人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀第2课时练习
展开第2课时 基本不等式的应用
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
知识点 用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意:
(1)x,y是正数.
(2)①如果xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
②如果x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
思考1 利用基本不等式求最大值或最小值时,应注意什么问题呢?
答案 利用基本不等式求最值时应注意:一正,二定,三相等.
思考2 x+的最小值是2吗?
答案 只有当x>0时,才有x+≥2=2,即x+的最小值是2;
当x<0时,x+没有最小值,此时x+=-≤-2=-2,
即当x<0时,x+的最大值是-2.
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为________.
答案 x>2y
解析 因为不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以x-2y>0,即x>2y.
2.已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是________.
答案 2
解析 a+b≥2=2,
当且仅当a=b=时,等号成立.
3.已知m,n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是________.
答案 50
解析 ∵m2+n2≥2mn,
∴mn≤=50.
当且仅当m=n=±5时,等号成立.
4.已知0
解析 由题意知1-2x>0,则y=x(1-2x)=·2x·(1-2x)≤2=,
当且仅当2x=1-2x,即x=时,等号成立.
一、利用基本不等式求最值
例1 (1)若x<0,求+3x的最大值;
(2)若x>2,求+x的最小值;
(3)已知x>0,y>0,且满足+=1.求x+2y的最小值.
解 (1)因为x<0,
所以+3x=-
≤-2=-12,
当且仅当-=-3x,即x=-2时,等号成立,
所以+3x的最大值为-12.
(2)因为x>2,所以x-2>0,
+x=+x-2+2≥2+2=4,
当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,
所以+x的最小值为4.
(3)因为x>0,y>0,+=1,
所以x+2y=(x+2y)·=8+++2=10++≥10+2=18,
当且仅当=,即x=12,y=3时等号成立,
所以x+2y的最小值为18.
延伸探究
1.若把例1(3)的条件“+=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值.
解 因为x>0,y>0,所以+=(x+2y)
=8+++2=10++≥10+2=18,
当且仅当=,x+2y=1,即x=,y=时,等号成立,所以+的最小值为18.
2.若把例1(3)的条件“+=1”改为“x+8y=xy”,其他条件不变,求x+2y的最小值.
解 因为x>0,y>0,由x+8y=xy,两边同时除以xy,
可得+=1,
所以x+2y=(x+2y)=10++
≥10+2=18,
当且仅当即时,等号成立,
所以当x=12,y=3时,x+2y的最小值为18.
(学生)
反思感悟 基本不等式求最值的两种常用方法
(1)拼凑法,拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意验证等号成立的条件.
(2)常数代换法,常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
跟踪训练1 (1)当x>0时,求+4x的最小值;
(2)当x>1时,求2x+的最小值.
解 (1)∵x>0,∴>0,4x>0.
∴+4x≥2=8.
当且仅当=4x,即x=时,等号成立,
∴当x>0时,+4x的最小值为8.
(2)2x+=2+2,
∵x>1,∴x-1>0,
∴2x+≥2×2+2=10,
当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.
∴当x>1时,2x+的最小值为10.
二、基本不等式的实际应用
例2 2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射,它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料,甲工厂承担了某种材料的生产,并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10),每小时可消耗A材料(kx2+9)千克,已知每小时生产1千克该产品时,消耗A材料10千克.
(1)设生产m千克该产品,消耗A材料y千克,试把y表示为x的函数;
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少,工厂应选取何种生产速度?并求消耗的A材料最少为多少?
解 (1)由题意,得k+9=10,即k=1,
生产m千克该产品需要的时间是,
所以y=(kx2+9)=m,1≤x≤10.
(2)由(1)知,生产1 000千克该产品消耗的A材料为
y=1 000≥1 000×2=6 000(千克),
当且仅当x=,即x=3时,等号成立,
故工厂应选取3千克/时的生产速度,消耗的A材料最少,最少为6 000千克.
(学生)
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)先理解题意,设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
跟踪训练2 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
解 设矩形的一边长为x m,则另一边长为 m,
因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m,长为m.
由得4
=808-
≤808-2=808-160=648(m2).
当且仅当2x=,即x=40时,等号成立.
因此当矩形温室的两边长分别为40 m,20 m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648 m2.
三、基本不等式的综合应用
例3 已知4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a的值为________.
答案 36
解析 4x+≥2=4,
当且仅当4x=,即a=4x2=36时,等号成立,
∴a=36.
(学生)
反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数,转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
跟踪训练3 已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于( )
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 B
解析 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,
所以要使+≥恒成立,
只需m≤(2a+b)恒成立,
而(2a+b)=4+++1≥5+4=9,
当且仅当a=b时,等号成立,所以m≤9.
基本不等式在实际问题中的应用
典例 如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.
(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试将y表示成x的表达式.
(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
解 (1)由题意,得由x>0,且l-3x>0,可得x的范围为0
=,当且仅当3x=l-3x,即x=时,等号成立,
此时l-3x=,
因此当围成的长方形场地的长为,宽为时,
这块长方形场地的面积最大,
这时的长为l-3x=,最大面积为.
[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象,建立和求解模型的过程,其一般步骤是:建模→解模→回归验证.
1.下列等式中最小值为4的是( )
A.y=x+ B.y=2t+
C.y=4t+(t>0) D.y=t+
答案 C
解析 A中x=-1时,y=-5<4;
B中t=-1时,y=-3<4;
C中y=4t+≥2=4,
当且仅当t=时,等号成立;
D中t=-1时,y=-2<4.
2.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是( )
A.400 B.100 C.40 D.20
答案 A
解析 ∵≤(x>0,y>0),
∴xy≤2=2=400.
当且仅当x=y=20时,等号成立.
3.设x>0,则3-3x-的最大值是( )
A.3 B.3-2
C.-1 D.3-2
答案 D
解析 ∵x>0,∴3x+≥2=2,
当且仅当x=时,等号成立,
∴-≤-2,
则3-3x-≤3-2.
4.如果a>0,那么a++2的最小值是________.
答案 4
解析 因为a>0,
所以a++2≥2+2=2+2=4,
当且仅当a=1时等号成立.
5.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.
答案 5 8
解析 每台机器运转x年的年平均利润为
=18-,且x>0,
故≤18-2=8,
当且仅当x=5时,等号成立,
所以,当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.
1.知识清单:
(1)利用基本不等式求最值.
(2)基本不等式的实际应用.
(3)基本不等式的综合应用.
2.方法归纳:配凑法、常值代换法.
3.常见误区:忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等).
1.已知x>0,则+x的最小值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A
解析 ∵x>0,∴+x≥2 =6,
当且仅当x=,即x=3时,等号成立.
2.已知x>-2,则x+的最小值为( )
A.- B.-1 C.2 D.0
答案 D
解析 ∵x>-2,∴x+2>0,
∴x+=x+2+-2≥2-2=0,
当且仅当x=-1时,等号成立.
3.若正实数a,b满足a+b=2,则ab的最大值为( )
A.1 B.2 C.2 D.4
答案 A
解析 由基本不等式得,ab≤2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.
4.(多选)设y=x+-2,则( )
A.当x>0时,y有最小值0
B.当x>0时,y有最大值0
C.当x<0时,y有最大值-4
D.当x<0时,y有最小值-4
答案 AC
解析 当x>0时,y=x+-2≥2-2
=2-2=0,
当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故A正确,B错误;
当x<0时,y=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,故C正确,D错误.
5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
答案 B
解析 (1+x)(1+y)≤2
=2=2=25,
当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立.
6.已知a>0,b>0,则++2的最小值是________.
答案 4
解析 ∵a>0,b>0,
∴++2≥2+2≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.
7.若正数m,n满足2m+n=1,则+的最小值为________.
答案 3+2
解析 ∵2m+n=1,
则+=(2m+n)
=3++≥3+2,当且仅当n=m,即m=1-,n=-1时,等号成立,
即最小值为3+2.
8.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.
答案 160
解析 设底面矩形的一边长为x,
由容器的容积为4 m3,高为1 m,得另一边长为 m.
记容器的总造价为y元,则
y=4×20+2×1×10=80+20
≥80+20×2=160,
当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
因此当x=2时,y取得最小值160,
即容器的最低总造价为160元.
9.(1)已知x<3,求+x的最大值;
(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.
解 (1)∵x<3,∴x-3<0,
∴+x=+(x-3)+3
=-+3
≤-2+3=-1,
当且仅当=3-x,即x=1时,等号成立,
∴+x的最大值为-1.
(2)∵x,y是正实数,x+y=4,
∴+=·
=≥1+=1+,
当且仅当=,即x=2(-1),y=2(3-)时等号成立.
故+的最小值为1+.
10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目,准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S最大,则x,y的值分别为多少?
解 (1)由题意得,xy=1 800,b=2a,
则y=a+b+6=3a+6,
S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a=(3x-16)×=xy-6x-y+32=1 832-6x-y,
其中6
当且仅当6x=y时等号成立,
∴S=1 832-6x-y≤1 832-480=1 352,
此时9x=8y,xy=1 800,解得x=40,y=45,
即x为40,y为45.
11.设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为( )
A.- B. C. D.-4
答案 A
解析 因为a,b为正实数,且a+b=1,
所以+=×(a+b)=+
≥+2=,
当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立,
因此有--≤-,
即--的上确界为-.
12.(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对(S,l)的有( )
A.(1,4) B.(6,8)
C.(7,12) D.
答案 AC
解析 设矩形的长和宽分别为x,y,
则x+y=l,S=xy.
由xy≤2知,S≤,故AC成立.
13.已知x>-1,则的最小值为________.
答案 16
解析 =
==(x+1)++10,
∵x>-1,∴x+1>0,
∴(x+1)++10≥2+10=16.
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.
14.若对∀x>-1,不等式x+-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 a≤0
解析 因为x>-1,所以x+1>0,
则x+-1=x+1+-2
≥2-2=2-2=0,
当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,
由题意可得a≤min=0,即a≤0.
15.若不等式ax2+≥(a>0)恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 原不等式可转化为a(x2+1)+≥,
又a>0,
则a(x2+1)+≥2=2,
当且仅当a(x2+1)=,
即a=时,等号成立,
则根据恒成立的意义可知2≥,解得a≥.
16.某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销量是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?最大利润为多少?
解 设2020年该产品利润为y,
由题意,可知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-,
又每件产品的销售价格为1.5×元,
∴y=x-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8-m
=-+29,
∵m≥0,+(m+1)≥2=8,
当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.
故该厂家2020年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.
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