【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-第02讲《因式分解》同步讲学案

第02讲：因式分解

【考点梳理】

考点一、公式法(立方和、立方差公式)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．

考点二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

考点三、十字相乘法

1．型的因式分解

 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

.

因此，.

2．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

【专题突破】

一、单选题

1．把多项式分解因式，结果是（       ）

A． B．

C． D．

2．因式分解（       ）

A． B．

C． D．

3．把多项式分解因式得结果是（       ）

A． B．

C． D．

4．下列因式分解完全正确的是

A． B．

C． D．

5．下列各式运算正确的是

A．

B．

C．

D．

6．阅读材料：

对于多项式可以直接用公式法分解为的形式.但对于多项式就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在中先加上一项，再减去这项，使整个式子的值不变.

解题过程如下：

（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）

根据上述材料，回答问题.

上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（       ）

A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法

7．把分解因式，结果正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8．下列分解不正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

9．二次三项式分解因式为，则，的值分别为（       ）

A．， B．， C．， D．，

10．多项式因式分解的结果是（　　）.

A．  B．

C． D．

11．若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为（       ）

A．20 B．-20 C．13 D．-13

12．下列分解因式错误的是（       ）

A．a-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4m+4m=(1-2m)

C．-4x+y=-(2x+y)(2x-y) D．3ab+ab+9=(3+ab)

13．多项式可分解为，则的值分别为（     ）

A．和 B．和 C．和 D．和

14．已知正数m，满足m4﹣7m2+1＝0，则m+的值为（　　）

A．2 B． C． D．3

15．的值最接近（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

16．因式分解：_______.

17．因式分解________

18．因式分解______.

19．已知为实数，且，则的值是________.

20．分解因式： _________.

21．因式分解________.

三、解答题

22．分解因式

（1）                 

（2）            

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

23．因式分解：

（1）；

（2）.

24．分解因式

（1）                    

（2）               

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

25．选用适当的方法分解因式

（1）       

（2）                 

（3）

26．分解因式：

(1)(y﹣1)2﹣10(y﹣1)+25；                  

(2)(x+2)(x+4)+1；

(3)x4﹣18x2y2+81y4；                                 

(4)(y2﹣1)2﹣6(y2﹣1)+9；

(5)2a3b﹣4a2b2+2ab3；                            

(6)(m2﹣4m)2+8(m2﹣4m)+16．

27．把下列各式分解因式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

28．选用适当的方法分解因式

（1）；        

（2）.

参考答案：

1．B

【解析】

先利用分组分解法得，再利用平方差公式分解因式即可

【详解】

解：，

故选：B

2．A

【解析】

【分析】

利用平方差公式以及提公因式法化简可得结果.

【详解】

.

故选：A.

【点睛】

本题考查多项式的因式分解，考查平方差公式以及提公因式法的应用，考查计算能力，属于基础题.

3．C

【解析】

提取公因式，再由完全平方可得解.

【详解】

.

故选：C.

4．D

【解析】

【分析】

将选项右边表达式展开，由此判断选项是否正确.

【详解】

对于A选项，右边左边，所以A不正确.

对于B选项，右边左边，所以B选项不正确.

对于C选项，右边左边，所以C选项不正确.

对于D选项，右边=左边，所以D选项正确.

故选D.

【点睛】

本小题主要考查判断因式分解的结果是否正确，属于基础题.

5．C

【解析】

【分析】

利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判断出正确选项.

【详解】

对于A选项，右边左边，故A选项错误.

对于B选项，右边左边，故B选项错误.

对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确.

对于D选项，根据立方差公式可知，正确的运算是，故D选项错误.

故选C.

【点睛】

本小题主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，属于基础题.

6．C

【解析】

【分析】

根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项.

【详解】

由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.

故选C.

【点睛】

本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题.

7．D

【解析】

【分析】

提公因式，再利用完全平方公式，即得解

【详解】

由题意，

故选：D

8．B

【解析】

利用完全平方公式，对选项进行验证，即可得答案；

【详解】

完成平方公式的运用：，

，

，

故选：B.

【点睛】

本题考查完全平方公式的运用，属于基础题.

9．D

【解析】

【分析】

利用多项式乘法运算法则去括号合并同类项得出即可.

【详解】

解:,

,.

故选:D

【点睛】

此题主要考查了多项式乘法以及合并同类项,正确运用多项式乘法法则是解,也可用一元二次方程的根的关系来解.

10．D

【解析】

【分析】

提公因式再利用平方差公式即可得到答案.

【详解】

故选：D.

11．B

【解析】

依题意设，再根据多项式相等得到方程组，解得即可；

【详解】

解：设

所以

所以，解得

故选：B

12．B

【解析】

根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误.

【详解】

A选项根据十字相乘分解因式可知正确；

B选项中的1+4m-4m=(1-2m)，左右两边不相等，所以B是错的；

C选项根据平方差公式可知正确；

D选项根据完全平方公式可知正确.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题.

13．B

【解析】

【分析】

首先根据题意得到，即可得到答案.

【详解】

由题知：，

所以，解得.

故选：B

【点睛】

本题主要考查整式的运算，属于简单题.

14．D

【解析】

【分析】

已知等式整理后，求出m2+的值，利用完全平方公式及平方根定义求出所求即可．

【详解】

解：已知等式整理得：m2+＝7，

∴m2++2＝9，即（m+）2＝9，

∵m＞0，

∴m+＝3，

故选：D．

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，灵活意义完全平方公式是解本题的关键．

15．B

【解析】

【分析】

首先根据立方和、立方差公式得到，再将分式化简即可得到答案.

【详解】

由立方和、立方差公式得：

，

.

所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查立方和、立方差公式，熟记公式为解题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

16．

【解析】

先由完全平方公式得，再由平方差公式化简可得.

【详解】

.

故答案为：

17．

【解析】

【分析】

将看做一个整体，利用十字相乘法化为乘积的形式；再次利用十字相乘法可得到结果.

【详解】

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用十字相乘法进行因式分解的问题，属于基础题.

18．

【解析】

【分析】

解：

故答案为：

【详解】

本题考查分组分解法因式分解，属于基础题.

19．

【解析】

【分析】

计算，再根据，带入数据计算得到答案.

【详解】

，故，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了代数式的运算，属于简单题.

20．

【解析】

【分析】

前三项用十字相乘法分解因式，后两项提公因数，在对其提公因式得答案.

【详解】

利用分组分解法（前三项与后两组）

故答案为：

【点睛】

本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题.

21．

【解析】

【分析】

先设,则原式可变形为,将其分解后，再代入后再将每一个因式分解，可得答案..

【详解】

设,则原式可化为:，而，

所以，

而，，

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查运用换元法,即把某个式子看作一个整体,用一个字母去代替它,实行等量替换进行因式分解，注意在分解后一定要再每一个因式能否再分解，分解到不能再分解为止，属于中档题.

22．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.

【解析】

【分析】

十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

【详解】

（1）

当24分成时，有符合要求，

（2）

当36分成时，有符合要求，

（3）

当分成时，有符合要求，

（4）

当分成时，有符合要求，

（5）

当分成时，有符合要求，

（6）

当分成时，有符合要求，

（7）

当分成时，有符合要求，

（8）

当分成时，有符合要求，

【点睛】

本题考查用十字相乘法来分解因式.

十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

23．（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)根据十字相乘法分解因式即可;

(2)将看作整体，利用十字相乘法分解即可.

【详解】

解：（1）；

（2）

.

24．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.

【解析】

【分析】

（1）~（6）、（8）运用十字相乘法进行因式分解；

（7）运用提公因式法和十字相乘法进行因式分解；

（9）运用换元法、十字相乘法、公式法进行因式分解.

【详解】

（1）；                    

（2）；            

（3）

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）令，所以有

【点睛】

本题考查了用十字相乘法、换元法、公式法、提公因式法进行因式分解，考查了代数式恒等变形能力.

25．（1）；（2）；

（3）.

【解析】

【分析】

（1）运用提公因式法，结合换元法、十字相乘法进行因式分解即可；

（2）运用提公因式法，结合换元法、十字相乘法进行因式分解即可；

（3）运用提公因式法，结合换元法、十字相乘法、公式法进行因式分解即可.

【详解】

（1）原式=

=

设，则

∴原式=

=

=

=

=

（2）解：原式==

设，则

∴原式=

=

=

=

=

（3）解：原式=

=

设，则

∴原式=

=

=

=

=

【点睛】

本题考查了应用提公因式法、换元法、十字相乘法进行因式分解，考查了数学运算能力.

26．(1)(y﹣6)2；(2)(x+3)2；(3)(x﹣3y)2(x+3y)2；(4)(y+2)2(y﹣2)2；(5)2ab(a﹣b)2；(6)(m﹣2)4.

【解析】

【分析】

(1)原式利用完全平方公式分解即可；

(2)原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后利用完全平方公式分解即可；

(3)根据完全平方公式和平方差公式因式分解；

(4)利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行二次分解即可；

(5)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(6)直接利用完全平方公式分解因式得出答案．

【详解】

解：(1)原式＝(y﹣1﹣5)2＝(y﹣6)2；

(2)原式＝x2+6x+8+1＝(x+3)2；

(3)原式＝(x2﹣9y2)2＝(x﹣3y)2(x+3y)2；

(4)原式＝(y2﹣1﹣3)2＝(y2﹣4)2＝(y+2)2(y﹣2)2；

(5)原式＝2ab(a2﹣2ab+b2)＝2ab(a﹣b)2；

(6)原式＝(m2﹣4m+4)2＝(m﹣2)4．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

27．(1)；

(2)；

(3)；

(4)

【解析】

【分析】

(1)先分组，再提取公因式；

(2) 先分组，再提取公因式；

(3) 先配方，再根据平方差公式分解因式；

(4) 先提取，再重新分组，最后提取公因式.

【详解】

(1) ；

(2)；

(3)；

(4)

【点睛】

本题考查因式分解以及完全平方公式、平方差公式，考查基本分析化简能力，属基础题.

28．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由于，

所以设，求出即可；

（2）和（1）一样利用待定系数分解因式

【详解】

解：（1）因为，

所以设，

因为，

所以，解得，

所以=，

（2）由于，

所以设，

因为，

所以，

解得，

所以=