【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第03讲《勾股定理的应用与最短路径问题》预习讲学案

第03讲 勾股定理的应用与最短路径问题

【学习目标】

1. 学会运用勾股定理求立体图形中两点之间最短距离。
2. 能够运用勾股定理解决生活中实际问题。

3．能利用轴对称解决简单的最短路径问题．

4．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

重点：学会运用勾股定理求立体图形中两点之间最短距离；体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

难点：能够运用勾股定理解决生活中实际问题；利用轴对称解决简单的最短路径问题．

【基础知识】

一．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

二．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

【考点剖析】

一．勾股定理的应用（共4小题）

1．（2021秋•大丰区期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．

2．（2021秋•望花区期末）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．

（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；

（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；

（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．

3．（2022春•大连月考）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？

4．（2021秋•莲湖区期中）如图，在树干的顶部A和地面B、C两点处引两条绳子AB，AC，已知树干AD的长为12m，BD的长为5m，DC的长为16m，AD⊥BC，求绳子总长．

二．平面展开-最短路径问题（共4小题）

5．（2021秋•临漳县期中）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是多少？

6．（2021秋•罗湖区校级期中）如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）．

7．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？

8．如图，一只蚂蚁在圆柱的底面A处，它沿侧面爬到B处，要使路程最短，在圆柱的侧面展开图中路线应是怎样的？请你画出来．

【过关检测】

一．选择题（共5小题）

1．（2021秋•崂山区期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（　　）

A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm

2．（2021秋•常宁市期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺

3．（2021秋•泉州期末）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（　　）

A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m

4．（2022春•海淀区校级期中）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（　　）

A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm

5．（2021秋•龙口市期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A．10cm B．20cm C．cm D．100cm

二．填空题（共6小题）

6．（2022春•西城区校级期中）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE

时，AD＝1米，则BE＝　   　米．

7．（2021秋•黔江区期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 　   　cm．

8．（2021秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 　   　cm．

9．（2021秋•揭西县期末）如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 　   　cm．（π取3）

10．（2021秋•宜宾期末）如图所示的长方体中，长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 　   　．

11．（2021秋•沛县期末）如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 　   　m．

三．解答题（共8小题）

12．（2021秋•荣成市期中）一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？

13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，

（1）求高台A比矮台B高多少米？

（2）求旗杆的高度OM；

（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．

14．（2021春•汉阴县期中）如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．

（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；

（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．

15．（2021春•洛南县期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

16．（2021春•全椒县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．

17．（2021春•涟源市月考）某路段限速70千米/时．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米处的点C，过2秒后，测得小汽车（点B）与车速检测仪间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？

18．（2020春•金寨县期末）如图，一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC＝3米．

（1）求BC的长；

（2）梯子滑动后停在DE的位置，当AE为多少时，AE与BD相等？

19．（2020秋•成华区校级月考）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？