射线BC上时， AE+1nBF= 2n+1AB，
当点F在CB延长线上时， AE−1nBF= 2n+1AB ；
(3)当E在A点时，过D作DF1⊥AB交BC的延长线于点F1，连接AF1，
当E在C点时，作相应的△E2DF2
由(2)知，E1DDF1=E2DDF2=1n，∠E1DE2=∠F1DF2，
∴△E1DE2∽△F1DF2，
∴E1E2F1F2=1n，
∵AB=2 2，
∴E1E2=AC=2，
∴F1F2=2n，
如图，分别取E1F1，E2F2的中点M1，M2，连接M1，M2即为M的轨迹，
连接E1F2，取其中点N，连接M1N，M2N，
∴M1N//F1F2且M1N=12F1F2，M2N//AC且M2N=12AC，
∴M1N⊥M2N，M1N=n，M2N=1，
∵∠ACB=90∘，
∴M1M2= n2+1.
即点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为 n2+1.
【解析】(1)连接CD，证△AED≌△CFD(AAS)，得到AE=CF，再由BC= 22AB，得BF+AE=BF+CF= 22AB；
(2)①结论：AE+12BF= 23AB，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，证△MED∽△NFD，△AMD∽△DNB，得MENF=DEDF=MDND=ADDB，设AD=1，ME=x，从而得到AE+1nBF= 2n+1AB，当n=2时，代入即可求证；
②分两种情况讨论，仿照①的证明过程进行证明即可;
(3)当E在A点时，过D作DF1⊥AB交BC的延长线于点F1，连接AF1，当E在C点时，作相应的△E2DF2，证△E1DE2∽△F1DF2，得F1F2=2n，分别取E1F1，E2F2的中点M1，M2，连接M1，M2即为M的轨迹.
本题考查了三角形与代数的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定等知识，灵活掌握这些知识是解题的关键.
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