【暑假小升初自学】苏科版数学六年级（六升七）暑假-专题03《解决问题的策略（二）》预习讲学案

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《一》年龄问题
年龄问题是和倍、差倍应用题在实际生活中的应用，可以利用和倍、差倍应用题的解题方法解答年龄问题.。需要注意的是, 要找到与倍数在同一年的两人的年龄和或年龄差，才能应用和倍、差倍的解题方法来解答。
解答年龄问题需要掌握的最大特征是年龄差不变。例如，妈妈今年35 岁，小明今年7岁，年龄相差35 -7=28岁，3年后,妈妈35 +3 =38岁，小明7+3=10岁,差依然是28 岁.另外, 还要注意年数和岁数的联系和区别, 经过几年, 就是增加几岁。
（1） 解年龄问题一定要抓住年龄间题的主要特点:
1） 两个人的年龄随着岁月的变化而增加或减少同一个自然数,两个人的年龄差保持不变；
2） 两个人的年龄的倍数关系随着年龄的增加反而变小。
（2）遇到两人对话, "当我像你现在这么大的时候, 你就多大了; 当你像我这么大的时候，我就那么大了",诸如此类的对语,可以果用时问抽分析。
《二》植树问题
植树问题三要素：（1）总路线长；（2）间距（棵距）长；（3）棵树。
1.不封闭路线
（1）两端都种树，全长、棵树、株距三者关系：
一端中枢，另一端不种树，三者关系；



两端不种树，三者关系
封闭路线
《三》行程问题
相遇问题
在数学中存在着一类应用题, 其研究的对象是路程、速度、时间及这三者之间的关系,这类问题统称为行程问题. 上述三个量就是行程问题的三个基本量, 而这三个量之间的关系
路程 = 时间 x速度;
时间=路程÷速度;
速度=路程÷时间。
这一讲首先研究行程问题当中的一类问题: 相遇(相背)问题, 也称作反向运动问题,特征是在同一道路上的两个运动物体做的是方向相反的运动.所谓相遇, 指的是两个运动的物体同时或不同时由两地出发相向而行, 在途中相遇. 所谓相背, 指的是两个运动物体以同一点为起点背向运动
在相遇问题里的关系式变为：
相遇时间 =总路程÷(甲的速度+乙的速度);
总路程 =(甲的速度+乙的速度) x相遇时间。
（2）追及问题
两个运动物体做方向相同的运动的时候, 路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系.。这一类问题又被称为追及问题. 解决追及问题的关键是熟练掌握行程问题最基本的等量关系" 路程 = 速度 x时间"及其演变产生的数量关系"路程差 =速度差×追及时间"。
这里的路程差是指两人(或物体)所走的路程之差,也就是一人(或物件) 比另一人(或物件)多走的路程; 速度差是指两人(或物件)在相同单位时间内的速度之差; 追及时间是指快者追上慢者所花的时间。
追及问题的类型主要有求追及时间、求速度、求路程等几种情况, 解决问题的关键也是根据基本的数量关系解诀, 即
追及时间=路程差÷速度差;
速度差 =路程差 ÷追及时间;
路程差=追及时间 x速度差。
（3）流水行船问题
行程问题中有一类流水行船间题.船的往返速度不同,分别为顺水速度和逆水速度，且可以分解为船在静水中速度与水速的和及差, 这类间题一定先找到静水速度、水速、顺水速度、逆水速度中哪些是已知的,哪些是未知的. 然后用己知条件表达出未知的条件。
顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度
静水速度=顺水速度-水流速度=逆水速度+水流速度=；水流速度=顺水速度-静水速度=静水速度-逆水速度=。
《四》工程问题
工程问题是指两个或两个以上对象合作完成一项工程或工作, 有时还将内容延伸到相遇问题或和倍问题. 解答工程问题时, 经常把总工作量看作"1", 若这项工程甲单独做需要 a天, 则甲的工作效率为. 可见, 工作效率就是工作时问的倒数。工程问题的基本关系式为：
工作效率×工作时间 = 工作量
对于工程问题中的三个量: 工效、工时、工作量,一般知二求一,可以直接使用上面的公式或它的变形. 如果是只知道一个量, 求另外两个量, 一般自己配一个量(多是配工作量为"1"),可以把另一个量综合表达出来, 这样题目中的三个量的关系就可以表达了,一般能列出分数的四则运算算式.
但是,为了使题目的解答更加简便, 建议大家配上的量(工作量)最好是各个工作时间的最小公倍数, 这样就把分数问题转化为整数问题直接口算解答, 既简单又快捷。
【解惑】
类型一、年龄问题
丁丁今年15岁，丁丁的妈妈今年43岁，几年前丁丁妈妈的年龄是丁丁的5倍？
【答案】8年
【分析】根据年龄差不变，丁丁妈妈比丁丁大43－15＝28岁，当丁丁妈妈的年龄是丁丁年龄的5倍时，丁丁妈妈仍然比丁丁大28岁，利用差倍问题求妈妈年龄是儿子年龄5倍时丁丁的年龄，再与儿子现在的年龄求差，据此解答。
【详解】（43－15）÷（5－1）
＝28÷4
＝7（岁）
15－7＝8（年）
答：8年前丁丁妈妈的年龄是丁丁的5倍。
类型二、植树问题
在一条长600米的河堤边等距离植树（两端都要植树）。已挖好每隔3米植一棵树的坑，后来要改成每隔2米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？
【答案】200个；100个
【分析】把这条路标记为0~600米，由于两端都植，那么原来每隔3米植一棵树，挖坑的位置的刻度都能被3整除，总共201个；现在每隔2米植一棵树，挖坑的位置的刻度都能被2整除，总共301个；其中重叠的位置的刻度可以倍2和3的最小公倍数6整除，有101个。
【详解】（个）
（个）
（个）
（个）
（个）
（个）
（个）
答：还要挖200个坑；需要填上100个坑。
【点睛】本题将植树问题与最小公倍数、容斥问题相结合，要能够准确判断出每种情况下的数量，关键是重叠部分的数量。
类型三、行程问题
相遇问题
两地相距560千米，一辆客车和一辆货车分别从两地同时开出，相向而行，经过3.5小时相遇。货车每小时行70千米，客车每小时行多少千米？
【答案】90千米
【分析】相遇时两车行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：速度和＝路程÷相遇时间，求出两车的速度和，再用两车的速度和减去货车的速度，可以计算出客车每小时行多少千米。
【详解】560÷3.5－70
＝160－70
＝90（千米）
答：客车每小时行90千米。
【点睛】本题考查相遇问题，利用速度、时间和路程三者的关系进行解答。
追及问题
乌龟和蜗牛在直的花坛边上爬行，它们从同一点出发，同时反方向爬行。乌龟每分钟爬75厘米，蜗牛每分钟爬50厘米，各自爬了10分钟后，乌龟又转头去追蜗牛，它要多少分钟才能追上蜗牛？
【答案】50分钟
【分析】分析题目，根据路程＝速度×时间求出10分钟蜗牛和乌龟爬的路程和；接下来用10分钟蜗牛和乌龟爬的路程和除以两个动物的速度差可求乌龟追上蜗牛需要的时间。
【详解】（50＋75）×10÷（75－50）
＝125×10÷25
＝1250÷25
＝50（分钟）
答：它要50分钟才能追上蜗牛。
【点睛】本题考查的是追及问题，解题的关键找出数量关系。
流水行程问题
一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小时30千米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？
【答案】5小时
【分析】顺流而行，行驶的时间＝总路程÷（静水速度＋水流速度），据此解答。
【详解】165÷（30＋3）
＝165÷33
＝5（小时）
答：行全程需要5小时。
【点睛】此题主要考查了流水行船问题，明确顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝水速－静水速度，进而利用路程、速度、时间之间的关系解决问题。
类型四、工程问题
王阿姨和吴阿姨一起加工一批衣服，王阿姨每小时加工48件，吴阿姨每小时加工52件，两人一起工作了4个小时，请问她们加工了多少件衣服？
【答案】400件
【分析】依据工作总量＝工作时间×工作效率，分别求出两人的工作总量，再相加，即可求出她们加工了多少件衣服。
【详解】48×4＋52×4
＝（48＋52）×4
＝100×4
＝400（件）
答：她们加工了400件衣服。
【点睛】本题考查了工程问题以及乘法分配律在运算过程中的灵活应用。
【知不足】
1．李爷爷今年a岁，张伯伯今年（a－24）岁，过b年后，他们相差（ ）岁。
A．bB．b－24C．a－24D．24
【答案】D
【分析】不管过去多少年，李爷爷和张伯伯之间的年龄差不变，因为李爷爷今年a岁，张伯伯今年（a－24）岁，则他们相差岁数是a－（a－24），据此解答。
【详解】a－（a－24）
＝a－a＋24
＝24（岁）
再过b年后，他们相差24岁。
故答案为：D
【点睛】本题考查了用字母表示数以及含未知数式子的化简和求值。
2．一项工作甲独做要8小时，乙独做要10小时，甲乙两人工作效率的比是（ ）。
A．8∶10B．∶C．4∶5D．5∶4
【答案】D
【分析】根据工作效率×工作时间＝工作量（一定），积一定，则工作效率与工作时间成反比例关系，所以甲乙两人的工作效率之比等于他们时间的反比。
【详解】甲乙两人工作时间的比是：
8∶10＝（8÷2）∶（10÷2）＝4∶5
则甲乙两人工作效率的比是5∶4。
故答案为：D
【点睛】本题考查比的意义以及化简比，关键是明白工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例，因此两人工作时间比的前后项交换位置就是他们的工作效率比。
3．小华今年7岁，妈妈今年35岁，妈妈的年龄正好是小华的5倍，所以当小华9岁时，妈妈有45岁。( )
【答案】×
【分析】先计算出小华增加了几岁，妈妈也应增加相同的岁数，据此即可解答。
【详解】9－7＋35
＝2＋35
＝37（岁）
小华9时，妈妈有37岁，原说法错误。
故答案为：×
【点睛】相同的时间，两人增加的年龄相同，这是解答本题的关键。
4．步行街边有一排路灯柱，从街头至街尾共25根，每相邻两根之间的距离都是60米。为配合城市“亮化”工程建设，现在要改成每相邻两根灯柱之间都相距40米。那么施工时有( )根灯柱不需要移动。
【答案】13
【分析】根据题意可知：不需要移动的路灯柱，必须是处于40米与60米公倍数位置上的路灯柱，才能不需要移动；先求出40、60的最小公倍数，再求出步行街总长，最后算一算步行街总长里有几个公倍数，又因为起点的一根不用动，最后再加上起点的那根即可。
【详解】原来最后一根路灯柱和第一根的距离是：
60×（25－1）
＝60×24
＝1440（米）
40＝2×2×2×5
60＝2×2×3×5
所以40、60的最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120
1440以内120的公倍数有：120、240、360、480、600、720、840、960、1080、1200、1320、1440。
1＋12＝13（根）
所以，施工时有13根灯柱不需要移动。
【点睛】此题主要考查了植树问题和求几个数的公倍数的方法，分析出第一根路灯柱不用动，以及和第一根路灯柱的距离是120米的公倍数的路灯柱也不用动是解答本题的关键。
5．从1楼走到5楼一共走了60级台阶，照这样推算，从5楼再走到7楼还要走( )级台阶。
【答案】30
【分析】楼梯层数＝楼层数之差，先用除法求出爬一层的台阶数，再乘需要爬的楼梯层数即可。
【详解】60÷（5－1）
＝60÷4
＝15（级）
15×（7－5）
＝15×2
＝30（级）
从5楼再走到7楼还要走30级台阶。
【点睛】此题的关键是明确：楼梯层数＝楼层数之差。
6．把一根6米长的钢材截成长度相等的小段，锯了3次后，每段占全长的( )，每段长( )米。
【答案】
【分析】根据题意，把一根钢材截成长度相等的小段，锯了3次，则分成了3＋1＝4段。
求每段占全长的几分之几，是把这根钢材的全长看作单位“1”，把“1”平均分成4段，用1除以4；
求每段的长度，是把6米长的钢材平均分成4段，用这根钢材的长度除以4。
【详解】3＋1＝4（段）
1÷4＝
6÷4＝（米）
每段占全长的，每段长米。
【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量。注意：分率不带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
7．夏令营活动中，甲、乙和丙合作拼一个赛车模型，三个人合作，4小时完成。如果甲拼4小时后，乙和丙合作2小时，可以完成整体的；如果甲和乙合作2小时后，丙再拼4小时，可以完成整体的。如果甲和丙合作拼一个模型需要多少小时？
（1）
（2）
（3）如果甲和乙合作2小时，丙再拼4小时，相当于三人合作了2小时后，丙单拼了2小时。此时丙单拼2小时的工作量是：－三人合作的工作量，用算式表示为（ ），丙单拼的效率，用算式表示为（ ）。
（4）甲单拼的效率＋丙单拼的效率＝（ ），两人合作拼一个模型需要（ ）小时。
【答案】（1）
（2）2；；；；（－×2）×
（3）－×2；（－×2）×
（4）；
【分析】（1）根据：工作效率＝工作总量÷工作时间，把整体模型看作单位“1”，三人4小时完成，用1除以4求出三人合作的效率；
（2）根据题意，将甲单拼的4小时拆分，转化甲、乙和丙三人合作2小时，甲单拼的2小时，可知三人合作的工作量＝三人的合作效率×2；再用完成整体的减去三人合作的工作量得到甲单拼的2小时的工作量，最后根据：工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲的效率；
（3）与（2）的思路相同，将条件转化为：三人合作了2小时后，丙单拼了2小时，求出丙单拼2小时的工作量，再求丙单拼的效率；
（4）根据（2）与（3）求出来的效率相加即可，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率解答。
【详解】（1）1÷4＝
所以，把整体模型看作单位“1”，三人合作的工作效率为。
（2）根据分析，
2×＝
甲单拼2小时工作量：
甲单拼的效率：
所以甲单拼的效率用算式表示为：
填空如下：
（3）如果甲和乙合作2小时，丙再拼4小时，相当于三人合作了2小时后，丙单拼了2小时。此时丙单拼2小时的工作量是：－三人合作的工作量，用算式表示为：－×2，丙单拼的效率，用算式表示为：（－×2）×。
（4）丙的效率：
（－×2）×
＝（－）×
＝×
＝
＋＝
1÷＝（小时）
所以，甲单拼的效率＋丙单拼的效率＝（），两人合作拼一个模型需要（）小时。
【点睛】此题考查了工程问题以及分数乘除法计算，关键能够理解题目掌握解题思路。
【一览众山小】
1．有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子，今年他们的年龄加在一起为75岁，其中父亲比母亲大1岁，女儿比儿子大2岁。已知4年前，家里所有人的年龄之和是60岁，则母亲今年( )岁。
【答案】33
【分析】根据题意，4年前家里所有人的年龄之和是60岁，那么4年后，每人都长了4岁，所以4年后他们全家的年龄和是60＋4×4＝76（岁），但今年他们的年龄加在一起为75岁，说明最小的儿子4年前还没有出生，据此可以求出儿子今年的年龄，女儿今年的年龄；
用今年全家的年龄和减去今年儿子、女儿的年龄，就是父亲和母亲今年的年龄之和，已知父亲比母亲大1岁，用他俩的年龄之和减1，就是今年母亲年龄的2倍，再除以2，即可求出今年母亲的年龄。
【详解】60＋4×4
＝60＋16
＝76（岁）
75＜76，说明儿子4年前还没有出生；
今年儿子的年龄：
4－（76－75）
＝4－1
＝3（岁）
今年女儿的年龄：3＋2＝5（岁）
今年母亲的年龄：
（75－3－5－1）÷2
＝66÷2
＝33（岁）
【点睛】本题考查年龄问题，理解儿子4年前没有出生，求出儿子今年的年龄是解题的关键；再利用和差问题的解题方法，求出今年母亲的年龄。
2．小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁，小刚5年后的年龄等于小明3年前的年龄，小刚今年( )岁，小明今年( )岁。
【答案】 14 22
【分析】小刚5年后的年龄等于小明3年前的年龄，那么小明比小刚大8岁；小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁，那么两人今年的年龄和是36岁，然后按照和差问题求出两人今年的年龄即可。
【详解】（岁）
（岁）
（岁）
（岁）
小刚今年14岁，小明今年22岁。
【点睛】本题是把年龄问题与和差倍问题相结合，求出两个量的“和”与“差”是解题的关键。
3．小智和小慧比赛爬楼梯，当小智爬到第5层时，小慧爬到第4层，照这样的速度，当小智爬到第21层时，小慧爬到第( )层。
【答案】16
【分析】根据题意，小智爬到第5层，爬了5－1＝4层楼梯；小慧爬到第4层，爬了4－1＝3层楼梯；小智与小慧爬楼梯的层数比为4∶3，把小智爬楼梯的层数看作4份，则小慧爬楼梯的层数看作3份；当小智爬到第21层时，爬了21－1＝20层楼梯，用小智爬楼梯的层数除以4，求出一份数，再用一份数乘3，即可求出小慧爬的楼梯层数，最后加上1，即可求出小慧爬到第几层。
【详解】小智与小慧爬楼梯的层数比为：
（5－1）∶（4－1）＝4∶3
一份数：
（21－1）÷4
＝20÷4
＝5（层）
小慧爬到：
5×3＋1
＝15＋1
＝16（层）
当小智爬到第21层时，小慧爬到第16层。
【点睛】本题考查植树问题，明确爬楼梯的层数＝楼层数－1。
4．把一些规格相同的杯子叠起来，如图，4个杯子叠起来高15cm，6个杯子叠起来高19cm。那么9个杯子叠起来高( )cm，n个杯子叠起来高( )cm。
【答案】 25 2n＋7
【分析】根据题图可知，第一个杯子的高度＋3个间隔的高度＝15厘米，第一个杯子的高度＋5个间隔的高度＝19厘米，两个式子相减，进而求出1个间隔的高度和一个杯子的高度；9个杯子叠起来的高度＝第一个杯子的高度＋8×1个间隔的高度，据此解答；n个杯子叠起来，共有（n－1）个间隔，用“第一个杯子的高度＋（n－1）×间隔的高度”即可解答。
【详解】（19－15）÷（5－3）
＝4÷2
＝2（厘米）
15－3×2
＝15－6
＝9（厘米）
9＋（9－1）×2
＝9＋8×2
＝9＋16
＝25（厘米）
9＋（n－1）×2
＝9＋2×n－1×2
＝9－2＋2n
＝（2n＋7）厘米
即9个杯子叠起来高25cm，n个杯子叠起来高（2n＋7）cm。
【点睛】本题考查了植树问题的灵活应用，先求出1个间隔的高度和一个杯子的高度是解答本题的关键。
5．灰灰拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一刀，结果绳子被剪成了3段。如果灰灰把这根绳子先三折，再对折，最后从中间剪3刀。绳子被剪成( )段。
【答案】19
【分析】可以看做两端都不种树的植树问题，“刀口”数即为棵数，先三折，再对折，从中间剪3刀，有个刀口，那么应该被截成19段。
【详解】
（个）
（段）
绳子被剪成19段。
【点睛】本题关键是求出折痕的数量，这里用到了转化的方法，也可以通过实践进行求证。
6．A，B两地间有一平直公路，A，B两地的距离为360千米，甲车从A地出发以60千米/时的速度前往B地，在甲车出发的同时，乙车从B地出发沿同一公路匀速行驶前往A地，3小时后，甲、乙两车的距离是A，B两地距离的，则乙车每小时行驶( )千米。
【答案】40或80
【分析】根据题意，两车相向而行，甲、乙两车的距离是A，B两地距离的，有两种情况：
一种是相遇之前，两车剩下总距离的未走，先用360减去甲车3小时的路程，再减去总距离的，就得到乙车行驶的路程，再根据：路程÷时间＝速度计算出结果即可；
另一种是相遇之后，先求总距离的，再加上总长后，用两车所行驶的总路程除以3小时，可得到两车的速度和，再减去甲车的速度即可。
【详解】根据分析，两车相遇之前的情况：
（360－360×－60×3）÷3
＝（360－60－180）÷3
＝（300－180）÷3
＝120÷3
＝40（千米/小时）
两车相遇之后的情况：
（360×＋360）÷3－60
＝（60＋360）÷3－60
＝420÷3－60
＝140－60
＝80（千米/小时）
所以，乙车每小时行驶40或80千米。
【点睛】此题考查了分数乘法的运用，关键能够结合条件分析行驶情况再解答。
7．王老师有个学生，当王老师像学生那么大时，学生才1岁；当学生像王老师那么大时，王老师37岁。王老师和学生现在各多少岁？
【答案】王老师现在25岁，学生现在13岁
【分析】将学生现在的年龄设为x岁，据题意当王老师像学生那么大时，学生才1岁，那么二人的年龄差是（x－1）岁，那么王老师现在的年龄是（2x－1）岁。又根据题意当学生像王老师那么大时，王老师37岁，可知此时王老师年龄－（2x－1）＝年龄差。据此列方程解方程即可。
【详解】解：设学生现在的年龄是x岁。
37－（x＋x－1）＝x－1
37－2x＋1＝x－1
3x＝39
x＝39÷3
x＝13
13＋13－1＝25（岁）
答：王老师现在25岁，学生现在13岁。
【点睛】本题主要考查了年龄问题，关键是要认识到两人的年龄差始终不变。
8．哥哥3年前的年龄比弟弟2年后的年龄大一岁，哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁，求兄弟两人今年的年龄分别是多少？
【答案】哥哥20岁；弟弟14岁
【分析】哥哥3年前的年龄比弟弟2年后的年龄大一岁，那么哥哥比弟弟大6岁；哥哥4年后的年龄与弟弟3 年前的年龄和是35岁，那么两人今年的年龄和是34岁，然后按照和差问题求解即可。
【详解】如图：
（岁），
兄弟俩今年的年龄和：
（岁）
哥哥今年：
（岁）
弟弟今年：
（岁）
答：哥哥今年20岁；弟弟今年14岁。
【点睛】本题将和差问题与年龄问题相结合，求出今年两人的年龄和与年龄差是解题的关键。
9．王燕3年前的年龄等于李龙3年后的年龄，王燕4年前和李龙5年后的年龄和是41岁。王燕和李龙今年各多少岁？
【答案】王燕23岁；李龙17岁
【分析】王燕3年前的年龄等于李龙3年后的年龄，那么王燕比李龙大6岁；王燕4年前和李龙5年后的年龄和是41岁，那么今年的年龄和是40岁；和是40，差是6，按照和差问题求解即可。
【详解】如图所示：
王燕和李龙的年龄差：
（岁）
王燕和李龙今年的年龄和：
（岁）
王燕：
（岁）
李龙：（岁）
答：王燕今年23岁；李龙今年17岁。
【点睛】本题将年龄问题与暗差型和差问题相结合，求出同一时刻的年龄和与年龄差是解题的关键。
10．如图，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂，它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米/秒”。小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中。只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蛰一下。请问：小偷最少会被几只蜜蜂蛰到？
【答案】3只
【分析】先根据间隔数×间隔距离＝间隔总长，时间＝路程÷速度，求出每只蜜蜂到达B点需要的时间，再分析每个时间段，小偷可能会追上几只蜜蜂，且被几只蜜蜂追上，最后将几种可能比较即可。
【详解】1蜜蜂到达B点需要：5×100÷1＝500（秒）
2蜜蜂到达B点需要：4×100÷2＝200（秒）
3蜜蜂到达B点需要：3×100÷3＝100（秒）
4蜜蜂到达B点需要：2×100÷4＝50（秒）
5蜜蜂到达B点需要：1×100÷5＝20（秒）
7蜜蜂到达B点需要：11×100÷7≈157.1（秒）
8蜜蜂到达B点需要：10×100÷8＝125（秒）
9蜜蜂到达B点需要：9×100÷9＝100（秒）
10蜜蜂到达B点需要：8×100÷10＝80（秒）
11蜜蜂到达B点需要：7×100÷11≈63.6（秒）
如果小偷到达B点需要小于20秒，则小偷会被5只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要20~50秒，则小偷会被4只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要50~63.6秒，则小偷会被3只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要63.6~80秒，则小偷会被4只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要80~100秒，则小偷会被5只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要100~125秒，则小偷会被5只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要125~157.1秒，则小偷会被6只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要157.1~200秒，则小偷会被7只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要200~500秒，则小偷会被6只蜜蜂蛰到；
如果小偷到达B点需要500秒以上，则小偷会被5只蜜蜂蛰到；
3＜4＜5＜6＜7
答：小偷最少会被3只蜜蜂蛰到。
【点睛】解答本题的关键是明确被蜜蜂追上且追上蜜蜂都会被蛰。
11．甲乙两人沿着400米的跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是270米每分钟，乙的速度是220米每分钟。经过多少分钟甲第一次追上乙？
【答案】8分钟
【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈，是400米，根据“速度×时间＝路程”可得数量关系是：甲的速度×甲第一次追上乙所用的时间－乙的速度×甲第一次追上乙所用的时间＝400米；设设经过x分钟甲第一次追上乙，据此列式并解方程即可。
【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙，可得：
270x－220x＝400
50x＝400
50x÷50＝400÷50
x＝8
答：经过8分钟甲第一次追上乙。
【点睛】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是理解同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙，那么甲比乙多跑1圈，路程差就是环形跑道的周长。
12．明明和童童在400米的跑道上同起点同向而行，明明20分钟后追上童童，已知明明的速度是每分钟100米，问童童速度每分钟多少米？
【答案】80米
【分析】明明20分钟后追上童童，此时明明比童童走一圈（400米）；根据速度×时间＝路程，代入数据求出明明20分钟所走的路程，明明的路程减去400米求出童童20分钟所走的路程，再根据速度＝路程÷时间，代入数据求出童童的速度即可。
【详解】（100×20－400）÷20
＝（2000－400）÷20
＝1600÷20
＝80（米）
答：童童速度每分钟80米。
【点睛】本题主要考查追及问题，理解“明明20分钟后追上童童”是解题的关键。
13．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？
【答案】20分钟
【分析】路程÷时间＝速度，据此求出小红和小丽的速度，一整圈的路程相当于路程差，根据路程差÷速度差＝小红超出小丽一整圈的时间，列式解答即可。
【详解】800÷4＝200（米/分钟）
800÷5＝160（米/分钟）
800÷（200－160）
＝800÷40
＝20（分钟）
答：20分钟后小红超出小丽一整圈。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。
14．环形跑道全长400米（如图），小红和小刚回时从A点出发，都按顺时针方向走。小红每分钟走65米，小刚每分钟走90米。
（1）出发后几分钟，小刚第一次追上了小红？
（2）小刚第一次追上小红时，小红距A点还有多少米？
【答案】（1）16分；（2）160米
【分析】（1）小红每分钟走65米，小刚每分钟走90米，小刚每分钟比小红快（90－65）米，用环形跑道全长除以两人的速度差，即可求出出发后几分钟，小刚第一次追上了小红。
（2）小红每分钟走65米，乘追及时间，即可求出小红行驶的总路程是1040米，除以400米，商是2，余数是240米，说明小红走了2圈，超过A点240米，所以用400米减去240米，即可求出小红距A点还有多少米。
【详解】（1）
＝
＝16（分钟）
答：出发后16分钟，小刚第一次追上了小红。
（2）65×16÷400
＝1040÷400
＝2（圈）⋯⋯240（米）
400－240＝160（米）
答：小红距A点还有160米。
【点睛】此题的解题关键是利用路程、时间、速度三者之间的关系解决实际的问题。
15．两地相距1800米。甲乙两人同时从两地出发，若相向而行12分钟相遇；若同向而行90分钟甲追上乙，把乙需要的资料给他后，用去时1.2倍的速度返回。甲返回到点时，乙距点多少米？
【答案】12525米
【分析】用两地相距的距离1800米除以相遇时间就是甲、乙的速度和，用1800米除以90分钟就是甲、乙的速度差，进一步求出甲、乙的速度，再用甲的速度乘90分钟求出甲追上乙时距地的距离，再根据路程速度时间，求出甲返回地所用的时间，则可求出乙一共行走的时间，再乘乙的速度即可求出乙的总路程，最终将乙的路程加上两地距离，求出此时乙距点多少米。
【详解】（米分钟）
（米分钟）
（米分钟）
（米分钟）
（米
（分钟）
（米
答：甲返回到点时，乙距点12525米。
【点睛】明确路程相遇时间速度和，追及路程追及时间追及速度，以及路程、速度、时间三者的关系是解题的关键。
16．一艘轮船，在A、B两个码头之间匀速航行，顺水航行时需要5小时，逆水航行时需要8小时，已知水流速度是6千米/时，两个码头之间的距离是多少千米？
【答案】160千米
【分析】顺水速度＝轮船自身速度＋水流速度，逆水速度＝轮船自身速度－水流速度，已知A、B两个码头之间的总路程是不变的，所以（轮船自身速度＋水流速度）×顺水时间＝（轮船自身速度－水流速度）×逆水时间，可以设轮船自身速度为x，据此列出方程为：（x＋6）×5＝（x－6）×8，求出方程的解是轮船自身速度，进而可以求出两个码头之间的距离。
【详解】解：设轮船自身速度为x
（x＋6）×5＝（x－6）×8
5x＋30＝8x－48
3x＝48＋30
3x＝78
x＝26
（26＋6）×5
＝32×5
＝160（千米）
答：两个码头之间的距离是160千米。
【点睛】找准等量关系式，并根据等量关系式设知数列出方程是解决此题的关键，注意顺水速度、逆水速度与轮船自身速度的关系。
17．一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，驶出时顺风，每小时行30千米；驶回时逆风，每小时行24千米。这艘轮船最多驶出多少千米就应返航？
【答案】80千米
【分析】把一艘轮船最多行驶的路程看作单位“1”，如果都是顺风，用的时间为，如果都是逆风，用的时间为，又已知这艘轮船所带的柴油最多可用6小时，求这艘轮船最多行驶多少千米就要返航，列式为：解决问题。
【详解】
（千米）
答：这艘轮船最多驶出80千米就应返航。
【点睛】此题运用了行程问题的解题方法，比较简单，所以在今后的学习中，要多注重方法，尽可能地采用简单易行的解决办法。
18．生产一批零件，甲单独做需要20小时完工，乙单独25小时只能做这批零件的。甲、乙合作完成这批零件，几小时可以完成？
【答案】12小时
【分析】把生产这批零件的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙各自的工作效率，两人的工作效率相加即是合作工效；再根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，即可求出两人合作完成这批零件需要的天数。
【详解】甲的工作效率：
1÷20＝
乙的工作效率：
÷25
＝×
＝
甲、乙合作完成的时间：
1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝12（小时）
答：甲、乙合作完成这批零件，12小时可以完成。
【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。
19．加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这批零件的。现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了2.5天，乙也休息了若干天，这样用了15天才全部完成，乙休息了几天？
【答案】3.75天
【分析】把这批零件的总数看成单位“1”，甲的工作效率是；乙的工作效率是；甲休息了2.5天，实际工作了（15－2.5）天，由此求出甲的工作量；总工作量减去甲的工作量就是乙的工作量；用乙的工作量除以乙的工作效率就是乙实际工作的时间；用总时间减去乙工作的时间就是乙休息的时间。
【详解】1÷20＝
×（15－2.5）
＝×12.5
＝
（1－）÷
＝÷
＝×30
＝11.25（天）
15－11.25＝3.75（天）
答：乙休息了3.75天。
【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答。
20．甲、乙、丙合作一批零件，6天可以完成任务，已知甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和，乙每天的工作效率等于甲、丙二人每天工作效率的和的一半。如果他们三人都单独做，各需多少天完成？
【答案】12天、18天、36天
【分析】由题意可知，甲乙丙工效为，由甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和可知：甲工效为÷2＝；又由乙每天的工作效率等于甲、丙二人每天工作效率的和的一半可知：乙工效＝（甲工效＋乙工效）×，甲工效－丙工效＝（甲工效＋丙工效）×。据此解答即可。
【详解】甲工效为：÷2＝
乙工效＝（甲工效＋乙工效）×
甲工效－丙工效＝（甲工效＋丙工效）×
解：设丙的工效为x，则：
乙工效为：
甲：（天）
乙：（天）
丙：（天）
答：单独做，甲、乙、丙各需12天、18天、36天完成。
【点睛】根据关系式，推出三人工作效率之间的关系，进而求得它们各自的工作效率，解决问题。
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1．典典今年15岁，爷爷今年70岁，4年后爷爷比典典大( )岁。
【答案】55
【分析】4年后典典的年龄和爷爷的年龄同时增加4岁，所以可用减法算出今年爷爷比典典大多少岁即可。
【详解】70－15＝55（岁）
4年后爷爷比典典大55岁。
【点睛】本题的关键是爷爷和典典的年龄是同时增加的，求4年后的年龄差也是求现在的年龄差。
2．小汽车每小时行a千米，大客车每小时比小汽车少行15千米。大客车4小时行( )千米，两车同向而行，5小时两车相差( )千米。
【答案】 4a＋60 75
【分析】用小汽车行驶的速度减去15千米，求出大客车行驶的速度，再乘4，即可求出大客车4小时行驶多少千米；根据“大客车每小时比小汽车少行15千米”可知，两车同向而行，5小时两车相差（15×5）千米。
【详解】（a＋15）×4＝（4a＋60）千米
15×5＝75（千米）
所以，小汽车每小时行a千米，大客车每小时比小汽车少行15千米。大客车4小时行（4a＋60）千米，两车同向而行，5小时两车相差75千米。
【点睛】注意两车的速度差是15千米，是解答此题的关键。
3．25名同学在老师画好的圆形场地玩“抢板凳”游戏（沿板凳圆形摆一圈，且间隔相等）。开始时，相邻两个板凳之间的间隔是0.5米，玩了一会儿，有14名同学被淘汰，剩下的同学继续玩，现在相邻两个板凳之间的间隔是多少米？
【答案】1.2米
【分析】“抢板凳”游戏，板凳数＝人数－1，封闭图形里植树，棵数＝段数，先确定开始时板凳数，即段数，段数×间距＝周长；原来同学人数－淘汰的人数－1＝剩下人数，即剩下板凳的间隔数，周长÷剩下板凳的间隔数＝现在间距，据此列式解答。
【详解】（25－1）×0.5÷（25－14－1）
＝24×0.5÷10
＝12÷10
＝1.2（米）
答：现在相邻两个板凳之间的间隔是1.2米。
【点睛】关键是掌握植树问题解题方法，理解棵数和段数之间的关系。
4．甲、乙两车在相距450千米的两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶60千米，甲车先行驶1小时，乙车经过3小时与甲车相遇。乙车每小时行驶多少千米？
【答案】70千米
【分析】设乙车每小时行驶x千克，3小时行驶3x千米；甲车先行1小时后乙车出发；甲车行驶了（1＋3）小时；用甲车的速度×（1＋3），求出甲车行驶的路程，甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两地的距离，列方程：60×（1＋3）＋3x＝450，解方程，即可解答。
【详解】解：设乙车每小时行驶x千米。
60×（1＋3）＋3x＝450
60×4＋3x＝450
240＋3x＝450
240－240＋3x＝450－240
3x＝210
3x÷3＝210÷3
x＝70
答：乙车每小时行驶70千米。
【点睛】本题考查方程的实际应用，利用速度、时间和路程三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
5．一项工程，甲单种做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙实际工作了几天？
【答案】3天
【分析】把这项工程的量看作单位“1”，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出甲和乙的工作效率，在整个过程中，甲没有休息，所以甲一共干了4.5天，可以求出乙完成了这项工程的多少，剩下的即为乙完成的，用乙完成的工程量除以乙的工作效率，即可得到乙工作的时间。
【详解】1÷6＝
1÷12＝
（1－×4.5）÷
＝（1－×）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×12
＝3（天）
答：乙实际工作了3天。
【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。