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精品解析：重庆市巴蜀中学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试题
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1. －5的倒数是
A. B. 5C. －D. －5
【答案】C
【解析】
【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是．
故选C．
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3. 年月日电影《流浪地球》上映，截止北京时间年月日，总票房已达亿元，亿用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把亿表示为：的形式，其中，为整数，即可．
【详解】∵亿，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的一般形式：的形式，其中，为整数．
4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数为（ ）
A. 25°B. 26°C. 27°D. 28°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A. B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，，
∴，
则选项A、B、D正确，不符合题意，选项C正确，符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第1个图形（如图①）中一共有6个小圆圈，第2个图形（如图②）中一共有9个小圆圈，第3个图形（如图③）中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第20个图形中小圆圈的个数为（ ）
A. 60B. 61C. 62D. 63
【答案】D
【解析】
【分析】根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：第①个图形中小圆圈的个数为，
第②个图形中小圆圈的个数为，
第③个图形中小圆圈的个数为，
归纳类推得：第n个图形中小圆圈的个数为（其中，为正整数），
则第20个图形中小圆圈的个数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
7. 为增强公司凝聚力，提高企业文化，某公司举办了羽毛球比赛，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，公司共安排了场比赛，设参赛选手有y人，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】每两人比赛一场，比赛总场数=列方程即可．
【详解】解：设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，
则
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握比赛场数与参赛人数之间的关系：比赛场数=人数（人数-1），是解题的关键．
8. 如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】由图1和图2可得当时，点到达点处，即，过点作于点，由矩形的性质可得，由等腰三角形三线合一，求得，当时，点到达点处，根据三角形面积公式求得，再根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：当时，点到达点处，即，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
当时，点到达点处，
，
，
四边形的面积：，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点图象问题，矩形的性质，等腰三角形三线合一，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键．
9. 如图，为的直径，为弦，为弧的中点，连接，若，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，交于点，根据垂径定理，得；根据，则，根据勾股定理，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得，则；根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可．
【详解】连接，交于点，
∵为弦，为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴在A中，，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查圆的基础知识，解题的关键是掌握圆的垂径定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，勾股定理．
10. 如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，且，若，则的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，即可计算面积．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，，
，
，
在中，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11. 已知关于的不等式组的解集是，关于的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组，根据解集为：，确定的取值范围，根据分式方程中且，求出的取值，即可．
【详解】解：，
解不等式，得，，解得：，
解不等式，得，，解得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∵的解为非负数，
∴，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围为：且，
∴满足整数为：，，，，，，，，
∴所有符合条件的整数的和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，解题的关键是注意含参的不等式的解法和分式方程的解法．
12. 根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（ ）
①化简一共有8种不同的结果；
②的最大值是5；
③若，（为正整数），则当时，；
④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】由、、的结果分别有2种，则的结果共有种，可判断①；根据的取值，化简运算即可判断②；根据
【详解】解：、、的结果分别有2种，
的结果共有种，
故①正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故②错误；
是正整数，
，
，
，，
当时，，
故③正确；
，
当或时，，
，
方程有2个不同的解，
，
解得：，
当时，，
，
方程有2个不同的解，
，
解得：，
故④错误；
综上，正确的有①③，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，绝对值的性质，一元二次方程的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共16分）
13. 计算：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
，
故答案：．
【点睛】此题考查了绝对值的化简、负整数指数幂等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14. 乡村振兴从教育抓起，甲、乙两位老师从A、B、C这3所乡村学校中随机选择2所去支教，则甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的结果数有3种，
∴甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出表格或树状图是解题的关键．
15. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，连接，则图中阴影部分面积为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】作 E于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作于H，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
16. 为方便居家期间生活，生鲜超市为某小区业主准备了A、B、C三种类型的蔬菜包销售（整包销售）．第一天销售时，A蔬菜包的售价为每包32元，利润率为60%，B蔬菜包成本为每包36元，每包提价14元销售，C蔬菜包每包的成本是A蔬菜包每包成本的，售价为每包60元，且C蔬菜包的销售数量不少于20包，第一天将所有准备的蔬菜包全部销售完后，三种蔬菜包的销售总额为4016元，其中B、C两种蔬菜包的销售利润共826元．第二天生鲜超市准备的A、B、C三种蔬菜包的数量和第一天完全相同，而A蔬菜包的成本增加了10%，售价不变，B蔬菜包的成本不变，利润率变为50%，C蔬菜包的成本和售价均保持不变，但在运送过程中C蔬菜包的损坏无法销售，则第二天三种蔬菜包销售完后的总利润为_________元．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算出A、B、C三种蔬菜包第一天的售价与成本，根据已知的第一天的销售总额和利润，列方程组计算出三种蔬菜包第一天的销售量，在此基础上计算第二天的总成本与销售总额，进而求得总利润．
【详解】解：A蔬菜包的成本为元，售价为32元，
B蔬菜包的成本为36元，售价为元，
C蔬菜包的成本为元，售价为60元，
设第一天超市准备的A、B、C三种蔬菜包的数量分别为x，y，z，
则，且x，y，z均为整数，
解得，
因此根据题意，第二天A蔬菜包的成本为每包元，售价每包32元，
B蔬菜包的成本为每包36元，售价为元，
C蔬菜包的成本为每包为42元，进货数量为35包，售价为每包60元，销售数量为包，
∴第二天的总销售额为：元，
总成本为：元，
∴总利润为：元，
故答案为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，平方差公式以及整式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算小括号内的分式运算，然后计算分式的除法即可．
小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 如图，平行四边形中，平分交于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①_________，
∴．
∵平分，
∴②_________，
∴，
∴．
同理可证，
∴③_________．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵④_________，
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，进而可得，同理可得，可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步即可证得结论．
【小问1详解】
如图，射线即为的角平分线；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
同理可证，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
19. 《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：中小学校每天保障校内校外各1小时的体育活动时间．某小学分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天体育锻炼的时间，锻炼时间记为分钟，将所得数据分为5个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①男生组学生上周平均每天体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80.
②100名男生上周平均每天体育锻炼时间条形统计图：
③100名女生上周均每天体育锻炼时间分布扇形统计图如图
④调查的100名男、女同学上周平均每天体育锻炼时间的平均数、中位数、众数如表：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据以上信息填空：_________，_________，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周锻炼情况谁更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校有男同学1000名，女同学1200名，请估计该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
【答案】（1）10，80，补全条形统计图见解析
（2）男生，理由见解析
（3）1130人
【解析】
【分析】（1）求出组女生所占百分比，根据百分比之和为1即可求得组女生所占百分比，根据频数之和为100求得组的人数，即可补全条形统计图，根据中位数的定义可得的值；
（2）平均数相同，根据中位数，众数比较即可得出结论；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据扇形统计图可知，组女生所占百分比为，
组女生所占百分比为，即，
组男生人数为，补全条形统计图如下：
由条形统计图可知，男生的中位数在组，将100名男生上周平均每天体育锻炼时间从高到低排列，排在第50，51的两个数据为：80，80，
其中位数，
故答案为：10，80；
【小问2详解】
解：男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生；
【小问3详解】
解：（人），
答：该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有1130人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数、众数、平均数的定义，样本估计总体，理解题意，熟练掌握各个统计数据的计算方法，并灵活运用是解题的关键．
20. 如图，已知、是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出图像；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为，函数图象见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，最后画出对应的函数图象即可；
（2）：设一次函数与y轴交于点E，则，得到，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【小问1详解】
解：把代入到反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入到反比例函数中得：，
∴；
把，代入到一次函数中得：
，
∴，
∴一次函数解析式为；
函数图象如下所示：
【小问2详解】
解：设一次函数与y轴交于点E，则，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当或时反比例函数图象在一次函数图象上方或交点处，即此时 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数与几何综合，正确求出两个函数的解析式是解题的关键．
21. 为丰富教职工业余生活，提高身体素质，某校准备改建室内运动场，根据甲、乙两个施工单位的招标预算，甲施工单位独立施工一天，需付工程款1.5万元，且刚好如期完成改建工程，乙施工单位独立施工一天，需付工程款0.8万元，但完成这项改建工程要比规定日期多用6天；若甲、乙两施工单位合作3天，余下的工程由乙施工单位单独做，也正好如期完成．
（1）求乙施工单位单独完成此项改建工程需要多少天；
（2）若不考虑工期，由乙施工单位先施工若干天，再由甲施工单位施工完成，要使两个施工单位施工总费用为9.4万元，则乙工程队应施工多少天？
【答案】（1）12天 （2）8天
【解析】
【分析】（1）设乙施工单位单独完成此项改建工程需要天，则甲施工单位需天，根据题意，工作效率工作时间工作总量，列出分式方程求解即可；
（2）设乙施工单位施工天，则完成了整项工程的，再根据工作时间得到甲的施工时间，再利用每天的施工费用施工时间列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设乙施工单位单独完成此项改建工程需要天，则甲施工单位需天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工单位单独完成此项改建工程需要12天．
【小问2详解】
解：设乙施工单位施工天，则完成了整项工程的，
甲施工单位施工天，
由题意得：，
解得：，
答：乙工程队应施工8天．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次方程的实际应用-工程问题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键，注意不要忘记检验．
22. 如图是我校车行区入口处栏杆的示意图，表示地面，表示围墙，是垂直于地面的固定立柱，是两段栏杆，其中 段可绕点D旋转，段可绕点E旋转．图1表示栏杆处于关闭状态，此时D、E、F在与地面平行的一直线上，点F到围墙的距离是；图2表示栏杆处于打开状态，此时．已知立柱高度为．
（1）当栏杆与立柱的夹角（即）为时，求点F到围墙的距离（结果保留根号）；
（2）栏杆与立柱的夹角最大为1，为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间至少保留的安全距离，问一辆宽度为，高度为的货车能否安全通过该入口？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）一辆宽度为，高度为的货车不能安全通过该入口
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点D作于G，过点E作于H，过点F作于M，证明四边形是矩形，进而证明四边形是矩形，得到，求出，解直角三角形得到，则，则；
（2）当时，则，解直角三角形得到，则，；在上去一点N使得，过点N作交于L，交于K，同理可证四边形为矩形，则，，解，得到，则，求出，再由，即可得一辆宽度为，高度为的货车不能安全通过该入口．
【小问1详解】
解：如图所示，过点D作于G，过点E作于H，过点F作于M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点F到围墙的距离为；
【小问2详解】
解：当时，则，
∴，
∴，
∴
在上取一点N使得，过点N作交于L，交于K，
同理可证四边形为矩形，
∴，，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴一辆宽度为，高度为的货车不能安全通过该入口．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”．
材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．
（1）判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；
（2）若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”．
【答案】（1）12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由见解析
（2）1122，3162，2346，4386
【解析】
【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可；
（2）根据新定义，求出，由题意可得出，的取值，即可求解．
【小问1详解】
解：12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由如下：
，
12是“宁静数”；
在3469中，，，，，
，，
3469不是“致远数”；
【小问2详解】
解：设四位自然数，且，，，不为0，则，
是“致远数”，
，，
，，
，
“宁静数”必为4的倍数且是两位数，
“宁静数”有12，24，36，48，
、可以是1，2，3，4，
又与9的和能被4整除，即是偶数，
或3，
①当时，或3，
对应的致远数有：1122，3162，
②当时，或4，
对应的致远数为：2346，4386，
综上所述，符合条件的“致远数”有：1122，3162，2346，4386．
【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是位于直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点，过点作交轴于点．求的最大值及此时点的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，为新抛物线的对称轴上一点，为新抛物线上一点，若以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）最大值，此时点的坐标为
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入，再根据对称轴，建立二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先求直线的解析式，设，易得，过点作轴于点，再由交轴于点，可得，利用相似三角形的判定与性质求出，再用含的式子表示，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）求得新抛物线和直线的解析式，再设出E点坐标，构造全等三角形即可求解．
【小问1详解】
解：点点坐标代入得，
又对称轴为直线，
，
联立，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：令，则，
，
令，或，
,
设的解析式为，
把、的坐标代入得，
解得，
的解析式为，
设，则，
过点作轴于点，
，，，，
交轴于点，
，
∵
∴
∴
即，
，
，
点是位于直线上方，
，
当时，有最大值，
∵
此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：或
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，即向下平移3个单位，向右平移1个单位，，
，
新抛物线的对称轴为直线，
作出抛物线后，则以为腰的等腰直角三角形的情况为如下图所示的两种情况，即F点在对称轴左边或右边．
现选择其中一个图形进行说明，如下所示：
分别过F点向y轴作垂线，过C点向直线作垂线，垂足分别为点D和点G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F点在新抛物线上，
∴，
∴，
该种情况下，
另一种情况可以用同样的方法求解，可以求出.
∴或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、相似三角形的判定与性质、抛物线的平移等知识，解题关键是读懂题意，正确作出辅助线，构造全等或相似三角形．
25. 在中，点D、F分别为、边上的动点，连接、交于点．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）如图2，若，，且，于点E，连接，，探究线段、和之间的大小关系，并写出理由；
（3）在第（2）问的条件下，点I是边上的一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，与交于点M，作于点Q，当取得最大值时，连接，请直接写出的值．
【答案】（1）8； （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）延长，使得，连接，可证，再结合勾股定理求得，的长度，即可利用，求得结果；
（2）由题意可知为等腰直角三角形，即：，，作，交于，连接，， 由，，可得，进而，可知为等腰直角三角形，易证，可得，，进而可知，由等腰三角形三线合一可知，结合，易得，，可得，易证，进而可证，可得为等腰直角三角形，即可得证；
（3）由（2）可知，，即、、三点在以点为圆心，为半径的圆上，由翻折可知，，故点也在上，作交于，交于，可知为等腰直角三角形，则，，可得，设点到弦的距离为，则，当点到弦的距离为最大时，最大，即：时，最大，此时；由（2）知，可得三角函数值，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，于，设：，表示出相应边得长度，利用得其面积，利用得其面积，由折叠可知，，可知，可得，进而得，再计算比值即可．
【小问1详解】
解：延长，使得，连接，
∵，，
∴
∴，，
又∵，，
由勾股定理可得: ， ，
∴，
则：；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，于点E，
∴为等腰直角三角形，即：，，
作，交于，连接，，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴，即：为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
则，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，即：为等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
由（2）可知，，即、、三点在以点为圆心，为半径的圆上，由翻折可知，，故点也在上，
作交于，交于，
∵，则，
故为等腰直角三角形，则，，
∴，
设点到弦的距离为，则，
当点到弦的距离为最大时，最大，
即：时，最大，
∴此时；
由（2）知，，则：，
∴，，，
过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，于
设：，则，，，
∴，则，，，
由圆周角定理可知，，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
则，，
∴，，
∴，则，，
∴
由折叠可知，，则，
∴，
得：，
∴．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，翻折的性质，解直角三角形等，熟练掌握相关定理及性质，添加辅助线构造全等三角形及等腰直角三角形是解决问题的关键．A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
性别
平均数
中位数
众数
女生
81.3
79.5
82
男生
81.3
83
1. －5的倒数是
A. B. 5C. －D. －5
【答案】C
【解析】
【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是．
故选C．
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3. 年月日电影《流浪地球》上映，截止北京时间年月日，总票房已达亿元，亿用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把亿表示为：的形式，其中，为整数，即可．
【详解】∵亿，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的一般形式：的形式，其中，为整数．
4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数为（ ）
A. 25°B. 26°C. 27°D. 28°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A. B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，，
∴，
则选项A、B、D正确，不符合题意，选项C正确，符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第1个图形（如图①）中一共有6个小圆圈，第2个图形（如图②）中一共有9个小圆圈，第3个图形（如图③）中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第20个图形中小圆圈的个数为（ ）
A. 60B. 61C. 62D. 63
【答案】D
【解析】
【分析】根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：第①个图形中小圆圈的个数为，
第②个图形中小圆圈的个数为，
第③个图形中小圆圈的个数为，
归纳类推得：第n个图形中小圆圈的个数为（其中，为正整数），
则第20个图形中小圆圈的个数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
7. 为增强公司凝聚力，提高企业文化，某公司举办了羽毛球比赛，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，公司共安排了场比赛，设参赛选手有y人，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】每两人比赛一场，比赛总场数=列方程即可．
【详解】解：设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，
则
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握比赛场数与参赛人数之间的关系：比赛场数=人数（人数-1），是解题的关键．
8. 如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】由图1和图2可得当时，点到达点处，即，过点作于点，由矩形的性质可得，由等腰三角形三线合一，求得，当时，点到达点处，根据三角形面积公式求得，再根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：当时，点到达点处，即，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
当时，点到达点处，
，
，
四边形的面积：，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点图象问题，矩形的性质，等腰三角形三线合一，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键．
9. 如图，为的直径，为弦，为弧的中点，连接，若，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，交于点，根据垂径定理，得；根据，则，根据勾股定理，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得，则；根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可．
【详解】连接，交于点，
∵为弦，为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴在A中，，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查圆的基础知识，解题的关键是掌握圆的垂径定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，勾股定理．
10. 如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，且，若，则的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，即可计算面积．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，，
，
，
在中，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11. 已知关于的不等式组的解集是，关于的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组，根据解集为：，确定的取值范围，根据分式方程中且，求出的取值，即可．
【详解】解：，
解不等式，得，，解得：，
解不等式，得，，解得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∵的解为非负数，
∴，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围为：且，
∴满足整数为：，，，，，，，，
∴所有符合条件的整数的和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，解题的关键是注意含参的不等式的解法和分式方程的解法．
12. 根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（ ）
①化简一共有8种不同的结果；
②的最大值是5；
③若，（为正整数），则当时，；
④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】由、、的结果分别有2种，则的结果共有种，可判断①；根据的取值，化简运算即可判断②；根据
【详解】解：、、的结果分别有2种，
的结果共有种，
故①正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故②错误；
是正整数，
，
，
，，
当时，，
故③正确；
，
当或时，，
，
方程有2个不同的解，
，
解得：，
当时，，
，
方程有2个不同的解，
，
解得：，
故④错误；
综上，正确的有①③，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，绝对值的性质，一元二次方程的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共16分）
13. 计算：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
，
故答案：．
【点睛】此题考查了绝对值的化简、负整数指数幂等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14. 乡村振兴从教育抓起，甲、乙两位老师从A、B、C这3所乡村学校中随机选择2所去支教，则甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的结果数有3种，
∴甲、乙两位老师选择了同一所乡村学校的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出表格或树状图是解题的关键．
15. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，连接，则图中阴影部分面积为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】作 E于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作于H，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
16. 为方便居家期间生活，生鲜超市为某小区业主准备了A、B、C三种类型的蔬菜包销售（整包销售）．第一天销售时，A蔬菜包的售价为每包32元，利润率为60%，B蔬菜包成本为每包36元，每包提价14元销售，C蔬菜包每包的成本是A蔬菜包每包成本的，售价为每包60元，且C蔬菜包的销售数量不少于20包，第一天将所有准备的蔬菜包全部销售完后，三种蔬菜包的销售总额为4016元，其中B、C两种蔬菜包的销售利润共826元．第二天生鲜超市准备的A、B、C三种蔬菜包的数量和第一天完全相同，而A蔬菜包的成本增加了10%，售价不变，B蔬菜包的成本不变，利润率变为50%，C蔬菜包的成本和售价均保持不变，但在运送过程中C蔬菜包的损坏无法销售，则第二天三种蔬菜包销售完后的总利润为_________元．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算出A、B、C三种蔬菜包第一天的售价与成本，根据已知的第一天的销售总额和利润，列方程组计算出三种蔬菜包第一天的销售量，在此基础上计算第二天的总成本与销售总额，进而求得总利润．
【详解】解：A蔬菜包的成本为元，售价为32元，
B蔬菜包的成本为36元，售价为元，
C蔬菜包的成本为元，售价为60元，
设第一天超市准备的A、B、C三种蔬菜包的数量分别为x，y，z，
则，且x，y，z均为整数，
解得，
因此根据题意，第二天A蔬菜包的成本为每包元，售价每包32元，
B蔬菜包的成本为每包36元，售价为元，
C蔬菜包的成本为每包为42元，进货数量为35包，售价为每包60元，销售数量为包，
∴第二天的总销售额为：元，
总成本为：元，
∴总利润为：元，
故答案为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，平方差公式以及整式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算小括号内的分式运算，然后计算分式的除法即可．
小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 如图，平行四边形中，平分交于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①_________，
∴．
∵平分，
∴②_________，
∴，
∴．
同理可证，
∴③_________．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵④_________，
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，进而可得，同理可得，可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步即可证得结论．
【小问1详解】
如图，射线即为的角平分线；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
同理可证，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
19. 《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：中小学校每天保障校内校外各1小时的体育活动时间．某小学分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天体育锻炼的时间，锻炼时间记为分钟，将所得数据分为5个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①男生组学生上周平均每天体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80.
②100名男生上周平均每天体育锻炼时间条形统计图：
③100名女生上周均每天体育锻炼时间分布扇形统计图如图
④调查的100名男、女同学上周平均每天体育锻炼时间的平均数、中位数、众数如表：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据以上信息填空：_________，_________，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周锻炼情况谁更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校有男同学1000名，女同学1200名，请估计该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
【答案】（1）10，80，补全条形统计图见解析
（2）男生，理由见解析
（3）1130人
【解析】
【分析】（1）求出组女生所占百分比，根据百分比之和为1即可求得组女生所占百分比，根据频数之和为100求得组的人数，即可补全条形统计图，根据中位数的定义可得的值；
（2）平均数相同，根据中位数，众数比较即可得出结论；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据扇形统计图可知，组女生所占百分比为，
组女生所占百分比为，即，
组男生人数为，补全条形统计图如下：
由条形统计图可知，男生的中位数在组，将100名男生上周平均每天体育锻炼时间从高到低排列，排在第50，51的两个数据为：80，80，
其中位数，
故答案为：10，80；
【小问2详解】
解：男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生；
【小问3详解】
解：（人），
答：该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有1130人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数、众数、平均数的定义，样本估计总体，理解题意，熟练掌握各个统计数据的计算方法，并灵活运用是解题的关键．
20. 如图，已知、是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出图像；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为，函数图象见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，最后画出对应的函数图象即可；
（2）：设一次函数与y轴交于点E，则，得到，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【小问1详解】
解：把代入到反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入到反比例函数中得：，
∴；
把，代入到一次函数中得：
，
∴，
∴一次函数解析式为；
函数图象如下所示：
【小问2详解】
解：设一次函数与y轴交于点E，则，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当或时反比例函数图象在一次函数图象上方或交点处，即此时 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数与几何综合，正确求出两个函数的解析式是解题的关键．
21. 为丰富教职工业余生活，提高身体素质，某校准备改建室内运动场，根据甲、乙两个施工单位的招标预算，甲施工单位独立施工一天，需付工程款1.5万元，且刚好如期完成改建工程，乙施工单位独立施工一天，需付工程款0.8万元，但完成这项改建工程要比规定日期多用6天；若甲、乙两施工单位合作3天，余下的工程由乙施工单位单独做，也正好如期完成．
（1）求乙施工单位单独完成此项改建工程需要多少天；
（2）若不考虑工期，由乙施工单位先施工若干天，再由甲施工单位施工完成，要使两个施工单位施工总费用为9.4万元，则乙工程队应施工多少天？
【答案】（1）12天 （2）8天
【解析】
【分析】（1）设乙施工单位单独完成此项改建工程需要天，则甲施工单位需天，根据题意，工作效率工作时间工作总量，列出分式方程求解即可；
（2）设乙施工单位施工天，则完成了整项工程的，再根据工作时间得到甲的施工时间，再利用每天的施工费用施工时间列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设乙施工单位单独完成此项改建工程需要天，则甲施工单位需天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工单位单独完成此项改建工程需要12天．
【小问2详解】
解：设乙施工单位施工天，则完成了整项工程的，
甲施工单位施工天，
由题意得：，
解得：，
答：乙工程队应施工8天．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次方程的实际应用-工程问题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键，注意不要忘记检验．
22. 如图是我校车行区入口处栏杆的示意图，表示地面，表示围墙，是垂直于地面的固定立柱，是两段栏杆，其中 段可绕点D旋转，段可绕点E旋转．图1表示栏杆处于关闭状态，此时D、E、F在与地面平行的一直线上，点F到围墙的距离是；图2表示栏杆处于打开状态，此时．已知立柱高度为．
（1）当栏杆与立柱的夹角（即）为时，求点F到围墙的距离（结果保留根号）；
（2）栏杆与立柱的夹角最大为1，为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间至少保留的安全距离，问一辆宽度为，高度为的货车能否安全通过该入口？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）一辆宽度为，高度为的货车不能安全通过该入口
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点D作于G，过点E作于H，过点F作于M，证明四边形是矩形，进而证明四边形是矩形，得到，求出，解直角三角形得到，则，则；
（2）当时，则，解直角三角形得到，则，；在上去一点N使得，过点N作交于L，交于K，同理可证四边形为矩形，则，，解，得到，则，求出，再由，即可得一辆宽度为，高度为的货车不能安全通过该入口．
【小问1详解】
解：如图所示，过点D作于G，过点E作于H，过点F作于M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点F到围墙的距离为；
【小问2详解】
解：当时，则，
∴，
∴，
∴
在上取一点N使得，过点N作交于L，交于K，
同理可证四边形为矩形，
∴，，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴一辆宽度为，高度为的货车不能安全通过该入口．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”．
材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．
（1）判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；
（2）若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”．
【答案】（1）12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由见解析
（2）1122，3162，2346，4386
【解析】
【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可；
（2）根据新定义，求出，由题意可得出，的取值，即可求解．
【小问1详解】
解：12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由如下：
，
12是“宁静数”；
在3469中，，，，，
，，
3469不是“致远数”；
【小问2详解】
解：设四位自然数，且，，，不为0，则，
是“致远数”，
，，
，，
，
“宁静数”必为4的倍数且是两位数，
“宁静数”有12，24，36，48，
、可以是1，2，3，4，
又与9的和能被4整除，即是偶数，
或3，
①当时，或3，
对应的致远数有：1122，3162，
②当时，或4，
对应的致远数为：2346，4386，
综上所述，符合条件的“致远数”有：1122，3162，2346，4386．
【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是位于直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴交直线于点，过点作交轴于点．求的最大值及此时点的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，为新抛物线的对称轴上一点，为新抛物线上一点，若以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）最大值，此时点的坐标为
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入，再根据对称轴，建立二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先求直线的解析式，设，易得，过点作轴于点，再由交轴于点，可得，利用相似三角形的判定与性质求出，再用含的式子表示，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）求得新抛物线和直线的解析式，再设出E点坐标，构造全等三角形即可求解．
【小问1详解】
解：点点坐标代入得，
又对称轴为直线，
，
联立，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：令，则，
，
令，或，
,
设的解析式为，
把、的坐标代入得，
解得，
的解析式为，
设，则，
过点作轴于点，
，，，，
交轴于点，
，
∵
∴
∴
即，
，
，
点是位于直线上方，
，
当时，有最大值，
∵
此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：或
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，即向下平移3个单位，向右平移1个单位，，
，
新抛物线的对称轴为直线，
作出抛物线后，则以为腰的等腰直角三角形的情况为如下图所示的两种情况，即F点在对称轴左边或右边．
现选择其中一个图形进行说明，如下所示：
分别过F点向y轴作垂线，过C点向直线作垂线，垂足分别为点D和点G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F点在新抛物线上，
∴，
∴，
该种情况下，
另一种情况可以用同样的方法求解，可以求出.
∴或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、相似三角形的判定与性质、抛物线的平移等知识，解题关键是读懂题意，正确作出辅助线，构造全等或相似三角形．
25. 在中，点D、F分别为、边上的动点，连接、交于点．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）如图2，若，，且，于点E，连接，，探究线段、和之间的大小关系，并写出理由；
（3）在第（2）问的条件下，点I是边上的一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，与交于点M，作于点Q，当取得最大值时，连接，请直接写出的值．
【答案】（1）8； （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）延长，使得，连接，可证，再结合勾股定理求得，的长度，即可利用，求得结果；
（2）由题意可知为等腰直角三角形，即：，，作，交于，连接，， 由，，可得，进而，可知为等腰直角三角形，易证，可得，，进而可知，由等腰三角形三线合一可知，结合，易得，，可得，易证，进而可证，可得为等腰直角三角形，即可得证；
（3）由（2）可知，，即、、三点在以点为圆心，为半径的圆上，由翻折可知，，故点也在上，作交于，交于，可知为等腰直角三角形，则，，可得，设点到弦的距离为，则，当点到弦的距离为最大时，最大，即：时，最大，此时；由（2）知，可得三角函数值，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，于，设：，表示出相应边得长度，利用得其面积，利用得其面积，由折叠可知，，可知，可得，进而得，再计算比值即可．
【小问1详解】
解：延长，使得，连接，
∵，，
∴
∴，，
又∵，，
由勾股定理可得: ， ，
∴，
则：；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，于点E，
∴为等腰直角三角形，即：，，
作，交于，连接，，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴，即：为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
则，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，即：为等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
由（2）可知，，即、、三点在以点为圆心，为半径的圆上，由翻折可知，，故点也在上，
作交于，交于，
∵，则，
故为等腰直角三角形，则，，
∴，
设点到弦的距离为，则，
当点到弦的距离为最大时，最大，
即：时，最大，
∴此时；
由（2）知，，则：，
∴，，，
过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，于
设：，则，，，
∴，则，，，
由圆周角定理可知，，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
则，，
∴，，
∴，则，，
∴
由折叠可知，，则，
∴，
得：，
∴．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，翻折的性质，解直角三角形等，熟练掌握相关定理及性质，添加辅助线构造全等三角形及等腰直角三角形是解决问题的关键．A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
性别
平均数
中位数
众数
女生
81.3
79.5
82
男生
81.3
83
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