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重庆市第一中学校2022-2023学年九年级上学期阶段性消化作业（一） 数学试题
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2022-2023学年重庆一中九年级（上）消化作业数学试卷（一）
一、选择题（每题4分，共12小题）
1. 在下列各数中，比小的数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
【详解】A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键．注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可；
【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不符合题意；
C．轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；认识轴对称图形的特点是解题的关键．
3. 在中，，，，则值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出斜边，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】在中，，，，
即，
则：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦函数的知识，掌握余弦函数的定义是解答本题的关键．
4. 如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为6，则为（ ）
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由得出，从而得到，将已知数值代入求解即可．
【详解】解： 依题意得：树高，树影，且．
∵，
∴
∴ ，
即
∴()
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握利用平行线判定三角形相似是解题关键．
5. 2022年8月，重庆经历了连续14天气温在40℃以上的极端天气，而此轮极端天气创1961年以来温度最高、持续时间最长记录，炎热的天气使得用电需求不断攀升，图是小明家8月23日至8月30日用电情况统计图，则小明家这8天中日用电量超过50千瓦时的有（ ）天．
A. 3 B. 2 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据折线统计图找出电量超过50千瓦时的日期即可．
【详解】解：由折线统计图可知，电量超过50千瓦时的日期有8月24日、8月25日、8月28日，共三天，
故选：A．
【点睛】本题考查折线统计图，能看懂折线统计图是解题的关键．
6. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有7个圆，第③个图形中一共有10个圆，…，照此规律下去，则第7个图形中圆的个数为（ ）
A. 21 B. 22 C. 25 D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】设第n个图形中有个圆（n为正整数），观察图形，根据各个图形中圆的个数的变化可得出变化的规律‘（n为正整数）’，再把代入计算即可．
【详解】解：设第n个图形中有个圆（n为正整数），
观察图形可知：等
（n为正整数），
；
故选：B．
【点睛】本题考查了找规律，图形的变化类，根据各个图形中圆的个数的变化找出规律‘（n为正整数）’是解题的关键．
8. 若二次函数的最小值是5，则k的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接用二次函数的最值公式代入计算可得．
【详解】解：由二次函数的最小值为5可知，5，解得k．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 估计的值应在（ ）之间．
A. 7到8 B. 8到9 C. 9到10 D. 10到11
【答案】C
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，然估算出的值的范围，即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
的值在9到10之间；
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10. 若二次函数过四点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为，然后根据点离对称轴的远近可判断、、大小关系．
【详解】∵抛物线开口向上，对称轴为，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握抛物线的有关性质是解题的关键．注意抛物线的性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
11. 若关于x的不等式组有解，且关于y的方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. ﹣8 B. ﹣4 C. ﹣3 D. ﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组，根据关于x的不等式组有解，可得a的取值范围，再解分式方程，关于y的方程的解是正数，可得a的取值范围，进一步求和即可．
【详解】解： ，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
关于x的不等式组有解，
，
解分式方程 ，
去分母得，，
解得：，
关于y的方程的解是正数，
且，
且，
解得，且，
且，
满足条件的整数a的值：；
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，和解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键．
12. 已知两个多项式、，（其中x为实数），
①若，则；
②存在实数x，使得；
③已知，则的值为1562；
④当时，若，则的值为．
以上结论中正确的个数有（ ）个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意列出方程求解即可判断；②求出可知恒大于0，从而判断；③分别令和，再把所得式子相减化简即可判断；④由可得，从而得到，继而推出，由此判断．
【详解】解：①∵、，
∴，
化简得：，
解得：，
故①错误；
②∵、，
∴，
∴不存实数x，使得，
故②错误；
③∵
即
令得：①，
令得：②，
由①-②得：，
∴，
故③正确；
④∵，
即，
化简得：
∵
∴两边除以x并整理得：，
∴，
∴
故④错误．
正确的为③，共1个，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，配方法的应用，加减消元法，利用完全平方公式计算等知识，综合能力要求较高，掌握相关基础知识并融会贯通是解题的关键．
二、填空题（共4小题）
13. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的运算法则，任何非零数的零次方是，特殊角的三角函数值，非零数的负指数幂的运算法则，由此即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，包括乘方，锐角三角函数，非零数的负指数幂，掌握实数的运算法则是解题的关键．
14. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上的数字之积为正数的概率为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据随件事件的概率，先把可能出现的结果表示出来，再用数字之积为正的结果除以总的结果，由此即可求出答案．
【详解】解：可能出现的结果如表所示，
第一次抽到的数
第二次抽到的数
总共有种结果，两数为正的结果有四种，分别是，，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的列举法求随机事件的概率，解题的关键是要找出所需要结果的数量所有可能出现的结果之间比值．
15. 如图，在矩形中，，点E在上，将沿着翻折得，点F在上，，点G是的中点，连接交于点N，交于点M，则AN的长为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点G作交AF于H，先利用勾股定理和折叠的性质求出证明求出，则，证明，求出，最后证明，得到，即，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点G作交AF于H，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
同理可证，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16. “遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青蟹高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为，设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，则问题随之得解．
【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青蟹高，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为，
设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，
则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，
由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，
设10月8日，大闸蟹的销量为m，
由题意得：，
解得，
即在10月8日，大闸蟹销量为，
设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，
由题意得：，
解得，则，
即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，
则在10月8日梭子蟹的总销售额为，青蟹的总销售额为，由题意得：，
解得：，
即10月8日，梭子蟹与大闸蟹单价之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系．
三、解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘多项式，完全平方公式可以将题目的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，多项式乘多项式，完全平方公式，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
18. 如图，中，是边上的中线，于点 ，
（1）尺规作图：过 作于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证： ，
___________．
∵是边上的中线，
∴___________．
∵在 和 中，
___________，
∴．
∴___________．
∵，
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2） ； ； ；
【解析】
【分析】（1）根据尺规作垂线的方法进行作图即可；
（2）通过证明得到，从而得出结论；
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明： ，
．
∵是边上的中线，
∴
∵在 和 中，
∴．
∴
∵
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，平行四边形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．
19. 金秋十月，中国共产党第二十次全国代表大会将在北京召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家的新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．我校推出“喜迎二十大”的党史知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：．八年级学生的竞赛成绩为：82，70，87，87，99，87，87，89，84，79，81，91，95，98，94，84，58，81，90，83；九年级等级C的学生成绩为：89，89，88，87，85，83，82；两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.3
87
b
83.71
九年级
85.3
a
91
81.76
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八、九年级各有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）
（2）九年级，因为两个年级的平均数相同，而九年级成绩的方差小于八年级（答案不唯一）
（3）420人
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：九年级等级C的学生成绩从小到大排列得：
89，89，88，87，85，83，82，
∵九年级等级A、B共人，
∴九年级的学生成绩排在中间的两个数分别为88、89，
故中位数；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是87，
故众数；
由题意可得，
故．
【小问2详解】
解：九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级成绩的方差小于八年级．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有420人．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
20. 某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．
（1）该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？
（2）在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．
【答案】（1）3000棵
（2）150棵
【解析】
【分析】（1）设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，根据种植总数是5000列方程求解即可；
（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，根据两个小组同时完成任务即用时相等列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，
则有：，
解得：，
∴
答：计划种植黄桷树3000棵．
【小问2详解】
设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，
则有，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：乙组每小时种植的数量为150棵．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点．
（1）求反比例函数解析式，并画出反比例函数图象（不要求列表）；
（2）连接 ，求的面积；
（3）当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1），图象见解析；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）先求一次函数与x轴的交点坐标，再根据面积公式计算；
（3）由一次函数和反比例函数相交的图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：把代入中，
，
解得，
，
在上，
，
，
反比例函数图象如图所示：
【小问2详解】
解：连接 ，如图所示：
令，则 ，
解得 ，
；
【小问3详解】
由图可知，当时，或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求解析式，通过函数图象确定自变量x的取值范围是解题的关键．
22. 公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西方向，米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西方向，甲工程队以每天米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：≈1.4）
（1）求A、B两地的距离（结果保留根号）；
（2）新的景观步道能否在天内完成？请说明理由．
【答案】（1）米
（2）能，见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作于点D，C位于A的北偏西方向，，且B在A的正东方，可知，从而得到，再利用C位于B的北偏西方向，可得，，最后利用求值即可；
（2）由（1）可得路线总长为：，
再设新的景观步道能在天内完成，利用前两天修的长度加乙工程队加入后一起修的长度等于总长度列方程求出所需天数，再与15比较大小即可得解．
【小问1详解】
解：如下图，过点C作于点D，
∵C位于A的北偏西方向，，且B在A的正东方，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
又∵C位于B的北偏西方向，
∴，
∴
答：A、B两地的距离是米
【小问2详解】
能，理由如下：
∵，
∴路线总长为：
设新的景观步道能在天内完成，则有：
解得：，
∴新的景观步道能在天内完成．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用和一元一次方程的应用，正确作出辅助线掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
23. 对于一个自然数M，将其各数位上的数字相加得到一个数，这一过程称为一次操作，把得到的数再进行同样的操作，最终得到一个一位数N．若N能被5除余2，则我们称M是“我爱我数”．例如：．所以是“我爱我数”．
（1）请判断和是否为“我爱我数”，并说明理由；
（2）已知一个三位“我爱我数”（其中均为整数），若S与其个位数字之和能被11整除，请求出所有符合条件的S．
【答案】（1）不是，是，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，按照其要求，即可判断是否为“我爱我数”；
（2）均为整数，，，可求出各个位数之和表达式，再根据S与其个位数字之和能被11整除的关系，可求出S，结合S是“我爱我数”，可确定S的值．
【小问1详解】
解：，
∴不是“我爱我数”；
，
∴是“我爱我数”；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴ ，
∴为整数，
∵均为整数，
∴
当
∴
当
∴
当
∴
∴
而
∵S为“我爱我数”，
∴．
【点睛】本题考查了学生对数的理解和分析能力，要求能根据题意列出关系式求解，同时考查了二元一次方程的正整数解，不等式的性质，难度一般，做本题重在理清题意，并对整数有一定的理解能力．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点 ，点 ，交y轴于点C，连接；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作 交于点M，求的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，把抛物线 沿着射线方向平移，平移后的抛物线恰好经过，点E是新抛物线与x轴的另一个交点，点F是新抛物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一动点，点G是平面内一动点，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是菱形的点G的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）；；；
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）构造等腰直角，通过求的最大值来求的最大值；
（3）通过平移特点确定新抛物线的解析式，从而求出，；最后根据菱形的特点分类讨论来确定点的坐标；
【小问1详解】
解：将，代入得：
解得：
故抛物线的函数表达式为：
【小问2详解】
解：如图，作 轴，交于点；
当 时，
∴点
∴ 为等腰直角三角形， ；
直线的解析式为：
设点 ，则
∴当 时，有
∵ 轴
∴
∴ 为等腰直角三角形
当 时，
∴点
【小问3详解】
解：由题意可得：新抛物线图像等价于将原抛物线图像向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度；
∴新抛物线的解析式为：
∴
令得：
解得：
∴
设:
①当 为对角线时，则
解得：
∴
②当 为对角线时，则
解得：或
∴
③当 为对角线时，则
解得：或（此时与重合，舍去）
∴
综上：，，
【点睛】本题考查了求抛物线的解析式、二次函数的图像与性质、菱形的性质等；熟练运用二次函数的性质以及菱形的特点是解题的关键．
25. 在中，点E为边上一动点，以为边在上方作等边．
（1）如图1，与交于点P，连接，若，，，求的长：
（2）如图2．当N与B重合时，在上取一点D，过点D作，连接，，过C作交于点H，若，求证：；
（3）如图3，若，且，过点B作，I为射线上一动点，取中点M，连接，过点B作交于点K，连接，直接写出NK的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图1中，过点P作于点M．设，则，构建方程求出x，可得结论；
（2）如图2中，过点E作交FB的延长线于点Q，设，证明，推出，即可解决问题；
（3）如图3中，过点M作于点J．连接．证明点K在为直径的上运动，过点O作于点T，过点O作于点R，因为点N在射线上运动，所以当点N与T重合，点K落在上时的值最小，最小值，求出，可得结论．
【小问1详解】
解：如图1中，过点P作于点M．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2中，过点E作交的延长线于点Q．设．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3中，过点M作于点J．连接．
∵，
∴，
∴点K在为直径的上运动，
过点O作于点T，过点O作于点R，则四边形是矩形，
∴点N在射线上运动，
∴当点N与T重合，点K落在上时，的值最小，最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2022-2023学年重庆一中九年级（上）消化作业数学试卷（一）
一、选择题（每题4分，共12小题）
1. 在下列各数中，比小的数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
【详解】A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键．注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可；
【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不符合题意；
C．轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；认识轴对称图形的特点是解题的关键．
3. 在中，，，，则值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出斜边，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】在中，，，，
即，
则：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦函数的知识，掌握余弦函数的定义是解答本题的关键．
4. 如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为6，则为（ ）
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由得出，从而得到，将已知数值代入求解即可．
【详解】解： 依题意得：树高，树影，且．
∵，
∴
∴ ，
即
∴()
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握利用平行线判定三角形相似是解题关键．
5. 2022年8月，重庆经历了连续14天气温在40℃以上的极端天气，而此轮极端天气创1961年以来温度最高、持续时间最长记录，炎热的天气使得用电需求不断攀升，图是小明家8月23日至8月30日用电情况统计图，则小明家这8天中日用电量超过50千瓦时的有（ ）天．
A. 3 B. 2 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据折线统计图找出电量超过50千瓦时的日期即可．
【详解】解：由折线统计图可知，电量超过50千瓦时的日期有8月24日、8月25日、8月28日，共三天，
故选：A．
【点睛】本题考查折线统计图，能看懂折线统计图是解题的关键．
6. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有7个圆，第③个图形中一共有10个圆，…，照此规律下去，则第7个图形中圆的个数为（ ）
A. 21 B. 22 C. 25 D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】设第n个图形中有个圆（n为正整数），观察图形，根据各个图形中圆的个数的变化可得出变化的规律‘（n为正整数）’，再把代入计算即可．
【详解】解：设第n个图形中有个圆（n为正整数），
观察图形可知：等
（n为正整数），
；
故选：B．
【点睛】本题考查了找规律，图形的变化类，根据各个图形中圆的个数的变化找出规律‘（n为正整数）’是解题的关键．
8. 若二次函数的最小值是5，则k的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接用二次函数的最值公式代入计算可得．
【详解】解：由二次函数的最小值为5可知，5，解得k．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 估计的值应在（ ）之间．
A. 7到8 B. 8到9 C. 9到10 D. 10到11
【答案】C
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，然估算出的值的范围，即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
的值在9到10之间；
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10. 若二次函数过四点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为，然后根据点离对称轴的远近可判断、、大小关系．
【详解】∵抛物线开口向上，对称轴为，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握抛物线的有关性质是解题的关键．注意抛物线的性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
11. 若关于x的不等式组有解，且关于y的方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. ﹣8 B. ﹣4 C. ﹣3 D. ﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组，根据关于x的不等式组有解，可得a的取值范围，再解分式方程，关于y的方程的解是正数，可得a的取值范围，进一步求和即可．
【详解】解： ，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
关于x的不等式组有解，
，
解分式方程 ，
去分母得，，
解得：，
关于y的方程的解是正数，
且，
且，
解得，且，
且，
满足条件的整数a的值：；
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，和解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键．
12. 已知两个多项式、，（其中x为实数），
①若，则；
②存在实数x，使得；
③已知，则的值为1562；
④当时，若，则的值为．
以上结论中正确的个数有（ ）个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意列出方程求解即可判断；②求出可知恒大于0，从而判断；③分别令和，再把所得式子相减化简即可判断；④由可得，从而得到，继而推出，由此判断．
【详解】解：①∵、，
∴，
化简得：，
解得：，
故①错误；
②∵、，
∴，
∴不存实数x，使得，
故②错误；
③∵
即
令得：①，
令得：②，
由①-②得：，
∴，
故③正确；
④∵，
即，
化简得：
∵
∴两边除以x并整理得：，
∴，
∴
故④错误．
正确的为③，共1个，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，配方法的应用，加减消元法，利用完全平方公式计算等知识，综合能力要求较高，掌握相关基础知识并融会贯通是解题的关键．
二、填空题（共4小题）
13. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的运算法则，任何非零数的零次方是，特殊角的三角函数值，非零数的负指数幂的运算法则，由此即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，包括乘方，锐角三角函数，非零数的负指数幂，掌握实数的运算法则是解题的关键．
14. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上的数字之积为正数的概率为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据随件事件的概率，先把可能出现的结果表示出来，再用数字之积为正的结果除以总的结果，由此即可求出答案．
【详解】解：可能出现的结果如表所示，
第一次抽到的数
第二次抽到的数
总共有种结果，两数为正的结果有四种，分别是，，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的列举法求随机事件的概率，解题的关键是要找出所需要结果的数量所有可能出现的结果之间比值．
15. 如图，在矩形中，，点E在上，将沿着翻折得，点F在上，，点G是的中点，连接交于点N，交于点M，则AN的长为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点G作交AF于H，先利用勾股定理和折叠的性质求出证明求出，则，证明，求出，最后证明，得到，即，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点G作交AF于H，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
同理可证，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16. “遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青蟹高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为，设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，则问题随之得解．
【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青蟹高，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为，
设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，
则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，
由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，
设10月8日，大闸蟹的销量为m，
由题意得：，
解得，
即在10月8日，大闸蟹销量为，
设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，
由题意得：，
解得，则，
即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，
则在10月8日梭子蟹的总销售额为，青蟹的总销售额为，由题意得：，
解得：，
即10月8日，梭子蟹与大闸蟹单价之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系．
三、解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘多项式，完全平方公式可以将题目的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，多项式乘多项式，完全平方公式，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
18. 如图，中，是边上的中线，于点 ，
（1）尺规作图：过 作于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证： ，
___________．
∵是边上的中线，
∴___________．
∵在 和 中，
___________，
∴．
∴___________．
∵，
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2） ； ； ；
【解析】
【分析】（1）根据尺规作垂线的方法进行作图即可；
（2）通过证明得到，从而得出结论；
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明： ，
．
∵是边上的中线，
∴
∵在 和 中，
∴．
∴
∵
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，平行四边形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．
19. 金秋十月，中国共产党第二十次全国代表大会将在北京召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家的新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．我校推出“喜迎二十大”的党史知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：．八年级学生的竞赛成绩为：82，70，87，87，99，87，87，89，84，79，81，91，95，98，94，84，58，81，90，83；九年级等级C的学生成绩为：89，89，88，87，85，83，82；两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.3
87
b
83.71
九年级
85.3
a
91
81.76
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八、九年级各有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）
（2）九年级，因为两个年级的平均数相同，而九年级成绩的方差小于八年级（答案不唯一）
（3）420人
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：九年级等级C的学生成绩从小到大排列得：
89，89，88，87，85，83，82，
∵九年级等级A、B共人，
∴九年级的学生成绩排在中间的两个数分别为88、89，
故中位数；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是87，
故众数；
由题意可得，
故．
【小问2详解】
解：九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级成绩的方差小于八年级．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有420人．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
20. 某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香樟这两种树．
（1）该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？
（2）在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．
【答案】（1）3000棵
（2）150棵
【解析】
【分析】（1）设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，根据种植总数是5000列方程求解即可；
（2）设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，根据两个小组同时完成任务即用时相等列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设计划种植香樟x棵，则计划种植黄桷树棵，
则有：，
解得：，
∴
答：计划种植黄桷树3000棵．
【小问2详解】
设乙组每小时种植的数量为y棵，则甲每小时种植的数量为棵，
则有，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：乙组每小时种植的数量为150棵．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，找出题中的数量关系并用它列出方程是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点．
（1）求反比例函数解析式，并画出反比例函数图象（不要求列表）；
（2）连接 ，求的面积；
（3）当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1），图象见解析；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）先求一次函数与x轴的交点坐标，再根据面积公式计算；
（3）由一次函数和反比例函数相交的图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：把代入中，
，
解得，
，
在上，
，
，
反比例函数图象如图所示：
【小问2详解】
解：连接 ，如图所示：
令，则 ，
解得 ，
；
【小问3详解】
由图可知，当时，或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求解析式，通过函数图象确定自变量x的取值范围是解题的关键．
22. 公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西方向，米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西方向，甲工程队以每天米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：≈1.4）
（1）求A、B两地的距离（结果保留根号）；
（2）新的景观步道能否在天内完成？请说明理由．
【答案】（1）米
（2）能，见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作于点D，C位于A的北偏西方向，，且B在A的正东方，可知，从而得到，再利用C位于B的北偏西方向，可得，，最后利用求值即可；
（2）由（1）可得路线总长为：，
再设新的景观步道能在天内完成，利用前两天修的长度加乙工程队加入后一起修的长度等于总长度列方程求出所需天数，再与15比较大小即可得解．
【小问1详解】
解：如下图，过点C作于点D，
∵C位于A的北偏西方向，，且B在A的正东方，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
又∵C位于B的北偏西方向，
∴，
∴
答：A、B两地的距离是米
【小问2详解】
能，理由如下：
∵，
∴路线总长为：
设新的景观步道能在天内完成，则有：
解得：，
∴新的景观步道能在天内完成．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用和一元一次方程的应用，正确作出辅助线掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
23. 对于一个自然数M，将其各数位上的数字相加得到一个数，这一过程称为一次操作，把得到的数再进行同样的操作，最终得到一个一位数N．若N能被5除余2，则我们称M是“我爱我数”．例如：．所以是“我爱我数”．
（1）请判断和是否为“我爱我数”，并说明理由；
（2）已知一个三位“我爱我数”（其中均为整数），若S与其个位数字之和能被11整除，请求出所有符合条件的S．
【答案】（1）不是，是，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，按照其要求，即可判断是否为“我爱我数”；
（2）均为整数，，，可求出各个位数之和表达式，再根据S与其个位数字之和能被11整除的关系，可求出S，结合S是“我爱我数”，可确定S的值．
【小问1详解】
解：，
∴不是“我爱我数”；
，
∴是“我爱我数”；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴ ，
∴为整数，
∵均为整数，
∴
当
∴
当
∴
当
∴
∴
而
∵S为“我爱我数”，
∴．
【点睛】本题考查了学生对数的理解和分析能力，要求能根据题意列出关系式求解，同时考查了二元一次方程的正整数解，不等式的性质，难度一般，做本题重在理清题意，并对整数有一定的理解能力．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点 ，点 ，交y轴于点C，连接；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作 交于点M，求的最大值以及此时点P的坐标；
（3）如图2，把抛物线 沿着射线方向平移，平移后的抛物线恰好经过，点E是新抛物线与x轴的另一个交点，点F是新抛物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一动点，点G是平面内一动点，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是菱形的点G的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）；；；
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）构造等腰直角，通过求的最大值来求的最大值；
（3）通过平移特点确定新抛物线的解析式，从而求出，；最后根据菱形的特点分类讨论来确定点的坐标；
【小问1详解】
解：将，代入得：
解得：
故抛物线的函数表达式为：
【小问2详解】
解：如图，作 轴，交于点；
当 时，
∴点
∴ 为等腰直角三角形， ；
直线的解析式为：
设点 ，则
∴当 时，有
∵ 轴
∴
∴ 为等腰直角三角形
当 时，
∴点
【小问3详解】
解：由题意可得：新抛物线图像等价于将原抛物线图像向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度；
∴新抛物线的解析式为：
∴
令得：
解得：
∴
设:
①当 为对角线时，则
解得：
∴
②当 为对角线时，则
解得：或
∴
③当 为对角线时，则
解得：或（此时与重合，舍去）
∴
综上：，，
【点睛】本题考查了求抛物线的解析式、二次函数的图像与性质、菱形的性质等；熟练运用二次函数的性质以及菱形的特点是解题的关键．
25. 在中，点E为边上一动点，以为边在上方作等边．
（1）如图1，与交于点P，连接，若，，，求的长：
（2）如图2．当N与B重合时，在上取一点D，过点D作，连接，，过C作交于点H，若，求证：；
（3）如图3，若，且，过点B作，I为射线上一动点，取中点M，连接，过点B作交于点K，连接，直接写出NK的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图1中，过点P作于点M．设，则，构建方程求出x，可得结论；
（2）如图2中，过点E作交FB的延长线于点Q，设，证明，推出，即可解决问题；
（3）如图3中，过点M作于点J．连接．证明点K在为直径的上运动，过点O作于点T，过点O作于点R，因为点N在射线上运动，所以当点N与T重合，点K落在上时的值最小，最小值，求出，可得结论．
【小问1详解】
解：如图1中，过点P作于点M．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2中，过点E作交的延长线于点Q．设．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3中，过点M作于点J．连接．
∵，
∴，
∴点K在为直径的上运动，
过点O作于点T，过点O作于点R，则四边形是矩形，
∴点N在射线上运动，
∴当点N与T重合，点K落在上时，的值最小，最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
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