新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(含解析)

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

学习目标　1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系.2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．

知识点一　两角和与差的余弦公式

思考　利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？

答案　推导过程中，利用了角的代换的方法．α＋β＝α－(－β)．

知识点二　两角和与差的正弦公式

1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________.

答案　

解析　原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝.

2．sin ＝________.

答案　

解析　sin ＝sin

＝sin cos ＋cos sin 

＝×＋×＝.

3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________.

答案　－

解析　∵cos α＝－，α是第三象限的角，

∴sin α＝－＝－，

∴sin＝sin α－cos α

＝×－×＝－.

4.sin 15°＋cos 15°＝________.

答案　

解析　原式＝sin 15°·cos 30°＋cos 15°·sin 30°＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝.

一、给值(式)求值

例1　(1)的值是(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　A

解析　原式＝

＝

＝

＝＝.

(2)已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．

解　∵<β<α<π，

∴－π<－β<－.

∴0<α－β<，π<α＋β<π.

∴sin(α－β)＝

＝＝，

cos(α＋β)＝－

＝－＝－.

∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]

＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)

＝×－×＝－，

即cos 2α＝－.

(学生留)反思感悟　给值(式)求值的策略

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

跟踪训练1　(1)化简：＝________.

答案　

解析　

＝

＝

＝

＝sin 30°＝.

(2)已知cos＝(α为锐角)，则sin α等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　因为α∈，cos＝>0，

所以α＋∈.

所以sin＝

＝＝.

所以sin α＝sin

＝sincos －cossin 

＝×－×＝.

二、给值求角

例2　已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．

解　因为0<α<，cos α＝，

所以sin α＝.

又因为0<β<，

所以0<α＋β<π.

因为sin(α＋β)＝<sin α，

所以cos(α＋β)＝－，

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝.

又因为0<β<，所以β＝.

反思感悟　解决给值(式)求角问题的方法

解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．

跟踪训练2　已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．

解　因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，

所以cos α＝，sin β＝.

所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

＝×－×＝－.

又因为α，β均为锐角，

所以－<α－β<.故α－β＝－.

三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用

例3　(1)(多选)f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上递增的是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　BC

解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x＝

＝sin.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

整理得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以f(x)的增区间为，k∈Z.

经检验B，C正确．

(2)若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是________．

答案　[－1,3]

解析　sin x－cos x＝m－1，

即2＝m－1，

即2sin＝m－1，

∵sin∈[－1,1]．

∴－2≤m－1≤2，

即－1≤m≤3.

反思感悟　对形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式．即y＝Asin(ωx＋φ)的形式．

跟踪训练3　(1)已知sin＝，则cos x＋cos的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　cos x＋cos

＝cos x＋cos x＋sin x

＝cos x＋sin x

＝sin＝.

(2)函数y＝cos x＋cos的最小值是________，最大值是________．

答案　－　

解析　y＝cos x＋cos xcos －sin xsin 

＝cos x－sin x＝

＝cos，

当cos＝－1时，ymin＝－.

当cos＝1时，ymax＝.

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°

＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.

2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　A

3．化简sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)＝________.

答案　1

解析　原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.

4．sin 15°－cos 15°＝________.

答案　－

解析　sin 15°－cos 15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin 45°＝－.

5．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.

答案　

解析　∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，

∴cos α＝，sin β＝.

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.

又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.

1．知识清单：

(1)公式的推导．

(2)给式求值、给值求值、给值求角．

(3)公式的正用、逆用、变形用．

2．方法归纳：构造法．

3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围．

1．sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°

＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°

＝cos(50°＋10°)＝cos 60°＝，故选D.

2．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是(　　)

A.cos   B．2cos

C.sin   D．2sin

答案　BD

解析　cos α－sin α＝2

＝2

＝2cos＝2sin.

3．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　因为cos B＝且0<B<π，

所以sin B＝.又A＝，

所以sin C＝sin(A＋B)＝sin cos B＋cos sin B

＝×＋×＝.

4．函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)的奇偶性为(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

答案　A

解析　f(x)＝sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.

∴f(x)为奇函数．

5．若α是锐角，且满足sin＝，则cos α的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为α是锐角，且sin＝>0，

所以α－也为锐角，

所以cos＝＝＝，cos α＝cos＝coscos －sinsin ＝×－×＝.

6．已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，则cos(α＋β)＝________，sin(α＋β)＝________.

答案　　

解析　由题意得cos α＝－，sin β＝，

所以cos(α＋β)＝×－×＝，

sin(α＋β)＝×＋×＝.

7．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是________．

答案　－1

解析　＝sin 15°－cos 15°

＝2

＝2sin(15°－45°)

＝2sin(－30°)

＝－1.

8．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.

答案　－

解析　∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，

∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①

cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②

①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，

∴sin(α＋β)＝－.

9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．

解　∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α

＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α

＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，

∴sin β＝－，又β是第三象限角，

∴cos β＝－＝－，

∴sin＝sin βcos ＋cos βsin 

＝×＋×＝－.

10．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：

(1)cos(2α－β)的值；

(2)β的值．

解　(1)因为α，β∈，所以α－β∈.

又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.

所以sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝.

所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.

(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝，

因为β∈，所以β＝.

11．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．等腰三角形   D．等边三角形

答案　C

解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)，

由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B

⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B

⇒sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.

∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π.

∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．

12．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)

A．3α－β＝   B．3α＋β＝

C．2α－β＝   D．2α＋β＝

答案　C

解析　＝，

∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

∴sin(α－β)＝cos α＝sin，

又α－β∈，－α∈.

∴α－β＝－α，即2α－β＝.

13．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为________．

答案　

解析　∵<α<，<β<，

∴－<－α<0，<＋β<.

∴cos＝＝，

cos＝－＝－，

∴cos(α＋β)＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝－，

又<α＋β<π，∴α＋β＝.

14．计算：(tan 10°－)·＝________.

答案　－2

解析　原式＝(tan 10°－tan 60°)·

＝·

＝·

＝－·

＝－

＝－2.

15．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)

A.   B.π

C.或π   D.或π

答案　A

解析　由题意知

①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.

则sin(A＋B)＝.

∴在△ABC中，sin C＝，

∴C＝或C＝.

若C＝，则A＋B＝，∴1－3cos A＝4sin B>0.

∴cos A<.又<，∴A>.

此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠，∴C＝.

16．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f ＝.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f .

解　(1)∵f(x)＝Asin，且f ＝，

∴Asin＝，即Asin ＝，∴A＝3.

(2)由(1)知f(x)＝3sin，

∵f(θ)－f(－θ)＝，

∴3sin－3sin＝，

展开得3－3＝，化简得sin θ＝.

∵θ∈，∴cos θ＝.

∴f ＝3sin

＝3sin＝3cos θ＝.