【暑假提升】苏科版数学八年级（八升九）暑假-第05讲《确定圆的条件》预习讲学案

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第05讲 确定圆的条件
【学习目标】
1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，
2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
【基础知识】
一．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
二．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【考点剖析】
一．确定圆的条件（共5小题）
1．（2022•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（　　）
A．圆心与半径 B．直径
C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可．
【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D．
【点评】本题主要考查了确定圆的条件，属于基础题型．注意分类讨论的思想的运用．
2．（2021秋•东光县期中）经过两点可以做 　无数个　个圆，不在同一直线的 　三　个点可以确定一个圆．
【分析】经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆．
【解答】解：经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆．
故答案为：无数个，三．
【点评】本题考查了确定圆的条件及确定直线的条件，属于基础题，比较简单．
3．（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）

A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
4．（2022•江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　）

A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA＝PC列出关于y的方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得，
，
解得，y，
故选：C．

【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．
5．（2021秋•潜山市期末）在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　（2，0）　．
【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．
【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．
二．三角形的外接圆与外心（共7小题）
6．（2022•富阳区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（　　）

A．三条高线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三角形三内角角平分线的交点
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确把握外心的定义是解题关键．
7．（2021秋•兴化市期末）已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】设正△ABC的中心为O，过O点作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，把问题转化到Rt△OBD中求OB即可．
【解答】解：如图，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BDBC12＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OB．
故选：D．

【点评】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
8．（2022•邯山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　）

A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
【分析】设C（m，n），利用直角三角形的外心为斜边的中点，根据线段的中点坐标公式得到﹣1，1，求出m、n得到点C的坐标为（﹣5，﹣2），由于AB⊥x轴，BC∥x轴，从而得到B点坐标．
【解答】解：∵M为Rt△ABC的外心，
∴M点为AC的中点，
设C（m，n），
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
∴﹣1，1，
解得m＝﹣5，n＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣5，﹣2），
∵∠ABC＝90°，AB⊥x轴，
∴BC∥x轴，
∴B点坐标为（3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．也考查了坐标与图形性质．
9．（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．

【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面积＝3S△OBC，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，

则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，
∴ODOBr，
∴BDr，
∴BC＝2BDr，
即正三角形ABC边长为r．
∴正三角形ABC周长为．
∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3BC×OD＝3rr．
∴正三角形ABC面积为．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4
【分析】连接OA，OB，可得∠AOB＝90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，

∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
即⊙O的半径是3，
故选：C．
【点评】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB＝90°．
11．（2022•福州模拟）如图，△ABC内接于⊙O；∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若⊙O的半径为6，求OD的长．

【分析】先证△BOC是等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接OB，OC，

∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ODB中，OD3．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握圆周角定理是解题的关键．
12．（2021秋•海淀区期末）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DCBC8＝4，
在Rt△ODB中，OD3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC8×8＝32．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•西林县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆．
【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆的确定，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
2．（2021秋•闵行区校级期中）下列说法正确的个数有（　　）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及确定圆的条件进行逐个判断即可．
【解答】解：①平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；
②在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；
③等弧所对的圆心角相等，说法正确；
④过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误．
综上所述，正确的说法有1个．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及确定圆的条件，在解答此类问题时要注意只有在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦、弦心距都分别相等．
3．（2021秋•泗阳县期末）下列说法正确的是（　　）
A．一个三角形只有一个外接圆
B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可．
【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；
B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；
C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．
4．（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（　　）

A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．

∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
5．（2021秋•江北区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D为AB的中点，动点E、F分别在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圆⊙O，交AC于点G、H．当动点E从点D向点A运动时，线段GH长度的变化情况为（　　）

A．一直不变 B．一直变大
C．先变小再变大 D．先变大再变小
【分析】由等腰三角形的性质可求ON＝1，FO＝OB＝GO＝OH＝2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH＝2，即可求解．
【解答】解：如图，连接BO，EO，FO，GO，HO，过点O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∵OE＝OF，ON⊥EF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EN＝FN，
∴OF＝2ON，FNON，
∴ON＝1，FO＝2，
∴OB＝GO＝OH＝2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∵OG＝OH，OP⊥GH，
∴GH＝2PH，
∵PH，
∴GH＝2，
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴GH的长度是先变大再变小，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2022春•重庆期中）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 　4.8　．

【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．
【解答】解：当MP⊥AB时，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB•MP＝AM•BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．
7．（2021秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　（2，1）　．

【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，

∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．
三．解答题（共4小题）
8．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．
（I）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BD，OI⊥AD于I，求CD的长．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABI＝∠CBI，由等腰三角形的性质得到∠EBI＝∠EIB，通过三角形外角的性质和圆周角定理即可得到结论；
（2）由AB是⊙O的直径，得到AE⊥BE，推出OI∥BE，根据三角形的中位线的性质得到AI＝IE＝BE，推出AE＝2BE，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝2，DE＝1，AE＝4，AD＝3，由于△ACD∽△BDE，得到2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵IB平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI，
∵EB＝EI，
∴∠EBI＝∠EIB，
∵∠EBI＝∠BAI+∠IBA，∠EBI＝∠IBC+∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，
∵OI⊥AE，
∴OI∥BE，
∵AO＝BO，
∴AI＝IE＝BE，
∴AE＝2BE，
∵∠EBC＝∠BAE，
∴△BDE∽△ABE，
∴，
∵BD，
∴BE＝2，DE＝1，
∴AE＝4，∴AD＝3，
∵△ACD∽△BDE，
∴2，
∴CD2+AC2＝AD2，
即CD2+（2CD）2＝9，
∴CD．

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能正确作出辅助线并求出AE＝2BE是解此题的关键，有一定的难度．
9．（2022春•诸暨市校级月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．

【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；
（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）连接OB，
由勾股定理得：OB，
∴外接圆⊙O的面积为：π×（）2＝10π．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键．
10．（2021秋•曹县期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，圆心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．

【分析】连接OB，根据垂径定理首先求得BD的长，根据勾股定理求得AD的长，可以设出圆的半径，在直角三角形OBD中，利用勾股定理即可列方程求得半径．
【解答】解：如图，连接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BDBC＝6，
在Rt△ABD中，AD8．
设圆的半径是R．
则OD＝8﹣R．
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2＝36+（8﹣R）2，
解得：R．
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理以及勾股定理，关键是根据勾股定理转化成方程问题．
11．（2022春•鼓楼区校级期中）已知：锐角三角形ABC内接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、AE交于点F．

（1）如图1，若⊙O直径为17，AC＝15，求BF的长；
（2）如图2，连接OA，若OA＝FA，AC＝BF，求∠OAD的大小．
【分析】（1）如图1中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM．利用勾股定理求出AM，证明四边形AMBF是平行四边形即可解决问题．
（2）如图2中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM，设AD交CM于J．证明AO⊥CM．推出∠OAD＝∠BCM，解直角三角形求出∠BCM即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM．

∵CM是直径，
∴∠CAM＝∠CBM＝90°，
∵CM＝17，AC＝15，
∴AM8，
∵AD⊥CB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠MBC＝90°，∠BEC＝∠MAC＝90°，
∴AD∥BM，AM∥BE，
∴四边形AMBF是平行四边形，
∴BF＝AM＝8；
（2）如图2中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM，设AD交CM于J．

由（1）可知四边形AMBF是平行四边形，
∴AM＝BF，AF＝BM
∵AC＝BF，
∴AC＝AM，
∵∠MAC＝90°，MO＝OC，
∴AO⊥CM，
∵AD⊥BC，
∴∠AOJ＝∠CDJ＝90°，
∵∠AJO＝∠CJD，
∴∠DCJ＝∠JAO，
∵AF＝OA，AF＝BM，
∴OA＝BM，
∴CM＝2BM，
∵∠CBM＝90°，
∴sin∠BCM，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OAD＝∠BCM＝30°．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．