【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题03《二次根式》讲学案

专题03：二次根式

1. 二次根式的定义：一般地，形如的式子叫做二次根式.

2. 二次根式的性质

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

3. 无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如是无理式，而不是无理式.

4. 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

 方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的.

5. 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，常用的有理化因式有：

（1）与；

（2）与；

（3）与.

4. 分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化.

 方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式.

5. 二次根式的大小比较：二次根式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比较法等，其中，比较常用的是平方比较法.

6. 二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理化.

例1：二次根式的意义

已知实数满足，求的值是多少？

【解答】2019

【解析】∵二次根式有意义，

，即，

，

，

解得，

等式两边平方，整理得.

例2：二次根式的性质与化简

若实数、满足，求、之间的数量关系？

【解答】

【解析】，

，

同理可得，

①＋②可得，.

例3：分母有理化

已知，求的值.

【解答】

当时，原式.

例4：比较大小

试比较与的大小.

【解答】

【解析】

化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以.

例5：双重二次根式化简

已知，则               .

【解答】

【解析】将的左边分子有理化得，

化简得，

两式相加得，

解得，

.

巩固练习

一．选择题

1．若x2+y2＝1，则的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知x＝﹣2，x4+8x3+16x2的值为（　　）

A． B． C．3 D．9

3．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）

A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4

4．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　　）

A．0 B．1 

C．3 D．条件不足，无法计算

5．设，则S最接近的整数是（　　）

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018

6．若关于a的二次根式有意义，且a为整数，若关于x的分式方程1的解为正数，则满足条件的所有a的值的和为（　　）

A．﹣7 B．﹣10 C．﹣12 D．﹣15

二．填空题

7．已知a、b满足，则ab的值为　     　．

8．已知，则4x2+4x﹣2017＝　      　．

9．若，则a2004×b2005＝　      　．

10．已知xy＝3，那么的值是　    　．

11．当x＝，y＝时，的值为        　．

12．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

（1）当x＞0时，代数式的最小值为 　   　；

（2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD面积的最小值为 　   　．

三．解答题

13．已知，求代数式的值．

14．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．

15．已知：，求的值．

16．已知，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．

17．已知矩形的周长为cm，一边长为cm，求此矩形的另一边长和它的面积？

18．观察下列格式，，

（1）化简以上各式，并计算出结果；

（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果

（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．

19．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律，

特例1：

特例2：

特例3：

特例4：　   　．（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）观察、归纳，得出猜想．

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　   　；

（3）证明你的猜想；

（4）应用运算规律化简：　   　．

20．阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

（Ⅰ）．

以上这种化简的步骤叫作分母有理化．

（Ⅱ）还可以用以下方法化简

．

（1）请用不同的方法化简．

①参照（Ⅰ）式，化简　   　；

②参照（Ⅱ）式，化简　   　；

（2）化简：．

21．阅读材料：像＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．

在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．

例如：．

解答下列问题：

（1）与　  　互为有理化因式，将分母有理化得      　；

（2）计算：；

（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．

22．某同学在解答题目：“化简并求值，其中，”时：解答过程是：；

（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程．

（2）设（n为正整数），

考察所求式子的结构特征：

①先化简通项公式；

②求出与S最接近的整数是多少？

23. 阅读下面计算过程：；

.

请解决下列问题

（1）根据上面的规律，请直接写出＝             　．

（2）利用上面的解法，请化简：

．

（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．