统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练24平面向量的概念及其线性运算文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练24平面向量的概念及其线性运算文，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A.②③ B．①②
C.③④ D．②④
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A.|a|＝|b| B．a∥b
C.|a|>|b| D．a⊥b
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \(CA,\s\up6(→))＝m， eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则 eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A.3m－2n B．－2m＋3n
C.3m＋2n D．2m＋3n
4．在等腰梯形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝－2 eq \(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则 eq \(AM,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) B． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
C. eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) D． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， eq \(CO,\s\up6(→))＝λ( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))，则实数λ＝( )
A.－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C.2 D．－2
6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则 eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A.2 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))B．－ eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))
C. eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) D．－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))
7．在四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b， eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形 B．平行四边形
C.梯形 D．以上都不对
8．已知平面内一点P及△ABC，若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上
D.点P在△ABC内部
9．设D为△ABC所在平面内一点， eq \(BC,\s\up6(→))＝3 eq \(CD,\s\up6(→))，则( )
A. eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))
B. eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C. eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
D. eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
二、填空题
10．在△ABC中，D是AB边上一点， eq \(AD,\s\up6(→))＝3 eq \(DB,\s\up6(→))，且 eq \(CD,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为________．
11．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
12．[2023·贵州省高三测试]在平行四边形ABCD中， eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(ED,\s\up6(→)).若 eq \(CE,\s\up6(→))＝λ eq \(BA,\s\up6(→))＋μ eq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3 eq \(PA,\s\up6(→))＋5 eq \(PB,\s\up6(→))＋2 eq \(PC,\s\up6(→))＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为( )
A. eq \f(9,2) B．4 C．3 D． eq \f(12,5)
14．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AK,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ的值为( )
A. eq \f(2,9) B． eq \f(2,7)
C. eq \f(2,5) D． eq \f(2,3)
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：
① eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－b；② eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b；③ eq \(CF,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b；④ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的序号为________．
16．在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
专练24 平面向量的概念及其线性运算
1．A 当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．
2．D 由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.
3．B 因为BD＝2DA，所以 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3( eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝－2 eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
4．B ∵M为BC的中点，
∴ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，
又 eq \(AB,\s\up6(→))＝－2 eq \(CD,\s\up6(→))，∴ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，
∴ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)).
5．A 由平行四边形法则可知， eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，
又O为AC与BD的交点，∴ eq \(AC,\s\up6(→))＝－2 eq \(CO,\s\up6(→))，
∴ eq \(CO,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))，∴λ＝－ eq \f(1,2).
6．A ∵2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，∴2( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得 eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→)).
7．C ∵ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 eq \(BC,\s\up6(→))，∴ eq \(AD,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))且| eq \(AD,\s\up6(→))|＝2| eq \(BC,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为梯形．
8．C ∵ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))，∴ eq \(PC,\s\up6(→))＝－2 eq \(PA,\s\up6(→))，∴点P在线段AC上．
9．A ∵ eq \(BC,\s\up6(→))＝3 eq \(CD,\s\up6(→))，
∴ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝3( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))，
即4 eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝3 eq \(AD,\s\up6(→))，
∴ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)).
10．答案：－ eq \f(1,4)
解析：∵ eq \(AD,\s\up6(→))＝3 eq \(DB,\s\up6(→))，∴ eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝3( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→)))，∴4 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋3 eq \(CB,\s\up6(→))，∴ eq \(CD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→)).
又 eq \(CD,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→))，∴λ＝－ eq \f(1,4).
11．答案：3 eq \r(2)
解析：由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3 eq \r(2).
12．答案： eq \f(2,3)
解析：由 eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(ED,\s\up6(→))，得 eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DA,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，即λ＝1，μ＝－ eq \f(1,3)，所以λ＋μ＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3).
13．C ∵3 eq \(PA,\s\up6(→))＋5 eq \(PB,\s\up6(→))＋2 eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴3( eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→)))＋2( eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，
连接PD，PE，
则 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))， eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(PE,\s\up6(→))，
∴3 eq \(PD,\s\up6(→))＋2 eq \(PE,\s\up6(→))＝0，
∴D、P、E三点共线，
∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2)AC·h＝6，
∴S△PAC＝ eq \f(1,2)AC× eq \f(h,2)＝ eq \f(1,2)×6＝3.
14．A ∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))，
则 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(5,2) eq \(AE,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(AF,\s\up6(→))，
∴ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，
∴ eq \(AK,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＝λ( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＝λ( eq \f(5,2) eq \(AE,\s\up6(→))＋2 eq \(AF,\s\up6(→)))＝ eq \f(5,2)λ eq \(AE,\s\up6(→))＋2λ eq \(AF,\s\up6(→))，
由E，F，K三点共线可得 eq \f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝ eq \f(2,9).
15．答案：②③④
解析：∵ eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a－b，故①不正确；对于②， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,2)b，正确；对于③， eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(－a＋b)＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b，故③正确；对于④， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－ eq \f(1,2)a＋a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)a＝0，故④正确．
16．答案： eq \f(5,11)
解析：∵N，P，B三点共线，
∴ eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(6,11) eq \(AN,\s\up6(→))，
∴m＋ eq \f(6,11)＝1，
∴m＝ eq \f(5,11).