新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 1.4.2 充要条件(含解析)

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1．4.2　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．

知识点　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
思考1　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？
答案　正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．
思考2　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

1．“x>1”是“x＋2>3”的________条件．
答案　充要
解析　当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件．
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．
答案　必要不充分
解析　设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件．
3．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．
答案　充分不必要
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
答案　充要
解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，
所以p是r的充要条件．

一、充分、必要、充要条件的判断
例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
解　(1)当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件．
反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
解　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，
q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
故p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，
∴p是q的充要条件．
二、充要条件的证明
例2　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
(学生)
反思感悟　充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
跟踪训练2　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
三、充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0 延伸探究
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
反思感悟　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练3　已知当a<0时，设p：3a 解　设A＝{x|3a B＝{x|x<－4或x≥－2}．
因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，∴a≤－4或3a≥－2，
即a≤－4或a≥－.
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为a≤－4或－≤a<0.

1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，
则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，
但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．
3．“a A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　D
4．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
答案　充要
解析　因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；
因为ab>0，所以a与b同号，
又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．
故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．
5．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
答案　m＝－2
解析　函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，
则－＝1，即m＝－2；
反之，若m＝－2，
则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．

1．知识清单：
(1)充要条件概念的理解．
(2)充要条件的证明．
(3)充要条件的应用．
2．方法归纳：等价转化．
3．常见误区：条件和结论辨别不清．


1．“1 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　设A＝{x|1 故“1 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故为充要条件．
3．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．
4．已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　D
解析　已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b0，故不能确定a和b的正负．故是既不充分又不必要条件．
5．使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
答案　C
解析　选项中只有x∈{－1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件．
6．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案　必要不充分
解析　由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；
反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
7．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．
答案　充要
解析　由x∈B，显然可得x∈A∪B；
反之，由A⊆B，则A∪B＝B，
所以由x∈A∪B可得x∈B，
故x∈B是x∈A∪B的充要条件．
8．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．
答案　既不充分又不必要
解析　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；
反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，
因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．
9．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0，及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
10．设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，
由p是q的充分不必要条件，可知AB，
∴或
解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是0≤a≤.

11．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，
则Δ＝4a2－4a<0，解得0 由集合的包含关系可知选A.
12．设x∈R，则“<”是“x2<1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　由<，得0 由x2<1，得－1 所以“<”是“x2<1”的充分不必要条件．
13．已知“p：x>m＋3或x 答案　m≤－7或m≥1
解析　因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
14．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案　{a|a≤0}
解析　α：x≥a，可`看作集合A＝{x|x≥a}．
∵β：|x－1|<1，∴0 又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.

15．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
答案　3或4
解析　x＝＝2±，
因为x是整数，即2±为整数，
所以为整数，且m≤4，
又m∈N*，取m＝1,2,3,4.
验证可得m＝3,4符合题意，
所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．
16．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
解　“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．