新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式(含解析)

§5.5　三角恒等变换

5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

学习目标　 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．

知识点　两角差的余弦公式

思考　两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？

答案　公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．

1．cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　×　)

2．当α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　×　)

3．对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　×　)

4．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　√　)

一、两角差的余弦公式的简单应用

例1　求下列各式的值：

(1)cos ；

(2)cos cos ＋cos sin ；

(3)cos 105°＋sin 105°.

解　(1)cos ＝cos＝－cos 

＝－cos＝－cos

＝－

＝－

＝－.

(2)原式＝cos cos ＋cossin

＝cos cos ＋sin sin 

＝cos

＝cos ＝.

(3)cos 105°＋sin 105°

＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°

＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.

反思感悟　两角差的余弦公式常见题型及解法

(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．

(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．

(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．

跟踪训练1　化简下列各式：

(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；

(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°；

(3)sin ＋cos .

解　(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]

＝cos 45°＝.

(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)

＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°

＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°

＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.

(3)原式＝2

＝2

＝2cos＝2cos＝.

二、给值求值

例2　(1)已知cos α＝，α∈，则cos＝        .

答案　

解析　因为cos α＝，α∈，

所以sin α＝－，

所以cos＝cos αcos ＋sin αsin 

＝×＋×

＝.

(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．

解　因为α，β∈，

所以0<α＋β<π，

由cos(α＋β)＝－，

得sin(α＋β)＝，

又sin α＝，

所以cos α＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝×＋×＝.

(学生留)

反思感悟　给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝＋；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β)．

跟踪训练2　已知sin＝－，α∈，则cos α＝        .

答案　

解析　∵α∈，∴α＋∈，

∴cos＝＝＝，

∴cos α＝cos

＝coscos ＋sinsin 

＝×＋×

＝.

三、给值求角

例3　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．

解　由cos α＝，0<α<，得

sin α＝＝＝.

由0<β<α<，得0<α－β<.

又∵cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝

＝＝.

∵β＝α－(α－β)，

∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.

∵0<β<，∴β＝.

反思感悟　已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．

(3)结合三角函数值及角的范围求角．

提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．

跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．

解　∵α，β均为锐角，

∴sin α＝，sin β＝.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝.

又sin α<sin β，∴0<α<β<，

∴－<α－β<0.

故α－β＝－.

1．cos 20°等于(　　)

A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°

B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°

C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°

D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°

答案　B

解析　cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·sin 10°.

2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos 60°＝.

3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为α∈，所以sin α＝－，

所以cos＝cos αcos ＋sin αsin 

＝×＋×＝.

4．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α

＝×＋×＝.

5．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝        .

答案　

解析　因为0<α<，0<β<，α<β.

所以－<α－β<0.

又cos(α－β)＝，

所以sin(α－β)＝－＝－.

又因为0<2α<π，cos 2α＝，

所以sin 2α＝＝，

所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]

＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)

＝×＋×

＝－.

又0<α＋β<π，故α＋β＝.

1．知识清单：

(1)两角差的余弦公式的推导．

(2)给角求值，给值求值，给值求角．

2．方法归纳：构造法．

3．常见误区：求角时忽视角的范围．

1．下列各式化简错误的是(　　)

A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°

B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°

C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°

D．cos＝cos α＋sin α

答案　D

解析　根据两角差的余弦公式知，A，B，C均正确，D选项错误．

2．已知sin α＝，α∈，则cos等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　B

解析　由题意可知cos α＝，

cos＝cos＝cos

＝cos αcos＋sin αsin

＝×＋×＝.

3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　A

解析　∵α为锐角，且cos α＝，

∴sin α＝＝.

∵β为第三象限角，

且sin β＝－，

∴cos β＝－＝－，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝－.

4．(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　AC

解析　对比公式特征知，cos φ＝，sin φ＝－，

故φ＝－，都合适．

5．若α∈(0，π)，且cos＝，则cos α等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　因为α∈(0，π)且cos＝，

所以sin＝.

cos α＝cos

＝×＋×＝.

6．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan α＝          ，cos(α－60°)＝          .

答案　－　

解析　因为sin α＝，α是第二象限角，

所以cos α＝－，

所以tan α＝＝－，

cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.

7．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝        .

答案　

解析　原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝.

8．已知cos＝，则cos α＋sin α的值为        ．

答案　

解析　因为cos＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，

所以cos α＋sin α＝2＝.

9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．

解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，

得sin(α－β)＝.

由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，

得sin(α＋β)＝－.

∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

又∵α＋β∈，α－β∈，∴2β∈.

∴2β＝π，则β＝.

10．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求β的值．

解　因为α∈，tan α＝4，

所以sin α＝4cos α，①

sin2α＋cos2α＝1，②

由①②得sin α＝，cos α＝.

因为α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝×＋×＝.

所以cos β＝.

又0<β<，所以β＝.

11．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是(　　)

A．－   B．±

C．－1   D．±1

答案　C

解析　cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x

＝cos x＋sin x＝

＝cos＝－1.

12．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　B

解析　因为sin α－sin β＝1－，

所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－.①

又因为cos α－cos β＝，

所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝.②

所以①＋②得2cos(α－β)＝，

所以cos(α－β)＝，故选B.

13．已知函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x，则f(x)的最小正周期为        ，值域为        ．

答案　π　[－，]

解析　f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝

＝

＝cos.

∴T＝＝π，f(x)的值域为[－，]．

14．已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝        ，cos A＝        .

答案　　

解析　在△ABC中，

因为cos B＝－<0，所以B为钝角，

则sin B＝，所以A＋B∈，

由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－，

所以cos A＝cos [(A＋B)－B]

＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B

＝－×＋×＝.

15．化简：＝        .

答案　

解析　原式＝

＝

＝

＝＝.

16．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f ＝－，f ＝，求cos(α－β)的值．

解　(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，

所以10π＝，所以ω＝.

(2)因为f ＝－，

所以2cos

＝2cos＝－，

所以sin α＝，

又因为f ＝，

所以2cos＝2cos β＝，

所以cos β＝，

因为α，β∈，

所以cos α＝，sin β＝，

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝.