新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.4.3 正切函数的性质与图象(含解析)

5．4.3　正切函数的性质与图象

学习目标　1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．

知识点　正切函数的图象与性质

思考　正切函数y＝tan x的图象与直线x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？

答案　没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．

1．正切函数的定义域和值域都是R.(　×　)

2．正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　√　)

3．正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　×　)

4．正切函数是增函数．(　×　)

一、正切函数的奇偶性与周期性

例1　(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)

A.  B.  C．π  D．2π

(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．非奇非偶函数   D．既是奇函数又是偶函数

答案　(1)A　(2)A

解析　(1)方法一　T＝＝＝.

方法二　f(x)＝tan＝tan

＝tan

＝f ，

∴T＝.

(2)f(x)的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝

－sin x－tan x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

反思感悟　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略

(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．

(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．

跟踪训练1　(1)函数f(x)＝(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

(2)若函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.

答案　(1)A　(2)±2

解析　(1)要使f(x)有意义，必须满足

即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，

∴函数f(x)的定义域关于原点对称．

又f(－x)＝＝－＝－f(x)，

故f(x)＝是奇函数．

(2)依题意有T＝＝，

∴|ω|＝2，∴ω＝±2.

二、正切函数的单调性及其应用

例2　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：

①tan ________tan ；

②tan ________tan.

答案　①<　②<

解析　①tan ＝tan ，且0<<<，

又y＝tan x在上单调递增，

所以tan <tan ，即tan <tan .

②tan ＝tan ，tan＝tan ，

因为0<<<，

又y＝tan x在上单调递增，

所以tan <tan ，则tan <tan.

(2)求函数y＝tan的单调区间．

解　∵y＝tan x在(k∈Z)上是增函数，

∴－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，

即－＋<x<＋(k∈Z)．

∴函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．

(学生留)

反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法

①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

②运用单调性比较大小关系．

(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法

y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．

跟踪训练2　求函数y＝3tan的单调递减区间．

解　y＝3tan可化为y＝－3tan，

由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，

得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，

故单调递减区间为，k∈Z.

三、正切函数图象与性质的综合应用

例3　设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；

(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，

得x≠＋2kπ(k∈Z)，

所以f(x)的定义域是.

因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.

由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)，无单调递减区间．

由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，

故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．

(2)由－1≤tan≤，

得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，

解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

所以不等式－1≤f(x)≤的解集是

.

反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点

(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．

(2)单调性：正切函数在每一个区间

(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增．

跟踪训练3　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．

解　由y＝|tan x|得y＝

其图象如图：

由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．

函数y＝|tan x|的周期T＝π，

函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.

1．函数y＝tan的最小正周期为(　　)

A．2π  B．π  C.  D.

答案　C

解析　根据周期公式计算得T＝＝.

2．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　A

解析　由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，

解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.

3．函数y＝tan的一个对称中心是(　　)

A．(0,0)  B.  C.  D．(π，0)

答案　C

解析　令x＋＝，得x＝－，k∈Z，

所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.

令k＝2，可得函数的一个对称中心为.

4．函数y＝tan，x∈的值域为________．

答案　(－1，)

解析　∵x∈，

∴x－∈，

∴tan∈(－1，)，

∴值域为(－1，)．

5．比较大小：tan ________tan .

答案　>

解析　因为tan ＝tan ，

tan ＝tan ，

又0<<<，

y＝tan x在内单调递增，

所以tan <tan ，

即tan <tan .

1．知识清单：

(1)正切函数图象的画法．

(2)正切函数的性质．

2．方法归纳：整体代换、换元法．

3．常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)．

1．函数y＝tan的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.

2．函数f(x)＝sin xtan x(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．是非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

答案　B

解析　f(x)的定义域为，关于原点对称，

又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为.则ω的值是(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　C

解析　由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，又∵ω>0，∴ω＝4.

4．(多选)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝   B．x＝－

C．x＝   D．x＝－

答案　AD

解析　令2x－＝＋kπ，k∈Z，

得x＝＋，k∈Z，

∴直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan的图象不相交，

∴令k＝－1，x＝－.

k＝0，x＝.

5．(多选)下列关于函数y＝tan的说法不正确的是(　　)

A．在区间上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于点对称

D．图象关于直线x＝对称

答案　ACD

解析　令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．

6．函数y＝tan的最小正周期是________，单调递增区间是________________．

答案　　，k∈Z

解析　因为y＝tan，

所以T＝，

令－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，－<x<＋，k∈Z，所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z.

7．函数y＝的定义域为_________________________________________________．

答案　

解析　令1－tan x≥0，

即tan x≤1，

由正切函数的图象知－＋kπ<x≤＋kπ，k∈Z.

8．函数y＝的值域为__________________________________________．

答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析　当－<x<0时，－1<tan x<0，

所以<－1；

当0<x<时，0<tan x<1，

所以>1.

即当x∈∪时，

函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

9．设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．

解　(1)∵ω＝，

∴最小正周期T＝＝＝3π.

令－＝(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)，

∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．

(2)令－＝0，则x＝π；

令－＝，则x＝；

令－＝－，则x＝－.

从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．

10．已知函数f(x)＝3tan.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f(π)与f 的大小．

解　(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，

所以T＝＝＝4π.

由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)．

因为y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，

所以f(x)＝－3tan在

(k∈Z)内单调递减．

故原函数的最小正周期为4π.

单调递减区间为(k∈Z)．

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，

f ＝3tan＝3tan＝－3tan ，

因为0<<<，

且y＝tan x 在上单调递增，

所以tan <tan ，所以f(π)>f .

11．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　A

解析　因为函数的图象过点，

所以tan＝0，

所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.

12．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　)

A．0<ω≤1   B．－1≤ω<0

C．ω≥1   D．ω≤－1

答案　B

解析　∵y＝tan ωx在内单调递减，

∴ω<0且T＝≥π，

∴－1≤ω<0.

13．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；

③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)

A．①②③④   B．①③④②

C．③②④①   D．①②④③

答案　D

解析　y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D.

14．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．

答案　[－4,4]

解析　∵－≤x≤，

∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1,1]，

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4,4]．

15．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

答案　D

解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；

当x＝π时，y＝0；

当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x，且－2<y<0.

16．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．

解　(1)由题意可得f(x)的周期为

T＝－＝＝，因为ω>0，所以ω＝，

得f(x)＝Atan，它的图象过点，

所以tan＝0，即tan＝0，

所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，

又|φ|<，所以φ＝－，

于是f(x)＝Atan，

它的图象过点(0，－3)，

所以Atan＝－3，得A＝3.

所以f(x)＝3tan.

(2)因为3tan≥，

所以tan≥，

得kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z，

解得＋≤x<＋，k∈Z，

所以满足f(x)≥的x的取值范围是

，k∈Z.