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【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第16讲《用频率估计概率 概率的简单应用》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第16讲《用频率估计概率 概率的简单应用》预习讲学案，文件包含第16讲用频率估计概率概率的简单应用解析版docx、第16讲用频率估计概率概率的简单应用原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。
第16讲 用频率估计概率 概率的简单应用
一、频率与概率
1.定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：
（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
例1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
例2．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据概率的求法，在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，列式求解即可．
∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，
∴摸到白球的概率为，
∴摸到白球的频率为：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．
例3．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况：
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0.923
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【答案】C
略
例4．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长，宽．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
长方形宣传海报的面积为．∵豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右，∴“节约用水 从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的20%．∴海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积约为．
例5．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】A
【解析】
设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得＝30%，解方程即可求解．
设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝30%，
解得：x＝21，
经检验：x＝21是分式方程的解，
∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，
故选A．
【点睛】
本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=是解决问题的关键．
例6．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【解析】
由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．
由题意可得，
解得．
经检验：a=20是原方程的根且符合题意
故选B．
【点睛】
本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键
例7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【解析】
解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
一、单选题
1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
【答案】A
【解析】
【分析】
根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．
A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；
B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；
C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误；
D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．
2．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是( )
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近
【答案】D
【解析】
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近．
故选：D．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.3，进而可估计摸到黄球的概率．
∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，
∴估计摸到黄球的概率为0.3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
5．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．
设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．
6．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
7．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可
解：大正方形的面积为：，
阴影部分的小正方形的面积为：，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
8．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x，
故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为=．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据：
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.70
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
并得出了四个结论，其中正确的是（ ）A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6
B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6
C．当试验次数为2000时，摸到白球的次数一定等于1200
D．这个盒子中的白球定有28个
【答案】B
【解析】
【分析】
观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．
解：A. 试验1500次摸到白球的频率不一定比试验800次的更接近0.6，故不正确；
B. 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故正确；
C. 当试验次数为2000时，摸到白球的次数不一定等于1200，故不正确；
D. 这个盒子中的白球定估计有40×0.6=24个，故不正确；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：
投石子的总次数
次
次
次
次
石子落在空白区域内的次数
次
次
次
次
石子落在空白区域内的频率
依此估计空白比分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积.
由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的，
∴空白部分的面积=，
故选D.
【点睛】
此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.
二、填空题
11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是___________．
【答案】0.32
【解析】
【分析】
由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可．
解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．
故答案为：0.32．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
【答案】4
【解析】
【分析】
首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，
∴摸到红球的频率=，
∵袋子中共有20个小球，
∴这个袋中红球约有个，
故答案为4．
【点睛】
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为___________cm2．
【答案】3
【解析】
【分析】
求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，计算即可．
解：正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，
∴黑色部分的面积约为：4×75%=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为区域（画线部分），区域外的部分记为区域，数字1表示在区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率区域______区域（填“”“”“”）.
【答案】=
【解析】
【分析】
分别求出A区域踩到地雷的概率和B区域踩到地雷的概率即可.
∵A区域踩到地雷的概率为，B区域踩到地雷的概率为，∴第二步踩到地雷的概率区域和区域是相等的.故填=.
【点睛】
本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键．
15．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可．
根据题意列式：，
解得，则布袋中白球的个数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．
16．小慧在一次用“频率估计概率”的试验中，把“学生知耻处，方知艺不精”中的每个汉字分别写在十张完全相同的卡片上，然后把卡片的背面朝上，随机抽取一张后统计某一个汉字被抽到的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的汉字是______．
【答案】知
【解析】
【分析】
利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为，总共有十个汉字，可得此汉字的个数为2，即可求解．
解：利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为，
在“学生知耻处，方知艺不精”中总共有十个汉字，
可得此汉字的个数为2，
从而得到此汉字为知，
故答案为：知
【点睛】
此题考查了利用“频率估计概率”，解题的关键是理解题意，正确求得抽的此汉字的概率．
17．一名男生投实心球，已知球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为
y=﹣（x﹣2）2+，那么该男生此次投实心球的成绩是__．
水平距离（米）
8.50以上
8.49﹣8.00
7.99﹣7.50
7.49﹣7.00
69.00-6.50
6.49﹣6.00
5.9﹣5.60
5.5﹣5.20
5.1﹣4.80
4.79以下
得分
10分
9分
8分
7分
6分
5分
4分
3分
2分
1分
【答案】6分
【解析】
解：当y=0时，计算得出：x1=6.5，x2=-2.5（舍去），由表可以知道当水平距离x=6.5米时，该男生此次投实心球的成绩是6分.
18．定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
按照定义将数据依次代入进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.
当n=0时，，不是连加进位数，
当n=1时，，不是连加进位数，
当n=2时，，不是连加进位数，
当n=3时，，是连加进位数，
故0到9中，0、1、2不是连加进位数；
当n=10时，，不是连加进位数，
当n=11时，，不是连加进位数，
当n=12时，，不是连加进位数，
当n=13时，，是连加进位数，
故10到19中，10、11、12不是连加进位数；
以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个，
故取到“连加进位数”的概率是.
【点睛】
本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键.
三、解答题
19．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种植数（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
(1)估计该麦种的发芽概率．
(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？
【答案】(1)该麦种的发芽概率约为95%；
(2)约需麦种790千克
【解析】
【分析】
（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；
（2）设约需麦种x千克，根据x千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可
(1)
解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%，
故该麦种的发芽概率约为95%；
(2)
解：设约需麦种x千克，
x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，
化简得15200x=12000000，
解得x=789，
答：约需麦种790千克
【点睛】
本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．
20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．
摸球实验次数n
10
100
150
200
500
…
摸到白球的频数m
2
22
31
39
101
…
摸到白球的频率p
0.200
0.220
0.207
0.195
0.202
…
(1)观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为______．
(2)请你估计盒子里白球个数．
(3)若往盒子中同时放入x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y与x之间的函数关系式．
【答案】(1)0.2
(2)1个
(3)
【解析】
【分析】
（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，所以n很大时摸到白球的概率将会接近0.2；
（2）设盒子里白球有m个，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（3）根据等可能事件概率的计算方法，得到等式，化简后即可得答案．
(1)
观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，
摸到白球的频率为0.2
(2)
设盒子里白球有m个，根据题意得，
解得m=1．
答:盒子里白球有1个．
(3)
解：由题意得：．
化简整理得：．
∴y与x之间的函数关系式为：．（x为正整数）
【点睛】
本题考查用频率估计概率，理解概率的意义，能根据事件发生的频率来估计该事件的概率是解题的关键.
21．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数
500
1000
1500
2500
3000
4000
5000
10000
“正面朝上”的次数
265
512
793
1306
1558
2083
2598
5204
“正面朝上”的频率
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是， 所以“正面朝上”的概率是；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；
其中推断合理的序号是________．
【答案】(1)，
(2)②③
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；
（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．
(1)
抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是；
若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：
共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，
则两枚硬币都是正面朝上的概率是；
故答案为：，；
(2)
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；
其中推断合理的序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
22．童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．
(1)求第一位挑战的伟芳同学选取图片C的概率．
(2)童老师点击图片C，显示如下问题：自由转动如图2所示的三色转盘一次，求事件“指针落在红色区域”的概率．伟芳同学思考后回答说“该事件的概率是”．你同意伟芳同学的回答吗？若不同意，请写出你的正确答案，并说明理由．
(3)请你根据上述情境，编写一道与“简单事件的概率”这节内容相关的数学题，并写出参考答案．
【答案】(1)伟芳同学选取图片C的概率是；
(2)不同意，正确答案是
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）指针落在红色区域的概率=指针落在红色区域的面积：总面积，据此即可解答；
（3）设计一个游戏公平性的问题：首先确定出事件发生的所有情况，分别算出甲胜和乙获胜发生的概率，比较概率的大小，即可判定游戏的公平性，如不公平，设计出两人发生的概率相同就可解决问题．
(1)
解：A，B，C，D四张图片中随机选取一张，伟芳同学选取图片C的概率是；
答：伟芳同学选取图片C的概率是；
(2)
解：不同意，理由如下：
∵指针落在红色区域的面积为圆面积的，
∴指针落在红色区域的概率是；
答：不同意，正确答案是；
(3)
问题：你如果利用如图2所示的三色转盘来做游戏，规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色区域则乙获胜，你认为对双方公平吗？若认为公平，请简要说明理由； 若认为不公平，请提出公平合理的方案．
解：不公平，理由如下：
因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色区域的概率是；
所以游戏不公平．
建议：规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色或黄色区域则乙获胜，
因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色或黄色区域的概率也是；
概率相等，所以游戏公平．
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
23．九年级民乐、足球、篮球拓展课深受同学们的喜爱．这3个课程报名情况如下（每人限报一个课程）：民乐有30人参加，足球有22人参加，篮球有12人参加．回答下列问题：
（1）若从3个课程中随机抽取一位学生，则抽到哪个课程学生的可能性最大？哪个课程学生的可能性最小？
（2）若篮球课程还有一个名额，小王、小李都想参加，决定采取抛硬币的方法来确定．具体规则是：“每人各抛掷两次，两次均正面向上，则小王参加，否则，小李参加”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）抽到民乐课程学生的可能性最大；抽到篮球课程学生的可能性最小；（2）不公平，理由见详解．
【解析】
【分析】
（1）分别求出三个课程随机抽取一位学生的概率，然后进行比较，即可得到答案；
（2）根据题意，列出树状图，然后求出小王参加篮球社团的概率，以及小李参加篮球社团的概率，再进行比较，即可得到答案．
解：（1）根据题意，
抽到民乐的概率为：；
抽到足球的概率为：；
抽到篮球的概率为：；
∵，
∴抽到民乐课程学生的可能性最大；
抽到篮球课程学生的可能性最小；
（2）不公平；理由如下：
根据题意，画出树状图如下：
∴小王参加篮球社团的概率为：；
小李参加篮球社团的概率为：；
∵；
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】
本题考查了列表法或画树状图法求概率，以及游戏的公平性：游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.
第一局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
【答案】（1）见解析，（2）甲在这次比赛中获胜．见解析．
【解析】
【分析】
（1）因为总共有8次投球的机会，且投球次数越多，得分越低，可以设计计分为1次投中得8分，两次投中得7分，依次下降1分即可；
（2）根据（1）的计分方案，可以分别计算甲、乙的得分，进行比较．
(1)计分方案如下表：
n(次)
1
2
3
4
5
6
7
8
M(分)
8
7
6
5
4
3
2
1
(2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得4+0+5+1+8+6=24分，
乙共得1+7+5+7+3+0=23分，
所以甲在这次比赛中获胜．
【点睛】
此题要能够根据规则合理设计得分，根据实际设计的方案进行正确计算．
25．我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
【答案】（1）共6种可能；（2）小王的方案乘坐优等车的可能性大．
【解析】
【分析】
（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏；
（2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格．
解：(1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能.
(2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
顺序
优，中，差
优，差，中
中，优，差
中，差，优
差，优，中
差，中，优
小张
优
优
中
中
差
差
小王
差
中
优
优
优
中
由表格可知：
小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是.
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.
第16讲 用频率估计概率 概率的简单应用
一、频率与概率
1.定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：
（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
例1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
例2．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据概率的求法，在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，列式求解即可．
∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，
∴摸到白球的概率为，
∴摸到白球的频率为：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．
例3．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况：
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0.923
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【答案】C
略
例4．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长，宽．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
长方形宣传海报的面积为．∵豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右，∴“节约用水 从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的20%．∴海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积约为．
例5．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】A
【解析】
设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得＝30%，解方程即可求解．
设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝30%，
解得：x＝21，
经检验：x＝21是分式方程的解，
∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，
故选A．
【点睛】
本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=是解决问题的关键．
例6．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【解析】
由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．
由题意可得，
解得．
经检验：a=20是原方程的根且符合题意
故选B．
【点睛】
本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键
例7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【解析】
解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
一、单选题
1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
【答案】A
【解析】
【分析】
根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．
A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；
B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；
C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误；
D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．
2．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是( )
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近
【答案】D
【解析】
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近．
故选：D．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.3，进而可估计摸到黄球的概率．
∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，
∴估计摸到黄球的概率为0.3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
5．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．
设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．
6．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
7．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可
解：大正方形的面积为：，
阴影部分的小正方形的面积为：，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
8．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x，
故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为=．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据：
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.70
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
并得出了四个结论，其中正确的是（ ）A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6
B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6
C．当试验次数为2000时，摸到白球的次数一定等于1200
D．这个盒子中的白球定有28个
【答案】B
【解析】
【分析】
观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．
解：A. 试验1500次摸到白球的频率不一定比试验800次的更接近0.6，故不正确；
B. 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故正确；
C. 当试验次数为2000时，摸到白球的次数不一定等于1200，故不正确；
D. 这个盒子中的白球定估计有40×0.6=24个，故不正确；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：
投石子的总次数
次
次
次
次
石子落在空白区域内的次数
次
次
次
次
石子落在空白区域内的频率
依此估计空白比分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积.
由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的，
∴空白部分的面积=，
故选D.
【点睛】
此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.
二、填空题
11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是___________．
【答案】0.32
【解析】
【分析】
由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可．
解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．
故答案为：0.32．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
【答案】4
【解析】
【分析】
首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，
∴摸到红球的频率=，
∵袋子中共有20个小球，
∴这个袋中红球约有个，
故答案为4．
【点睛】
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为___________cm2．
【答案】3
【解析】
【分析】
求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，计算即可．
解：正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，
∴黑色部分的面积约为：4×75%=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为区域（画线部分），区域外的部分记为区域，数字1表示在区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率区域______区域（填“”“”“”）.
【答案】=
【解析】
【分析】
分别求出A区域踩到地雷的概率和B区域踩到地雷的概率即可.
∵A区域踩到地雷的概率为，B区域踩到地雷的概率为，∴第二步踩到地雷的概率区域和区域是相等的.故填=.
【点睛】
本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键．
15．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可．
根据题意列式：，
解得，则布袋中白球的个数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．
16．小慧在一次用“频率估计概率”的试验中，把“学生知耻处，方知艺不精”中的每个汉字分别写在十张完全相同的卡片上，然后把卡片的背面朝上，随机抽取一张后统计某一个汉字被抽到的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的汉字是______．
【答案】知
【解析】
【分析】
利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为，总共有十个汉字，可得此汉字的个数为2，即可求解．
解：利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为，
在“学生知耻处，方知艺不精”中总共有十个汉字，
可得此汉字的个数为2，
从而得到此汉字为知，
故答案为：知
【点睛】
此题考查了利用“频率估计概率”，解题的关键是理解题意，正确求得抽的此汉字的概率．
17．一名男生投实心球，已知球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为
y=﹣（x﹣2）2+，那么该男生此次投实心球的成绩是__．
水平距离（米）
8.50以上
8.49﹣8.00
7.99﹣7.50
7.49﹣7.00
69.00-6.50
6.49﹣6.00
5.9﹣5.60
5.5﹣5.20
5.1﹣4.80
4.79以下
得分
10分
9分
8分
7分
6分
5分
4分
3分
2分
1分
【答案】6分
【解析】
解：当y=0时，计算得出：x1=6.5，x2=-2.5（舍去），由表可以知道当水平距离x=6.5米时，该男生此次投实心球的成绩是6分.
18．定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
按照定义将数据依次代入进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.
当n=0时，，不是连加进位数，
当n=1时，，不是连加进位数，
当n=2时，，不是连加进位数，
当n=3时，，是连加进位数，
故0到9中，0、1、2不是连加进位数；
当n=10时，，不是连加进位数，
当n=11时，，不是连加进位数，
当n=12时，，不是连加进位数，
当n=13时，，是连加进位数，
故10到19中，10、11、12不是连加进位数；
以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个，
故取到“连加进位数”的概率是.
【点睛】
本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键.
三、解答题
19．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种植数（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
(1)估计该麦种的发芽概率．
(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？
【答案】(1)该麦种的发芽概率约为95%；
(2)约需麦种790千克
【解析】
【分析】
（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；
（2）设约需麦种x千克，根据x千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可
(1)
解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%，
故该麦种的发芽概率约为95%；
(2)
解：设约需麦种x千克，
x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，
化简得15200x=12000000，
解得x=789，
答：约需麦种790千克
【点睛】
本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．
20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．
摸球实验次数n
10
100
150
200
500
…
摸到白球的频数m
2
22
31
39
101
…
摸到白球的频率p
0.200
0.220
0.207
0.195
0.202
…
(1)观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为______．
(2)请你估计盒子里白球个数．
(3)若往盒子中同时放入x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y与x之间的函数关系式．
【答案】(1)0.2
(2)1个
(3)
【解析】
【分析】
（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，所以n很大时摸到白球的概率将会接近0.2；
（2）设盒子里白球有m个，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（3）根据等可能事件概率的计算方法，得到等式，化简后即可得答案．
(1)
观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，
摸到白球的频率为0.2
(2)
设盒子里白球有m个，根据题意得，
解得m=1．
答:盒子里白球有1个．
(3)
解：由题意得：．
化简整理得：．
∴y与x之间的函数关系式为：．（x为正整数）
【点睛】
本题考查用频率估计概率，理解概率的意义，能根据事件发生的频率来估计该事件的概率是解题的关键.
21．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数
500
1000
1500
2500
3000
4000
5000
10000
“正面朝上”的次数
265
512
793
1306
1558
2083
2598
5204
“正面朝上”的频率
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是， 所以“正面朝上”的概率是；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；
其中推断合理的序号是________．
【答案】(1)，
(2)②③
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；
（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．
(1)
抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是；
若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：
共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，
则两枚硬币都是正面朝上的概率是；
故答案为：，；
(2)
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；
其中推断合理的序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
22．童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．
(1)求第一位挑战的伟芳同学选取图片C的概率．
(2)童老师点击图片C，显示如下问题：自由转动如图2所示的三色转盘一次，求事件“指针落在红色区域”的概率．伟芳同学思考后回答说“该事件的概率是”．你同意伟芳同学的回答吗？若不同意，请写出你的正确答案，并说明理由．
(3)请你根据上述情境，编写一道与“简单事件的概率”这节内容相关的数学题，并写出参考答案．
【答案】(1)伟芳同学选取图片C的概率是；
(2)不同意，正确答案是
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）指针落在红色区域的概率=指针落在红色区域的面积：总面积，据此即可解答；
（3）设计一个游戏公平性的问题：首先确定出事件发生的所有情况，分别算出甲胜和乙获胜发生的概率，比较概率的大小，即可判定游戏的公平性，如不公平，设计出两人发生的概率相同就可解决问题．
(1)
解：A，B，C，D四张图片中随机选取一张，伟芳同学选取图片C的概率是；
答：伟芳同学选取图片C的概率是；
(2)
解：不同意，理由如下：
∵指针落在红色区域的面积为圆面积的，
∴指针落在红色区域的概率是；
答：不同意，正确答案是；
(3)
问题：你如果利用如图2所示的三色转盘来做游戏，规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色区域则乙获胜，你认为对双方公平吗？若认为公平，请简要说明理由； 若认为不公平，请提出公平合理的方案．
解：不公平，理由如下：
因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色区域的概率是；
所以游戏不公平．
建议：规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色或黄色区域则乙获胜，
因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色或黄色区域的概率也是；
概率相等，所以游戏公平．
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
23．九年级民乐、足球、篮球拓展课深受同学们的喜爱．这3个课程报名情况如下（每人限报一个课程）：民乐有30人参加，足球有22人参加，篮球有12人参加．回答下列问题：
（1）若从3个课程中随机抽取一位学生，则抽到哪个课程学生的可能性最大？哪个课程学生的可能性最小？
（2）若篮球课程还有一个名额，小王、小李都想参加，决定采取抛硬币的方法来确定．具体规则是：“每人各抛掷两次，两次均正面向上，则小王参加，否则，小李参加”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）抽到民乐课程学生的可能性最大；抽到篮球课程学生的可能性最小；（2）不公平，理由见详解．
【解析】
【分析】
（1）分别求出三个课程随机抽取一位学生的概率，然后进行比较，即可得到答案；
（2）根据题意，列出树状图，然后求出小王参加篮球社团的概率，以及小李参加篮球社团的概率，再进行比较，即可得到答案．
解：（1）根据题意，
抽到民乐的概率为：；
抽到足球的概率为：；
抽到篮球的概率为：；
∵，
∴抽到民乐课程学生的可能性最大；
抽到篮球课程学生的可能性最小；
（2）不公平；理由如下：
根据题意，画出树状图如下：
∴小王参加篮球社团的概率为：；
小李参加篮球社团的概率为：；
∵；
∴这个规则对双方不公平．
【点睛】
本题考查了列表法或画树状图法求概率，以及游戏的公平性：游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.
第一局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
【答案】（1）见解析，（2）甲在这次比赛中获胜．见解析．
【解析】
【分析】
（1）因为总共有8次投球的机会，且投球次数越多，得分越低，可以设计计分为1次投中得8分，两次投中得7分，依次下降1分即可；
（2）根据（1）的计分方案，可以分别计算甲、乙的得分，进行比较．
(1)计分方案如下表：
n(次)
1
2
3
4
5
6
7
8
M(分)
8
7
6
5
4
3
2
1
(2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得4+0+5+1+8+6=24分，
乙共得1+7+5+7+3+0=23分，
所以甲在这次比赛中获胜．
【点睛】
此题要能够根据规则合理设计得分，根据实际设计的方案进行正确计算．
25．我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
【答案】（1）共6种可能；（2）小王的方案乘坐优等车的可能性大．
【解析】
【分析】
（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏；
（2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格．
解：(1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能.
(2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
顺序
优，中，差
优，差，中
中，优，差
中，差，优
差，优，中
差，中，优
小张
优
优
中
中
差
差
小王
差
中
优
优
优
中
由表格可知：
小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是.
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.
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