【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题24《函数的表示方法》讲学案

函数的表示方法

一、构成函数的三要素：

定义域、对应关系、值域

1. 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

2. 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

二、函数的表示法

1． 函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．  优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．        优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．    优点：不需计算就可看出函数值.

2． 分段函数：

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

3. 相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

三、函数的定义域、值域

1. 函数定义域的求法

(1)确定函数定义域的原则

①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。

（2）抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

2. 函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

例1：是否为同一个函数类问题

下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

【解答】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是

【解析】

(1) 的定义域不同，前者是，后者是，因此是不同的函数；

(2) ，因此的对应关系不同，是不同的函数；

(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；

(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.

例2：函数的定义域

求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)；       (2)；　　　　(3).

【解答】（1）；（2）；（3）．

【解析】

(1) 的定义域为x2-3≠0，∴定义域为；

(2) 由解得，∴定义域为；

(3) 由得，∴定义域为.

例3：函数解析式

求函数的解析式

（1）已知是二次函数，且，求；

（2）若f(2x-1)=x2，求f(x)；

（3）已知，求.

【解答】（1）；（2）；（3）．

【解析】求函数的表达式可由两种途径.

(1)设，由，得，

由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，

故所求函数的解析式为.

(2) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则，

，

（3）因为，①

用代替得，②

由①②消去，得.

例4：分段函数

如图所示，等腰梯形的两底分别为，作直线交于，交折线于.设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数.

【解答】

【解析】作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，则有

（1）当M位于点H的左侧时，，

由于

（2）当M位于点H、G之间时，由于

；

（3）当M位于点G的右侧时，

由于

综上有

巩固练习

一．单选题

1．已知函数，那么f（﹣1）＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C． D．2

2．设函数，则f（x+1）＝（　　）

A． B． C． D．

3．已知，则（　　）

A． B． C．5 D．﹣5

4．已知函数，则f（2）的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

5．在某个时期，某水域的一种外来生物总数为a个，每天以3%的增长率增长，经过30天，要估计该生物总数变为原来的多少倍？以经过时间x（天）为自变量，可得到该生物总数y关于x的函数解析式是（　　）

A．y＝a（1﹣3%）x B．y＝a（1+3%）x C．y＝a（1﹣3%）x D．y＝a（1+3%）x

6．已知函数f（x+1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝（　　）

A．x2+4x B．x2﹣4 C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣1

7．已知函数f（x+1）＝x2+2x+1，那么f（x﹣1）＝（　　）

A．x2 B．x2+1 C．x2﹣2x+1 D．x2﹣2x﹣1

8．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是f（x）＝（　　）

A． B． C． D．

二．多选题

（多选）9．已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，则x可取（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

（多选）10．下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（　　）

A．f（x）＝2|x| B．f（x）＝3x﹣|3x| C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝x+2

（多选）11．已知函数f（x）是一次函数，满足f（f（x））＝9x+8，则f（x）的解析式可能为（　　）

A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝﹣3x+4 D．f（x）＝﹣3x﹣4

（多选）12．具有性质f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是（　　）

A．f（x）＝x 

B．f（x）＝x 

C．f（x） 

D．f（x）＝x2

三．填空题

13．已知f（x﹣2）＝x2﹣4x，那么f（x）＝　   　．

14．已知函数f（x2+1）＝x4+x2+1，则f（2）＝　   　．

15．已知一等腰三角形的周长为12cm，则将该三角形的底边长y（单位：cm）表示为腰长x（单位：cm）的函数解析式为 　   　．（请注明函数的定义域）

16．设f（x）＝2x+1，g（x）＝4x2+5，则g[f（2）]＝　   　．

17．若函数f（2x+1）＝x+1，则f（1﹣x）＝　   　．

18．写出一个满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（0）＞f（3）的函数f（x）的解析式 　   　．

四．解答题

19．已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣2x+1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（a）＝﹣7，求实数a的值．

20．已知函数f（x）是二次函数，f（﹣1）＝0，f（﹣3）＝f（1）＝4．

（1）求f（x）的解析式；

（2）函数h（x）＝f（x）﹣ln（|x|+1）在R上连续不断，试探究，是否存在n（n∈Z），函数h（x）在区间（n，n+1）内存在零点，若存在，求出一个符合题意的n，若不存在，请说明由．

21．（1）已知，求；

（2）已知，求f（x）的解析式．

22．求下列函数的解析式：

（1）已知2f（x﹣1）﹣f（1﹣x）＝2x2﹣1，求二次函数f（x）的解析式；

（2）已知f（﹣1）＝x，求f（x）的解析式．

23．（1）已知，求f（x）的解析式；

（2）已知，求g（x）的解析式．

24．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x﹣2）＝x2﹣3x+3．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若{x|f（x﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝{a}，求a和b的值．