2023届初三升高一数学衔接讲义 第六讲 集合的概念(精讲)
展开2023年初高中衔接素养提升专题讲义
第六讲 集合的概念(精讲)(原卷版)
【知识点透析】
一、元素与集合的概念及表示
1、元素:一般地,把研究对象统称为元素,
元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
2、集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),
集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.
3、集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的.
二、元素的特性
1、确定性
给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.简记为“确定性”.
【注意】如果元素的界限不明确,即不能构成集合。
例如:著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等
2、互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.
简记为“互异性”.
利用集合中元素的特异性求参数:
(1)集合问题的核心即研究集合中的元素,在解决这类问题时,要明确集合中的元素是什么;
(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性),且是互不相同的(互异性),书写时可以不考虑先后顺序(无序性).
(3)利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出字母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用.
3、无序性:给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的.简记为“无序性”.
三、元素与集合的关系
1、属于与不属于概念:
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.
2、元素与集合关系的判断方法:
(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
四、常用的数集及其记法
名称 | 自然数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
记法 | 或 |
五、列举法
把集合的所有元素一 一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
【注意】(1)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是明确的.
(3)集合中的元素不能重复.
(4)集合中的元素可以是任何事物.
六、描述法
1、定义:一般地,设A表示一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
2、用描述法表示集合
(1)首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.
一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示.
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母,要对新字母说明其含义或取值范围.
(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.
【知识点精讲】
题型一:集合的概念
【例题1】(2021四川雅安高一期末)下列各组对象能构成集合的是
A.所有很大的实数 B.好心的人
C.大于1的全体自然数 D.新款的手机
【例题2】.(2021陕西榆林高一期末)下列选项中元素的全体可以组成集合的是( )
A.2021年所有的欧盟国家 B.校园中长的高大的树木
C.学校篮球水平较高的学生 D.中国经济发达的城市
【变式1】(2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中)面各组对象中不能形成集合的是( )
A.所有的直角三角形 B.一次函数
C.高一年级中家离学校很远的学生 D.大于2的所有实数
【变式2】(2023·银川一中高一月考)给出下列表述:①联合国常任理事国;②充分接近的实数的全体;③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是( )
A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④
题型二 元素与集合的关系
【例题3】(2021山东曲阜高一期末)下列元素与集合的关系表示正确的是
①;②;③;④
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
【例题4】.(2022·四川宜宾高一课时检测)(多选)已知x,y为非零实数,代数式的值所组成的集合为,则下列判断错误的是( )
A. B. C. D.
【变式1】(2022·浙江义乌高一课时检测)(多选)下列关系中,正确的是( )
A. B. C. D.
【变式2】.(2021·山西太原一中高一课时检测)已知集合,,,若,,,则下列结论中可能成立的是( )
A. B.
C. D.
题型三 元素特性的应用
【例题5】(2021春•西湖区期中)已知是由0,,三个元素组成的集合,且,则实数为
A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可
【例题6】(2021•江西九江模拟)已知集合,只有一个元素,则的取值集合为
A. B. C.,, D.,
【例题7】.(2021银川一中高一期末)设集合,则( )
A.2 B.3 C.5 D.6
【例题8】.(2021云南曲靖一中高一期末)设集合,,已知且,则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
【变式1】(2022甘肃景泰二中高一期末)已知集合由,,组成,且,求__.
【变式2】(2023云南曲靖一中高一期末)由,,a组成的集合含有元素2,则实数a的可能取值的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型四 列举法
【例题9】.(2021四川雅安高一期末)设集合,,,则M中的元素个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【例题10】.(2021湖北武汉高一期末)已知集合,则中元素的个数为( )
A.15 B.14 C.13 D.12
【例题11】.(2021四川宜宾高一检测)集合,则中元素的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式1】(2022·陕西宝鸡高一期中考试)集合用列举法可表示为( )
A. B. C. D.
【变式2】(2022·陕西宝鸡高一期中考试)方程组的解集是( )
A. B. C. D.
题型五 描述法
【例题12】.(2021四川绵阳高一期末)直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为( )
A.B.或
C.
D.
【例题13】.(2021陕西宝鸡高一期末)下列集合中表示同一集合的是( )
A., B.,
C., D.,
【变式】(2022·辽宁抚顺高一课时检测)集合是( )
A.第一象限的点集 B.第二象限的点集
C.第三象限的点集 D.第四象限的点集
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