艺术生高考数学专题讲义：考点12 导数的概念及其运算

考点十二  导数的概念及其运算

知识梳理

1．导数的概念

在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ .

2．导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．

相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：

f′(x)＝ ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．

4．基本初等函数的导数公式

(1) C′＝0 (C为常数)；

(2) (xα)′＝αxα－1(α为实数)；

(3) (sin x )′＝cos_x；

(4) (cos x)′＝－sin_x；

(5) (ax)′＝axln_a(a>0，a≠1)；

(6) (ex )′＝ex；

(7) (logax)′＝(a>0，且a≠1)；

(8) (ln x)′＝.

5.导数的运算法则

(1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3) ′＝(g(x)≠0)．

典例剖析

题型一  导数的运算

例1　求下列函数的导数

(1)y＝ex·ln x；

(2)y＝x；

(3)y＝．

解析  (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·

＝ex(ln x＋)．

(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.

(3)y′＝

＝＝.

变式训练  求下列函数的导数

(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；

(2)y＝x2sin x；

解析　(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)

＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，

∴y′＝18x2－10x－4.

(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

解题要点  求函数的导数一般有如下法则：

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导．

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

题型二  曲线的切线问题

例2　曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．

答案　5x＋y＋2＝0

解析　易知点(0，－2)在曲线上，

又因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，

所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.

变式训练  若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

答案　(－ln 2，2)

解析　设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，

∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，

∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，

∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2，2)．

例3　若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于___________．

答案　－1或－

解析　因为y＝x3，所以y′＝3x2，

设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，

则在该点处的切线斜率为k＝3x，

所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.

又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.

当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，

当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.

变式训练  已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．

答案　9

解析　∵点A(0,16)不在曲线y＝f(x)上，

∴先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0＝x－3x0，①

求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，

又切线l过A、M两点，所以k＝，则3x－3＝，②

联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，

从而实数a的值为a＝k＝＝9.

解题要点  解决切线问题的理论依据是：导数的几何意义是切点处切线的斜率.解题时需弄清所给点是否为切点，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．常见题型有三种：

(1)已知切点为A(x0，f(x0))，求切线方程，则先求出斜率k＝f′(x0)，从而切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．

当堂练习

1．已知函数f(x)＝cosx，则f′(x)＝________．

答案  －

解析  f′(x)＝－cosx－＝－.

2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为________．

答案  4x－y－3＝0

解析  设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝4x＝4，

∴x0＝1，故切点为P(1,1)，所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.

3. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则________．(填序号)

① a＝1，b＝1　　　② a＝－1，b＝1    ③a＝1，b＝－1　　④ a＝－1，b＝－1

答案  ①

解析  ∵y′＝2x＋a，

∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程斜率为a，切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.

∴a＝1，b＝1.

4．已知函数f(x)＝xsin(x＋)，则f′()＝________．

答案  －

解析  ∵f(x)＝xsin(x＋)＝xcosx，

∴f′(x)＝cosx－xsinx，

∴f′()＝cos－sin＝－.

5．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________．

答案  －6

解析  由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6．

课后作业

一、    填空题

1．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________．

答案 2

解析  ∵y′＝1＋ln x，∴y′|x＝e＝1＋ln e＝2，∴－×2＝－1，∴a＝2.

2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数f′(x)＝________．

答案  3(x2－a2)

解析  f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．

3．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为________．

答案　(1,1)或(－1，－1)

解析　y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.

当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.

4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是________．

答案　2x－y－1＝0

解析　对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k＝2x0.

由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

5．若f(x)＝xex，则f′(1)＝________．

答案  2e

解析  f′(x) ＝ex＋xex，f′(1)＝2e

6．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．

答案  y＝2x＋1

解析  因为y′＝，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2，所以，切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

7．曲线y＝x2＋1在P处的切线的倾斜角为________．

答案  45°

解析  ∵y′＝2x，∴y′|x＝＝1.

∴切线的倾斜角为45°.

8．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为________．

答案 

解析  ∵y′＝e－2x·(－2)，∴k＝y′|x＝0＝－2;切线方程为y－2＝－2x，即y＝－2x＋2，

由得S＝×1×＝.

9．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．

答案　4

解析　∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.

又P(－2,6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.

10． (2015新课标Ⅰ文)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.

答案　1

解析　f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.

(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．

将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.

11．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

答案　(1,1)

解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，曲线y＝ (x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

二、解答题

12．求下列函数的导数：

(1)y＝；

(2)y＝3xex－2x＋e.

解析  (1)y′＝＝－.

(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′

＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

13．已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

解析　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.

∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

∴切线的方程为y＋6＝13(x－2).

即y＝13x－32.

(2)设切点坐标为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，

∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.

又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

整理得，x＝－8，

∴x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

得切点坐标(－2，－26)，

k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．