2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了 2的绝对值是， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 12B. −2C. −12D. 2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图所示，该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. a+2a2=3a3B. a7÷a4=a3
C. (a−2)2=a2−4D. (3b)2=6b2
5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
则这10名运动员成绩的中位数是( )
A. 1.50mB. 1.55mC. 1.60mD. 1.65m
6. 如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD//EF，若∠1=108∘，则∠2的度数为( )
A. 52∘
B. 62∘
C. 72∘
D. 82∘
7. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是( )
A. 了解某种灯泡的使用寿命B. 了解一批冷饮的质量是否合格
C. 了解全国八年级学生的视力情况D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
8. 某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度.设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是( )
A. 120x+1=1201.5xB. 120x−1=1201.5xC. 1201.5x=120x−1D. 1201.5x=120x+1
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为( )
A. 35B. 34C. 43D. 53
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=3cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以 3cm/s的速度沿射线AC匀速运动.当点P停止运动时，点Q也随之停止运动.在PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN，点N在射线AB上.设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC的重叠部分的面积为y(cm2)，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
11. 截止到2023年4月底，我国5G网络覆盖全国所有地级(以上)市、县城城区，5G移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为______ .
12. 分解因式：m3−4m2+4m=______.
13. 如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为______ .
14. 若关于x的一元二次方程x2−x+k+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______ .
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(1,0)，B(2,3)，C(−1,2)，若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为______ .
16. 如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC=2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为______ .
17. 如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=20∘，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为______ .
18. 如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120∘得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE=90∘，∠E=30∘，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为______ .
19. 先化简，再求值：(2x−1x−2−1)÷x+1x2−4，其中x=3.
20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A(优秀)；B(良好)；C(中)；D(合格).并将统计结果绘制成如图两幅统计图.
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生共有______ 名；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
(4)在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率.
21. 某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元.
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
22. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30∘，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53∘(换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE；
(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min).
(参考数据：sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60，tan53∘≈1.33)
23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
24. 如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.
(1)求证：EF与⊙O相切；
(2)若BF=1，sin∠AFE=45，求BC的长.
25. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A，B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90∘，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.
(1)如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD= 2BC；
(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC=1：3时，请直接写出S1S2的值.
26. 如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)，点E在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作EF//y轴，交BC于点F，作EH//x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵2>0，∴|2|=2，
故选：D。
计算绝对值要根据绝对值的定义求解。第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号。
本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以2的绝对值是2。
2.【答案】A
【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
.
故选：C.
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4.【答案】B
【解析】解：A.a和2a2不能合并了，故本选项不符合题意；
B.a7÷a4=a3，故本选项符合题意；
C.(a−2)2=a2−4a+4，故本选项不符合题意；
D.(3b)2=9b2，故本选项不符合题意；
故选：B.
先根据合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：中位数是按从小到大排列后第5，第6两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数12×(1.60+1.60)=1.60.
故选：C.
根据中位数的定义，结合图表信息解答．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】C
【解析】解：如图：
∵CD//EF，
∴∠2+∠3=180∘，
∵∠1=∠3，
∴∠1+∠2=180∘，
∵∠1=108∘，
∴∠2=72∘，
故选：C.
根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠2+∠3=180∘，由∠1=∠3，得出∠1+∠3=180∘，即可得答案．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、了解某种灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
B、了解一批冷饮的质量是否合格，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
C、了解全国八年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
D、了解某班同学中哪个月份出生的人数最多，适宜采用全面调查方式，故此选项符合题意；
故选：D.
普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
8.【答案】B
【解析】解：设慢车的速度为xkm/h，
根据题意可列方程为：120x−1=1201.5x.
故选：B.
此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间−1=快车所用时间．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确利用等量关系列出方程是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：作DM⊥AB于M，
由题意知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，
∴CD=DM，
∵∠C=90∘，AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4，
∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积，
∴12AC⋅BC=12AC⋅CD+12AB⋅MD，
∴4×3=4CD+5CD，
∴CD=43，
∴BD=BC−CD=3−43=53.
故选：D.
由角平分线的性质定理推出CD=MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积，得到12AC⋅BC=12AC⋅CD+12AB⋅MD，因此4×3=4CD+5CD，即可求出CD的长，得到DB的长．
本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图-基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到CD=MD，由三角形面积公式得到12AC⋅BC=12AC⋅CD+12AB⋅MD.
10.【答案】A
【解析】解：作PD⊥AC于点 D，作QE⊥AB于点 E，
由题意得AP=x，AQ= 3x，
∴AD=AP⋅cs30∘= 32x，
∴AD=DQ=12AQ，
∴PD是线段AQ的垂直平分线，
∴∠PQA=∠A=30∘，
∴∠QPE=60∘，PQ=AP=x，
∴QE=12AQ= 32x，PQ=PN=MN=QM=x，
当点 M运动到直线BC上时，
此时，△BMN是等边三角形，
∴AP=PN=BN=13AB=1，x=1；
当点 Q、 N运动到与点C，B重合时，
∴AP=PN=12AB=32，x=32；
当点 P运动到与点B重合时，
∴AP=AB=3，x=3；
∴当0当1则BN=FN=FB=3−2x，FM=MS=FS=3x−3，FR= 32(3x−3)，
∴y= 32x2−12(3x−3)⋅ 32(3x−3)=−7 34x2+9 32x−9 34，
当32则BP=PH=HB=3−x，HI= 32(3−x)，
∴y=12⋅(3−x)⋅ 32(3−x)= 34x2−3 32x+9 32，
综上，y与x之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A.
先证明菱形PQMN是边长为 x，一个角为60∘的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
11.【答案】6.34×108
【解析】解：634000000=6.34×100000000=6.34×108，
故答案为：6.34×108.
将634000000写成6.34×100000000，进而写成6.34×108即可．
本题考查用科学记数法表示较大的数，将634000000写成6.34×100000000，再写成6.34×108是正确解答的关键．
12.【答案】m(m−2)2
【解析】解：m3−4m2+4m
=m(m2−4m+4)
=m(m−2)2.
故答案为：m(m−2)2.
先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】59
【解析】解：∵总面积为9个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为5个大小相等的等边三角形的面积，
∴随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为59.
故答案为：59.
根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
14.【答案】k≤−34
【解析】解：根据题意得Δ=(−1)2−4×(k+1)≥0，
解得k≤−34.
故答案为：k≤−34.
根据根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4(k+1)≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】(4,6)
【解析】解：∵四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，
∴四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，
∵点B(2,3)，
∴第一象限内点B′的坐标为(4,6).
故答案为：(4,6).
根据四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，可得四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点B′的坐标．
本题考查作图-位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】6
【解析】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC=4，
∵AC=2AO，
∴S△ADO=2，
∵AD//OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE=AC：OC=2：3，
∴S△ODE=3，
由几何意义得，|k|2=3，
∵k>0，
∴k=6，
故答案为：6.
根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC=1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k.
本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
17.【答案】35∘
【解析】解：∵AB=AC，∠B=20∘，
∴∠C=∠B=20∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=140∘，
当B′D⊥BC时，则∠CAB′=90∘−∠C=70∘，
∴∠BAB′=∠BAC−∠CAB′=70∘，
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠BAD=∠B′AD=12∠BAB′=12×70∘=35∘，
故答案为：35∘.
由AB=AC，得∠C=∠B=20∘，则∠BAC=140∘，当B′D⊥BC时，则∠CAB′=90∘−∠C=70∘，所以∠BAB′=∠BAC−∠CAB′=70∘，则∠BAD=∠B′AD=12∠BAB′=35∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠BAB′=70∘是解题的关键．
18.【答案】 3
【解析】解：连接CF，则CF=DF=EF，
∵∠EDC=90∘−∠E=60∘，
∴∠FCD=60∘.
∵∠DCB=12(180∘−120∘)=30∘，
∴∠FCB=∠FCD+∠DCB=60∘+30∘=90∘，
∴△ACF是直角三角形．
设BC=x，则AC=8−x，BC=BD=x，CD=CF= 3x，由勾股定理得：
AF= AC2+FC2= (8−x)2+( 3x)2=2 (x−2)2+12.
当x=2时，AF有最小值．
∴BC=BD=2，∠CBD=120∘，
∴S△BCD=12×2×2× 32= 3.
故答案为： 3.
连接CF，证明ACF为直角三角形，根据勾股定理列出AF2=CF2+AC2，设BC=x，则AC=8−x，建立关于x的二次函数关系式，求出x=2时，AF最小，再求出顶角是120∘的三角形BCD的面积即可．
本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120∘的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．
19.【答案】解：原式=(2x−1x−2−x−2x−2)⋅(x+2)(x−2)x+1
=x+1x−2⋅(x+2)(x−2)x+1
=x+2，
当x=3时，原式=3+2=5.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.【答案】60
【解析】(1)调查的学生共有=1830%=60(名)；
故答案为：60；
(2)C合格的人数=60−24−18−3=15(名)，
(3)1200×2460=480(名)，
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
(4)画树状图如下：
∴一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，
∴所选2人恰好是一男一女的概率为812=23.
(1)由优秀的人数除以所占百分比即可；
(2)求出C合格的人数，补全条形统计图即可；
(3)由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，
10x+15y=28006x+5y=1200，
解得：x=100y=120，
答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
(2)设需要购买m个A种礼品盒，则购买(40−m)个B种礼品盒，由题意得，
100m+120(40−m)≤4500，
解得：m≥15，
答：最少需要购买15个A种礼品盒．
【解析】(1)设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该公司需要购买m个A种礼品盒，则购买(40−m)个B种礼品盒，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．
22.【答案】解：(1)如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A=30∘，∠DBE=53∘，DF=600m，AB=300m，
在Rt△ABM中，∠A=30∘，AB=300m，
∴BM=12AB=150m=EF，
∴DE=DF−EF=600−150=450(m)，
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
(2)在Rt△BDE中，∠DBE=53∘，DE=450m，
∴BD=DEsin∠DBE
≈4500.80
=562.5(m)，
∴需要的时间t=t步行+t缆车
=30030+562.560
≈19.4(min)，
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．
【解析】(1)根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可；
(2)利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系式为y=kx+b，
把(50,90)和(60,80)代入得90=50k+b80=60k+b，
解得k=−1b=140，
∴y=−x+140；
(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，
根据题意得，w=(x−40)y=(x−40)(−x+140)=−x2+180x−5600=−(x−90)2+2500，
∴当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2500元．
【解析】(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系式为y=kx+b，把(50,90)和(60,80)代入解方程组即可得到结论；(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，
∵∠CAB=2∠EAB，
∴∠CAB=∠FOE，
又∵∠AFE=∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB+∠ABC=90∘=∠FOE+∠AFE，
∴∠OEF=90∘，
即OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE=OB=r，则OF=r+1，
∵sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，
∴r=4，
∴AB=2r=8，
在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，AB=8，
∴AC=45×8=325，
∴BC= AB2−AC2=245.
【解析】(1)根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE⊥EF即可；
(2)根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
25.【答案】(1)解：AD= 2EF，理由如下：
连接BE，如图：
∵∠ACB=90∘，CA=CB，
∴∠A=45∘，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90∘，得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90∘，
∴∠BCE=90∘−∠BCD=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠A=∠CBE=45∘，
∵直线l⊥BC，
∴∠EBF=45∘，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE= 2EF，
∴AD= 2EF；
(2)证明：如图，
∵∠ACB=90∘，CA=CB，O为AB的中点，
∴∠COB=90∘，AB= 2BC，
∵∠BFG=90∘，
∴∠G=360∘−∠COB−∠OBF−∠BFG=45∘=∠A，
∵BC⊥直线l，EF⊥直线l，
∴BC//GF，
∴∠CEG=∠BCE，
∵∠BCE=90∘−∠BCD=∠ACD，
∴∠CEG=∠ACD，
∵CE=CD，
∴△CEG≌△DCA(AAS)，
∴CG=AD，
∵AD+BD=AB，
∴CG+BD= 2BC；
(3)解：由EF：BC=1：3，设EF=m，则BC=AC=3m，
当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图：
由(2)知△CEG≌△DCA，
∴GE=AC=3m，
∵∠CBF=∠BFE=∠BCK=90∘，
∴四边形BCKF是矩形，
∴KF=BC=3m，∠CKG=90∘，
∴KE=KF−EF=2m，
∴GK=GE−KE=m，
∵∠G=45∘，
∴CK=GK=m，
∴CE2=CK2+KE2=m2+(2m)2=5m2，
∴S1=12CD⋅CE=12CE2=5m22，
∵AC=BC=3m，
∴S2=12AC⋅BC=9m22，
∴S1S2=59；
当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图：
同理可得BC=AC=EG=3m，
∴FG=EG−EF=2m，
∵TF=BC=3m，
∴TG=TF−FG=m，
∵∠ACB=90∘，CA=CB，O为AB的中点，
∴∠AOC=45∘，
∵BC//EF，
∴∠ETC=90∘，
∴CT=TG=m，
∴CE2=CT2+TE2=m2+(m+3m)2=17m2，
∴S1=17m22，
∴S1S2=179；
综上所述，S1S2的值为59或179.
【解析】(1)连接BE，由∠ACB=90∘，CA=CB，得∠A=45∘，根据线段CD绕点C逆时针旋转90∘，得到线段CE，有CD=CE，∠DCE=90∘，可得△BCE≌△ACD(SAS)，从而BE=AD，∠A=∠CBE=45∘，知△BEF是等腰直角三角形，BE= 2EF，故AD= 2EF；
(2)由∠ACB=90∘，CA=CB，O为AB的中点，得∠COB=90∘，AB= 2BC，证明△CEG≌△DCA(AAS)，得CG=AD，根据AD+BD=AB，即得CG+BD= 2BC；
(3)由EF：BC=1：3，设EF=m，则BC=AC=3m，分两种情况：当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，由△CEG≌△DCA，得GE=AC=3m，而四边形BCKF是矩形，有KF=BC=3m，∠CKG=90∘，根据勾股定理可得CE2=CK2+KE2=m2+(2m)2=5m2，故S1=12CD⋅CE=12CE2=5m22，S2=12AC⋅BC=9m22，即得S1S2=59；当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，同理可得S1S2=179.
本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点B(4,0)和C(0,4)，
∴−12×42+4b+c=0c=4
解得b=1c=4，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
(2)∵点B(4,0)和C(0,4).
设直线BC的解析式为v=kx+4，则0=4k+4，
解得k=−1.
直线BC的解析式为y=−x+4，
设E(x,−12x2+x+4)，且0GH−EF=−12x2+x+4−(−x+4)=−12x2+2x，
∴解析式的对称轴为−12×(−12)=1，
∴H(2−x,−12x2+x+4)，
∴GF−EH=x−(4−x)=2x−2，
依题意得2(−12x2+2x+2x−2)=11.
解得x=5(舍去)或x=3.
∴EH=4，
(3)令y=0，则−12x2++x+4=0，
解得x=−2或x=4.
∴A(−2,0).
同理，直线AC的解析式为y=2x+4，
∵四边形OENM是正方形，
∴OE=OM，∠EOM=90∘，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
∠OPE=∠MQO=90∘，∠OEP=90∘−∠EOP=∠MOQ.
∴△OEP≌ΔMOQ(AAS).
∴PE=OQ，PO=MQ.
设E(m,−12m2+m+4)，
∴PE=OQ=−m，PO−MQ=−12m2+m+4.
则M(12m2−m+4,m)，
∵点M在直线AC上，
∴m=2(12m2−m−4)+4.
解得m=4或m=−1
当m=4时，M(0,4)，E(4,0)，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N(4,4)：
当m=−1时，M(−52,−1)，E(−1,52)，
点O向左平移52个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移52个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
N(−1−52,52−1)，即N(−72,32).
综上，点N的坐标为(4,4)或(−72,32).
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)先求得直线BC的解析式为y=−x+4，设E(x,−12x2+x+4)，则F(x,−x+4)，利用对称性质求得H(2−x,−12x2+x+4)，推出GH−EF=−12x2+2x，GF=EH=2x−2，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
(3)先求得直线AC的解析式为y=2x+4，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，证明△OEP≌△MOQ，推出PE=0Q.PO=MQ，设E(m,−12m2+m+4)，则M(12m2−m+4,m)，由点M在直线AC上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质即可求解．
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
成绩/m
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
人数/名
1
3
2
3
1
销售单价x(元)
…
50
60
70
…
月销量y(台)
…
90
80
70
…