2023年江苏省连云港市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年江苏省连云港市中考数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣6的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
2．（3分）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕．会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米．其中数据“2370000”用科学记数法可表示为（　　）
A．2.37×106 B．2.37×105 C．0.237×107 D．237×104
4．（3分）下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是（　　）

A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
6．（3分）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　）
A．＝ B．＝﹣12
C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）
8．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：（）2＝　 　．
10．（3分）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b　 　0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）

11．（3分）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 　 　．（只填一个即可）
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
13．（3分）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　 　．

14．（3分）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　 　°．

15．（3分）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝　 　．

16．（3分）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17．（6分）计算|﹣4|+（π﹣）0﹣（）﹣1．
18．（6分）解方程组．
19．（6分）解方程＝﹣3．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值．

21．（10分）为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．
（1）下面的抽取方法中，应该选择 　 　．
A．从八年级随机抽取一个班的50名学生
B．从八年级女生中随机抽取50名学生
C．从八年级所有学生中随机抽取50名学生
（2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：

暑期课外阅读情况统计表
阅读数量（本）
人数
0
5
1
25
2
a
3本及以上
5
合计
50
统计表中的a＝　 　，补全条形统计图；
（3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；
（4）根据上述调查情况，写一条你的看法．
22．（10分）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．

现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
23．（10分）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．

25．（12分）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 　 　元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．

27．（12分）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　 　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．

2023年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣6的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣6的相反数是6．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：中沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕．会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米．其中数据“2370000”用科学记数法可表示为（　　）
A．2.37×106 B．2.37×105 C．0.237×107 D．237×104
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：2370000＝2.37×106，
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（3分）下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A．主视图是三角形，故此选项不符合题意；
B．主视图是梯形，故此选项不合题意；
C．主视图是圆，故此选项符合题意；
D．主视图是矩形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．
5．（3分）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是（　　）

A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【分析】根据扇形的定义进行判断．
【解答】解：由扇形的定义可知，只有乙是扇形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了认识平面图形—扇形，应熟知扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的圆弧围成的图形叫做扇形．
6．（3分）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】求出阴影部分的面积，根据概率是即可求出概率．
【解答】解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，
∴点P落在阴影部分的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查几何概率的求法，注意结合概率的性质进行计算求解．用到的知识点为：用到的知识点为：概率＝阴影面积与整个图形面积之比．
7．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　）
A．＝ B．＝﹣12
C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）
【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．
根据题意得：240x＝150（x+12）．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
【分析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2
＝+20﹣
＝20，
故选：D．

【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：（）2＝　5　．
【分析】（）2＝a（a≥0），据此即可求得答案．
【解答】解：（）2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．（3分）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b　＜　0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）

【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
则a+b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11．（3分）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 　4（大于2小于8的数即可）　．（只填一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系定理可得5﹣3＜x＜5+3，再解即可．
【解答】解：由题意得：5﹣3＜x＜5+3，
即：2＜x＜8，
∴x的值可以是：4（大于2小于8的数即可）．
故答案为：4（大于2小于8的数即可）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＜1　．
【分析】根据根的判别式得到Δ＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝4﹣4a＞0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
13．（3分）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　（3，150°）　．

【分析】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角．
【解答】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为（3，150°）．
故答案为：（3，150°）．
【点评】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．
14．（3分）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　60　°．

【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝120°，
要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，
则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．
15．（3分）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝　﹣　．

【分析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA＝，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，
∴，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴，
∴，
∴S△OEA＝，
∵S△OEA＝|k|，k＜0，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．

【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
16．（3分）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　﹣2　．
【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．
【解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3
＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3
＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3
＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3
＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3
＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2
＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，
∵x，y均为实数，
∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，
∴原式W≥﹣2，
即原式的W的最小值为：﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17．（6分）计算|﹣4|+（π﹣）0﹣（）﹣1．
【分析】根据绝对值的性质，零次幂和负整数指数幂进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+1﹣2
＝5﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（6分）解方程组．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．
19．（6分）解方程＝﹣3．
【分析】两边同时乘以最简公分母x﹣2去分母，然后去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1，即可算出x的值，然后再检验．
【解答】解：去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2），
去括号得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6，
移项得：2x﹣3x+3x＝5﹣3+6，
合并同类项得：2x＝8，
把x的系数化为1得：x＝4，
检验：把x＝4代入最简公分母x﹣2＝4﹣2＝2≠0，
故原分式方程的解为：x＝4．
【点评】此题主要考查了分式方程的解法，关键是不要忘记检验，没有分母的项不要漏乘，这是同学们最容易出错的地方．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值．

【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝AC＝2，由直角三角形的性质求出AD＝4，由勾股定理求出OD＝2，由锐角的正切求出tan∠EDO＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，
∵AC＝4，
∴OA＝2，
∵E是AD中点，
∴OE＝AD，
∵OE＝2，
∴AD＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴tan∠EDO＝＝＝．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，解直角三角形，关键是应用菱形的性质求出OA的长，由直角三角形斜边中线的性质得到AD的长，由勾股定理求出OD长，由正切定义即可求出tan∠EDO．
21．（10分）为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．
（1）下面的抽取方法中，应该选择 　C　．
A．从八年级随机抽取一个班的50名学生
B．从八年级女生中随机抽取50名学生
C．从八年级所有学生中随机抽取50名学生
（2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：

暑期课外阅读情况统计表
阅读数量（本）
人数
0
5
1
25
2
a
3本及以上
5
合计
50
统计表中的a＝　15　，补全条形统计图；
（3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；
（4）根据上述调查情况，写一条你的看法．
【分析】（1）根据样本要具有代表性解答即可；
（2）用总数减去其它类别的人数，可得a的值，进而补全条形统计图；
（3）用800乘样本中暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数所占比例即可；
（4）答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）下面的抽取方法中，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，
故答案为：C；
（2）由题意得，a＝50﹣5﹣25﹣5＝15，
补全条形统计图如下：

故答案为：15；
（3）800×＝320（人），
答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数约为320人；
（4）大多数学生暑期课外阅读数量不够多，要加强宣传课外阅读数的重要性（答案不唯一）．
【点评】本题考查了条形统计图，统计表以及用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键．
22．（10分）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．

现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 　　；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
23．（10分）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

【分析】过点B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分别在Rt△ABE和Rt△CBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，

在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，
过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，
∵FD＝BE＝68.08m，
∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．
答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握把实际问题转化成解直角三角形的问题是解决问题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．

【分析】（1）过B作AB的垂线即为过点B的⊙O的切线；
（2）由AB＝AC，AB∥CE，可得∠BCF＝∠ACB，而点D在以AB为直径的圆上，BF为⊙O的切线，可得∠BDC＝∠BFC，即可证明△BCD≌△BCF，从而BD＝BF．
【解答】（1）解：如图：

过B作BF⊥AB，交CE与F，直线BF即为所求直线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴BD＝BF．
【点评】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练运用三角形全等的判定定理．
25．（12分）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯：
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0～400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400～1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为 　534　元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x＞1200），该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
【分析】（1）用200乘以第一阶梯的电价即可；
（2）根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可；
（3）先根据甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，判断甲、乙两家的燃气量的范围，再分别计算出出燃气量即可．
【解答】解：（1）200×2.67＝534（元），
故答案为：534；
（2）根据题意得：y＝400×2.67+（1200﹣400）×3.15+3.63（x﹣1200）＝3.63x﹣768，
∴y与x的函数表达式为y＝3.63x﹣768（x＞1200）；
（3）∵400×2.67+（1200﹣400）×3.15＝3588＜3855，
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，
由（2）知，当y＝3855时，3.63x﹣768＝3855，
解得x＝1273.6，
又∵2.67×（100+400）+3.15×（1200+200﹣500）＝4170＞3855，且2.67×（100+400）＝1335＜3855．
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，
设乙户年用气量为am3 则有2.67×500+3.15（a﹣500）＝3855，
解得a＝1300，
1300﹣1273.6＝26.4≈26m3，
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．

【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线L1的顶点坐标P（1，﹣4），
∵m＝1，点P和点D关于直线x＝1对称，
∴点D的坐标为（1，6）；
（2）∵抛物线L1的顶点P（1，﹣4）与L2的顶点D关于直线y＝m对称，
∴D（1，2m+4），抛物线L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，
∴当x＝0时，C（0，2m+3），

①当∠BCD＝90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，
∵D（1，2m+4），
∴N（0，2m+4），
∵C（0，2m+3），
∴DN＝NC＝1，
∴∠DCN＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCM＝45°，
∵直线l∥x轴，
∴∠BMC＝90°，
∴∠CBM＝∠BCM＝45°，BM＝CM，
∵m≥﹣3，
∴BM＝CM＝（2m+3）﹣m＝m+3，
∴B（m+3，m），
∵点B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵当m＝3时，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此时，点B和点C重合，舍去，当m＝0时，符合题意；
将m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，
②当∠BDC＝90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，
同理，BT＝DT，
∴D（1，2m+4），
∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，
∵DN＝1，
∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，
∴B（m+5，m），
∵当B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，
解得m＝﹣3或m＝﹣4，
∵m≥﹣3，
∴m＝﹣3，此时，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合题意；
将m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，
③易知，当∠DBC＝90°，此种情况不存在；
综上所述，L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；
（3）如图3，由（2）知，当∠BDC＝90°时，m＝﹣3，
此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，
当∠BCD＝90°时，m＝0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，
由题意得，EF＝FG＝CD＝，取EF的中点Q，
在Rt△CEF中可求得CQ＝EF＝，在Rt△FGQ中可求得GQ＝，
当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为．
【点评】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析，综合应用．
27．（12分）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．

【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　①④　．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　y＝（x＞0，k＞0）　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
【分析】（1）证得Rt△ABE∽Rt△BMC，得出，由题意CM＝CD＝AB＝2，利用勾股定理求得，BM＝，即可得到＝，从而得到y＝＝（x＞0）；
（2）把P点的对称点Q（﹣a，﹣b）代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性；
（3）观察图象即可判断；
（4）分析函数的解析式即可得出函数的性质．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCM＝90°，
∴∠ABE+∠MBC＝90°，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠BCM，∠MBC＝∠BAE，
∴Rt△ABE∽Rt△BMC，
∴，
∵AB＝4，点M是CD的中点，
∴CM＝CD＝AB＝2，
在Rt△BMC中，BM＝＝＝，
∴＝，
∴y＝＝（x＞0）；
（2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：
若P（a，b）为图象上任意一点，则b＝，
∴设P（a，b）关于原点的对称点为Q，则Q（﹣a，﹣b），
∵当x＝﹣a时，y＝＝﹣，
∴Q（﹣a，﹣b）也在函数y＝的图象上，
∴当x取任意实数时，函数y＝的图象关于原点对称；
（3）观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确，
②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；故错误，
③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确．
故答案为：①④；
（4）y关于x的函数表达式为y＝（x＞0，k＞0），
当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：
当k＞0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为﹣2k＜y＜2k；
当k＜0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的哦值范围为水2k＜y＜﹣2k；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称；
故答案为：y＝（x＞0，k＞0）．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
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