新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(含解析)

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标　1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．

知识点　二倍角公式

思考　倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？

答案　倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况．

1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝        .

答案　

2．已知cos α＝，则cos 2α＝        .

答案　－

3．cos245°－sin245°＝        .

答案　0

4．已知tan α＝，则tan 2α＝        .

答案　－

一、二倍角公式的正用、逆用

例1　求下列各式的值：

(1)sin2π－cos2π；

(2)；

(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

解　(1)原式＝－＝－cos π

＝－cos＝cos ＝.

(2)原式＝＝2×

＝2×＝2.

(3)原式＝

＝

＝

＝＝＝.

反思感悟　对于给角求值问题，一般有两类

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．

跟踪训练1　求下列各式的值：

(1)sin cos ；

(2)；

(3)cos4－sin4.

解　(1)原式＝×2sin cos ＝×sin ＝.

(2)原式＝·＝×tan 45°＝.

(3)原式＝

＝cos2－sin2

＝cos ＝.

二、给值求值

例2　(1)已知sin＝，则sin 2α的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　∵2α＝2－，

∴sin 2α＝sin

＝－sin

＝－cos 2

＝－

＝－

＝－.

(2)已知sin＝，那么cos等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　A

解析　∵＋2α＝π－2，

∴cos＝cos

＝－cos 2

＝－

＝－＝－.

(学生留)

反思感悟　解决给值求值问题的方法

(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．

(2)注意几种公式的灵活应用，如：

①sin 2x＝cos＝cos

＝2cos2－1＝1－2sin2.

②cos 2x＝sin＝sin

＝2sincos.

跟踪训练2　已知sin＝，0<x<，求的值．

解　原式＝

＝

＝2sin.

∵sin＝cos＝，且0<x<，

∴＋x∈，

∴sin＝＝，

∴原式＝2×＝.

三、化简与证明

例3　(1)化简：.

解　原式＝

＝

＝＝＝－4.

(2)求证：＝tan4A.

证明　因为左边＝

＝2＝2＝(tan2A)2

＝tan4A＝右边，

所以＝tan4A.

反思感悟　证明问题的原则及一般步骤

(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．

(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．

跟踪训练3　(1)化简：＋.

解　原式＝＋

＝|sin 20°－cos 20°|＋

＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°

＝cos 20°.

(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.

证明　左边＝－

＝＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立．

1．下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin 15°cos 15°   B．cos215°－sin215°

C．2sin215°   D．sin215°＋cos215°

答案　B

解析　2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；

cos215°－sin215°＝cos 30°＝；

2sin215°＝1－cos 30°＝1－；

sin215°＋cos215°＝1，故选B.

2．若sin＝，则cos α等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　因为sin ＝，

所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.

3．sin 2α＝－，则cos2的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　cos2＝

＝＝＝＝.

4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是        ．

答案　

解析　∵sin 2α＝－sin α，

∴2sin αcos α＝－sin α.

由α∈知sin α≠0，

∴cos α＝－，∴α＝，

∴sin α＝，tan α＝－，

∴tan 2α＝＝＝.

5.＝        .

答案　2

解析　原式＝＝＝2.

1．知识清单：

(1)二倍角公式的推导．

(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围．

1．(多选)下列各式中，一定成立的是(　　)

A．sin 8α＝2sin 4α·cos 4α

B．1－sin2α＝(sin α－cos α)2

C．sin2α＝

D．tan 2α＝

答案　AC

2．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)

A.  B.  C.  D．1＋

答案　C

解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°

＝1＋sin 30°＝1＋＝.

3．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵sin2α＋cos 2α＝，

∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.

∴cos α＝±.

又α∈，∴cos α＝，sin α＝.

∴tan α＝.

4．若＝，则cos的值为(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　A

解析　因为＝，

所以＝，所以cos α－sin α＝，

平方得1－2cos αsin α＝，

所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.

5．已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，则α＋2β的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　tan 2β＝＝，

tan(α＋2β)＝＝1.

因为α，β均为锐角，且tan α＝<1，tan β＝<1，

所以α，β∈，

所以α＋2β∈，

所以α＋2β＝.

6．化简：＝        .

答案　－1

解析　原式＝＝－

＝＝－1.

7．已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝        .

答案　－

解析　由已知，得＝3，解得tan θ＝.

所以sin 2θ－2cos2θ＝

＝＝＝－.

8．已知cos＝，则sin＝        ，sin 2α＝        .

答案　　－

解析　∵α＋＝α－＋，

∴sin＝sin＝cos＝，2α＝2＋.

∴sin 2α＝sin＝cos 2

＝2cos2－1

＝2×2－1＝－.

9．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．

解　原式＝＝.

因为α为第二象限角，且sin α＝，

所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－，

所以原式＝＝－.

10．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

解　(1)因为tan α＝＝，

所以sin α＝cos α.

因为sin2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝，

所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

所以tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，

所以tan 2α＝＝－.

所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

11．设sin＝，则sin等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　因为sin＝，所以sin

＝sin＝－cos

＝－＝－.

12．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．－2  D．－4

答案　D

解析　∵f(x)＝sin－3cos x

＝－cos 2x－3cos x

＝－2cos2x－3cos x＋1，

令t＝cos x，则t∈[－1,1]，

∴g(t)＝－2t2－3t＋1.

又函数g(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，

∴当t＝1时，g(t)有最小值－4.

综上，f(x)的最小值为－4.

13．已知函数f(x)＝，则(　　)

A．函数f(x)的最大值为，无最小值

B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0

C．函数f(x)的最大值为，无最小值

D．函数f(x)的最小值为－，无最大值

答案　D

解析　因为f(x)＝＝

＝＝－tan x,0<x≤，

所以函数f(x)的最小值为－，无最大值，故选D.

14.(2π<α<3π)的化简结果为        ．

答案　2sin 

解析　因为2π<α<3π，所以π<<，<<，

所以＝

＝＝＝2sin.

15．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　A

解析　由sin α＋cos α＝，

平方得1＋2sin αcos α＝，

∴2sin αcos α＝－.

∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝.

∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.

∴cos α－sin α＝－，

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－.

16．在△ABC中，sin Acos A＝sin Bcos B．且A≠B.

(1)求证：A＋B＝；

(2)求sin A＋sin B的取值范围；

(3)若(sin Asin B)x＝sin A＋sin B，试确定实数x的取值范围．

(1)证明　因为sin Acos A＝sin Bcos B，

所以sin Acos A－sin Bcos B＝0，

即sin 2A＝sin 2B，

解得2A＝2B或2A＋2B＝π，

化简可得A＝B，或A＋B＝，

但A≠B，所以A＋B＝.

(2)解　由(1)可知A＋B＝，故sin A＋sin B

＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，

因为0<A<，所以<A＋<，

所以1<sin≤，

故sin A＋sin B的取值范围是(1，]．

(3)解　由题意可知x＝＝，

设sin A＋cos A＝t∈(1，]，

则t2＝1＋2sin Acos A，

故sin Acos A＝，代入得x＝＝＝≥＝2，

故实数x的取值范围为[2，＋∞)．