2024年新高考数学一轮复习 第七章 第三节 第四课时 立体几何中的综合问题

课时跟踪检测（五十四） 立体几何中的综合问题

1．(2023·潍坊一模)图1是由矩形ACC1A1、等边△ABC和平行四边形ABB1A2组成的一个平面图形，其中AB＝2，AA1＝AA2＝1，N为A1C1的中点．将其沿AC，AB折起使得AA1与AA2重合，连接B1C1，BN，如图2.

(1)证明：在图2中，AC⊥BN，且B，C，C1，B1四点共面；

(2)在图2中，若二面角A1­AC­B的大小为θ，且tan θ＝－，求直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值．

解：(1)证明：取AC的中点M，连接NM，BM，如图，

因为四边形ACC1A1为矩形，N为A1C1的中点，则AC⊥MN，

又因为△ABC为等边三角形，则AC⊥MB，

MN∩MB＝M，MN，MB⊂平面BMN，

则有AC⊥平面BMN，又BN⊂平面BMN，

所以AC⊥BN.

矩形ACC1A1中，AA1∥CC1，平行四边形ABB1A1中，AA1∥BB1，因此BB1∥CC1，

所以B，C，C1，B1四点共面．

(2)由(1)知MN⊥AC，BM⊥AC，则∠NMB为二面角A1­AC­B的平面角，即θ＝∠NMB，

在平面BMN内过M作Mz⊥MB，有AC⊥Mz，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，N(0，cos θ，sin θ)，C1(－1，cos θ，sin θ)，＝(1，，0)，＝(0，cos θ，sin θ)，

设平面BCC1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则令y＝－1，

得n＝，

由tan θ＝－，得n＝(，－1，－2)，＝(－1，，0)，设直线AB与平面BCC1B1所成角为α，于是得sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，所以直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值是.

2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1所有的棱长为2，A1B＝A1C＝，M是棱BC的中点．

(1)求证：A1M⊥平面ABC；

(2)在线段B1C上是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为？ 若存在，求出CP的值； 若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：A1B＝A1C＝，BC＝2，M是BC中点，

∴A1M⊥BC，A1M＝1，又AA1＝2，AM＝，

∴AM2＋A1M2＝AA，∴A1M⊥AM，又AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABC，∴A1M⊥平面ABC.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(，0,0)，A1(0,0,1)，B1(－，1,1)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，＝(，－2，－1)，令＝λ＝(λ，－2λ，－λ)(0<λ<1)，

则＝＋＝(－λ，2λ－2，λ)，由(1)知平面A1BC的法向量为＝(，0,0)，设直线BP与平面A1BC 所成角为θ，

则sin θ＝＝＝，

解得λ＝或λ＝(舍去)，

所以当CP＝CB1时，满足题意，此时CP＝

＝.

3．如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和Rt△PAD拼接而成，其中AB＝BC＝1，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝PD＝，PA⊥PD，PC与AD相交于点O，现沿着AD折成四棱锥P­ABCD(如图2)．

(1)当四棱锥P­ABCD的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；

(2)在(1)的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)在题图1中，在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.

易知四边形ABCO为正方形，∴AO＝1，即O为AD的中点，

在题图2中，当四棱锥P­ABCD的体积最大时，

侧面PAD⊥底面ABCD，此时PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，

D(0,1,0)，

∴＝(1，－1，－1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)．

设平面PCD的一个法向量为u＝(x，y，z)，则

取z＝1，得u＝(1,1,1)．

则点B到平面PCD的距离d＝＝.

 (2)假设存在，且设＝λ (0≤λ≤1)．

∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．

设平面CAQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，又＝(1,1,0)，＝(0，λ＋1,1－λ)，

则取z1＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．

又易知平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，

∵二面角Q­AC­D的余弦值为，

∴＝

＝＝，

整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍去)．

∴线段PD上存在满足题意的点Q，且＝.

4．(2022·济南三模)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC沿直线EF折起，使得平面CDFE⊥平面ABEF.如图2，点M，N分别满足＝2，＝.

(1)求证：AN⊥平面BMN；

(2)求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值．

解：(1)证明：连接AE交BN于点G，连接MG，设AB＝2，因为平面CDFE⊥平面ABEF，

平面CDFE∩平面ABEF＝EF，CE⊂平面CDFE，CE⊥EF，

所以CE⊥平面ABEF，

因为点N是EF的中点，NE∥AB，所以AG＝2GE，

又因为AM＝2MC，所以MG∥CE，

所以MG⊥平面ABEF，因为AN⊂平面ABEF，所以MG⊥AN，

又AB＝2，AN＝NB＝，所以AN⊥NB，

因为NB∩MG＝G，NB，MG⊂平面BMN，

所以AN⊥平面BMN.

(2)因为平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF＝EF，DF⊥EF，

所以DF⊥平面ABEF，

因为AF⊂平面ABEF，所以DF⊥AF，

所以FA，FE，FD两两垂直，

所以分别以FA，FE，FD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

取AB＝2，所以F(0,0,0)，A(1,0,0)，M，

N(0,1,0)，

所以＝(1,0,0)，＝，

设平面AFM的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由令y＝1，得n＝(0,1，－2)，

由(1)知平面BMN的法向量为＝(－1,1,0)，

设平面AFM与平面BMN的夹角为θ，

所以cos θ＝＝，

所以平面AFM与平面BMN夹角的余弦值为.

5．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.

(1)当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；

(2)在(1)的条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sin θ取最大值时点N的位置．

解：由题设，知SA⊥平面ABCD，又因为AB，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，又AB⊥AD，

又SA∩AB＝A，则AD⊥平面SAB，

由SA⊂平面SAB，平面SAB∩平面ABCD＝AB，则平面SAB⊥平面ABCD，

∴可构建以A为原点，，，→为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．

由SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，AB⊥BC，且SM＝2MB，

得A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，M，

(1)易知＝，＝(2,2,0)，＝(1,0，0)，

设m＝(x，y，z)是平面AMC的一个法向量，则令y＝1，

即m＝(－1,1，－2)，又＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量，∴cos〈m，〉＝＝，故平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为.

 (2)若＝λ，则N，

故＝，

由(1)知，令t＝1＋∈，

则＝，

∴sin θ＝＝＝，令m＝∈，

∴sin θ＝＝，

则m＝＝时sin θ取最大， 此时，t＝1＋＝，可得λ＝，即＝，

∴＝，则||＝.

故CN＝时，sin θ取得最大值.

6.如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝CD＝1，PA与平面ABCD所成角为30°，M为PB上一点且CM⊥PA.

(1)证明：PA⊥DM；

(2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上取点N使＝，Q为线段PN上一动点，求平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值．

解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD⊥CD，

∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PD⊥CD，

∵AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

又∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CD，

∵CM⊥PA，CM∩CD＝C，CM，CD⊂平面CMD，

∴PA⊥平面CMD，

∵DM⊂平面CMD，∴PA⊥DM.

(2)∵PD⊥平面ABCD，

∴∠PAD为PA与平面ABCD所成角，

∵PA与平面ABCD所成的角为30°，

∴∠PAD＝30°，

∵PD＝1，∴AD＝，

以D为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，DP为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

∵AD＝，PD＝CD＝1，＝，∴PN＝，

令PQ＝λ(0≤λ≤)，

则D(0,0,0)，A(，0,0)，C(0,1,0)，Q(λ，0,1)，

＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)，

设n＝(x，y，z)是平面ACQ的一个法向量，

则取x＝1，

得n＝(1，，－λ)，

取平面PDC的一个法向量为m＝(1,0,0)，

∴cos〈m，n〉＝＝，

∵0≤λ≤，

∴当λ＝时，cos〈m，n〉的最大值为，

∴平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值为.