【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第07讲《一元二次方程的根与系数的关系》预习讲学案

第07讲 一元二次方程的根与系数的关系

【学习目标】

1．探索一元二次方程的根与系数的关系．

2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．

重点：一元二次方程根与系数的关系。

难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

【基础知识】

一．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

二．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．

【考点剖析】

一．根的判别式（共5小题）

1．（2022•西山区一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

2．（2022•朝阳区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．

3．（2021秋•瓦房店市期末）下列方程没有实数根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2+2x+2＝0

4．（2021秋•江油市期末）已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．

5．（2021秋•监利市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．

二．根与系数的关系（共6小题）

6．（2022•博山区一模）若方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c为常数且a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　   　，x1x2＝　   　．（用a，b，c表示）

7．（2022•泗洪县二模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则它的另一个根是 　   　．

8．（2022•武侯区校级模拟）若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为 　   　．

9．（2021秋•高州市校级期末）已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2．

10．（2021秋•慈利县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；

（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．

11．（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．

（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　   　，方程的另一个根为 　   　；

（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；

（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．

【过关检测】

一．选择题（共5小题）

1．（2022•包河区校级一模）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥1 B．k≥﹣1 C．k≤﹣1 D．k≤1

2．（2022•河南模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k2＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）

A．2 B． C．0 D．﹣1

3．（2022•宣城模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则m的取值范围为（　　）

A．m＜5且m≠1 B．m≤5且m≠1 C．m≤5 D．m＜5

4．（2022•河南模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣2 B．k≥﹣2 C．k≤﹣2 D．k＜﹣2

5．（2022•安徽模拟）若关于x的方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

二．填空题（共5小题）

6．（2022•郫都区模拟）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为 　   　．

7．（2022•凤阳县一模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　   　．

8．（2022•白山模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　   　．

9．（2022•成都模拟）已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是 　   　．

10．（2022•黄冈三模）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是 　   　．

三．解答题（共5小题）

11．（2022春•西湖区校级期中）已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a．

（1）求2a+b的值；

（2）若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．

12．（2021秋•察右前旗期末）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的实数根是x1和x2

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1，且k为整数，求k的值．

13．（2021秋•郾城区期末）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．

14．（2022•西城区校级一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有实数解，求k的非负整数解，并求出k取最大整数解时方程的根．

15．（2021秋•鄄城县期中）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣3＝0．

（1）若此方程的一个根为2，求另一个根及m的值

（2）求证：不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．