【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第06讲《二次函数与方程、不等式 求参数符号》预习讲学案

第06讲 二次函数与方程、不等式 求参数符号

一、二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

要点：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.

　  (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．

抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．

抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．

   当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；

   当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；

   当方程组无解时两函数图象没有交点．

   总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．

要点：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线  与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.

三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

∴ 

    即  （△＞0）．
四、抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

注：a＜0的情况请同学们自己完成．

要点：

抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

例1．已知二次函数的图像经过与两点，关于的方程（）有两个整数根，其中一个根是，则另一个根是（　　）

A． B． C． D．

例2．如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（       ）

A． B． C．戓 D．戓

例3．观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（       ）

A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间

例4．如图，是二次函数的图象，则下列结论正确的个数有（       ）

①；②；③二次函数最小值为；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x=1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac-b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为−1<x<3；③8a+c<0；④a+b≤m(am+b)（m为实数），其中正确的个数为（       ）

A． B． C． D．

例7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b﹣c＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am＋b）（其中m≠）．其中正确的是（       ）

A．①④⑤ B．①②④ C．①③③ D．③④⑤

例8．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如：、都是“整点”，抛物线与轴交于、两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例9．已知抛物线（a，b，c是常数），，下列四个结论：

①若抛物线经过点，则．

②若，则方程一定有根．

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．

④点在抛物线上，若，则当时，．

其中结论不正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

一、单选题

1．抛物线与x轴有两个交点，则a的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．且

2．函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（       ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根 D．无实数根

3．二次函数（，，为常数，且中的与的部分对应值如下表：

下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当时，随的增大而减少；④3是方程的一个根，其中正确的个数为（       ）A．4个              B．3个              C．2个              D．1个

4．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．或

5．如图，是函数（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：

（1）当x>3时，y随x的增大而增大；

（2）该函数图象与x轴有三个交点；

（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6；

（4）当x > 0时，y随x的增大而增大．

以上结论中正确的有（     ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不等的实数根．其中，正确结论的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：则方程 的根是（     ）

A．0或4                               B． 或  C． 或  D．无实根

8．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点为；④．其中，正确的结论是（       ）

A．①② B．①③ C．②④ D．①④

9．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：

下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（       ）A．①②③              B．①②④              C．①③④              D．②③④

10．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连接MN，若线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

二、填空题

11．若二次函数（a，k为常数，且）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的不等式的解集为______．

12．二次函数的图象如图所示，则的取值范围是______．

13．已知函数使y＝a成立的x的值恰好只有4个时，则a为_________．

14．函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范围是____________．

15．抛物线的顶点在第四象限，则的取值范围是______．

16．已知抛物线与直线的两个不同交点分别为，．若和均为整数，则实数k的值为_________．

17．如图，抛物线）与x轴相交于点，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，y的值随x值的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有__________（填写代表正确结论的序号）．

18．物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为x＝m，且a+b+c＝0．下列四个结论：①c＜0；②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；③不等式am2﹣a3≥ab﹣bm一定成立；④若P（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，且当x1＜x2＜2时，y1＜y2，则c≤3a．其中正确的是 _____（填写序号）．

三、解答题

19．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．

（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；

（2）根据图象回答：当取何值时，？

（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．

20．阅读以下材料：

例：解不等式

解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图象：

两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）

∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，

根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：．

21．如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．

（1）求二次函数与一次函数的表达式．

（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围

22．下表给出了代数式与x的一些对应值：

（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；

（2）设，直接写出时，y的最大值．

23．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果=k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点，叫做黄金分割数．

理解：（1）利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数；

应用：（2）如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标．（参考知识点：若一元二次方程x2+px+q=0的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=－p，x1x2=q）

24．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．

（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；

（2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值；

（3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．

25．已知二次函数（为常数）．

（1）求证：不论为何值，该二次函数的图像与轴总有公共点．

（2）求证：不论为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上．

（3）已知点、，线段与函数的图像有公共点，则的取值范围是__________．

26．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为.

(1)求函数()的对折函数；

(2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值；

(3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围.