2020-2021学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）命题：“，则”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

3．（5分）不等式的解集为，则，的值为　　

A．， B．， C．， D．，

4．（5分）《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加　　尺．

A． B． C． D．

5．（5分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为　　

A． B． C． D．

6．（5分）不等式成立的一个必要不充分条件是　　

A． B．， 

C．，， D．，，

7．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（5分）下列函数中，能取到最小值2的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）下列说法中，正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若且，则 D．若且，则

11．（5分）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有　　

A．若，则， 

B．若，则使的最大的为15 

C．若，，则中最大 

D．若，则

12．（5分）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若“，”为真命题，则实数的取值范围是　　．

14．（5分）若正实数，满足，则的最小值是　　．

15．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为8，则　　．

16．（5分）已知是数列的前项和，满足，则　　；数列的前项和　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知，，．

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）在等差数列中，，再从条件①、条件②设数列的前项和为，这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

19．（12分）已知椭圆的的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，求中点的坐标和长度．

20．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若存在，使得成立，求实数取值范围．

21．（12分）已知等差数列满足公差，且，，数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明数列为等比数列；

（3）若，恒成立，求实数的最大值．

22．（12分）已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于、两点且不过原点．

（1）求椭圆方程；

（2）若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标；

（3）若直线、、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）命题：“，则”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为特称命题，则命题：“，则”的否定是：，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

2．（5分）双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为：

，

整理，得，

解得．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．

3．（5分）不等式的解集为，则，的值为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值．

【解答】解：不等式的解集为，

所以对应方程的解是2和3，

由根与系数的关系知，

解得，．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．

4．（5分）《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加　　尺．

A． B． C． D．

【分析】设该妇子织布每天增加尺，由等差数列的前项和公式能求出结果

【解答】解：设该妇子织布每天增加尺，

由题意知，

解得．

故该女子织布每天增加尺．

故选：．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的前项和公式的合理运用．

5．（5分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为　　

A． B． C． D．

【分析】利用已知条件，求出，结合离心率求出，，即可得到椭圆方程．

【解答】解：椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴的长为2，可得，

离心率等于，可得，所以，解得，

所以该椭圆的标准方程为：．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．

6．（5分）不等式成立的一个必要不充分条件是　　

A． B．， 

C．，， D．，，

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由不等式，解得或，即不等式的解集为，，，

则不等式成立的一个必要不充分条件是，，，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为　　

A． B． C． D．

【分析】先根据椭圆的方程和离心率求出的值，再取特殊点，，从而可得到两条切线方程以及切线的交点，将点的坐标代入蒙日圆的方程即可求出其半径，进而得解．

【解答】解：椭圆的离心率为，，解得．

椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，

找两个特殊点，分别为，，

对应的两条切线分别是，这两条直线的交点为，

点在蒙日圆上，，

椭圆的蒙日圆方程为．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的离心率和新定义问题，由一般能想到特殊，于是取特殊点进行作答是解题的关键，考查学生的转化思维和运算能力，属于基础题．

8．（5分）已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是　　

A． B． C． D．

【分析】本题可先将进行因式分解，再进行变形发现可以构造一个数列使问题简单化，然后通过求出数列的通项公式来求出数列的通项公式，再可以把数列的通项公式看成一个二次函数去考虑取最小值的项数．

【解答】解：由题意，可知：

，

，

等式两边同时除以，可得：

，

可设，则，

，即：．

．

数列是以为首项，1为公差的等差数列．

，．

．

可把看成关于的二次函数，则根据二次函数的性质，可知：

当或时，可能取最小值．

当时，，

当时，．

当时，取得最小值．

故选：．

【点评】本题主要考查数列的转化及构造新数列的思想，以及二次函数去判断数列取最值的问题，本题是一道较好的中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（5分）下列函数中，能取到最小值2的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】对于没有最小值，对于根据基本不等式即可求出最小值为2．

【解答】解：对于，没有最小值，故错误；

对于，，当且仅当时取等号，故正确；

对于，，，，，没有最小值，故错误；

对于，且仅当时取等号，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断，属于基础题．

10．（5分）下列说法中，正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若且，则 D．若且，则

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．

【解答】解：．若，则，时取等号，因此不正确；

．若，则，正确；

．且，则，因此，正确；

．若且，则，不正确，例如，．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11．（5分）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有　　

A．若，则， 

B．若，则使的最大的为15 

C．若，，则中最大 

D．若，则

【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可．

【解答】解：根据题意，依次分析4个式子：

对于，若，则，则，即，

首项为正数，

，，故正确；

对于，若，则，即，由于，则，，

则有，，故使的最大的为15，故正确；

对于，若，，则，，则有，，则中最大；故错误；

对于，若，即，由于，则，故正确；

故选：．

【点评】本题考查等差数列的求和公式以及数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．

12．（5分）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为　　

A． B． C． D．

【分析】由已知和椭圆定义可得，与的关系，然后再利用焦半径范围即可求出离心率的范围，进而可以求解．

【解答】解：设椭圆的焦距为，由椭圆定义可得，又，

解得，，由题意可得：，

即，解得，又，

所以椭圆的离心率范围为，符合范围的答案为，

故选：．

【点评】本题考查了椭圆定义以及离心率问题，涉及到焦半径问题，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若“，”为真命题，则实数的取值范围是　　．

【分析】由全称命题“，”为真命题，可得恒成立，即函数的图象是开口方向朝上且与轴无交点，即方程无实数根，即△，解不等式可得答案．

【解答】解：若全称命题“，”为真命题，

即恒成立

函数的图象是开口方向朝上的抛物线

故函数图象与轴无交点

即方程无实数根

即△

解得

故答案为：

【点评】本题考查的知识点是全称命题的真假判断，二次函数的图象和性质，其中将已知条件转化为方程无实数根，即△，是解答本题的关键．

14．（5分）若正实数，满足，则的最小值是　9　．

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由正实数，满足可得，

则，

当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9．

故答案为：9

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题

15．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为8，则　　．

【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解即可．

【解答】解：由题意，设，，

可得，，，，

可得，即，

，即，则．

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

16．（5分）已知是数列的前项和，满足，则　　；数列的前项和　　．

【分析】利用已知条件通过求解数列的通项公式，求得，利用裂项消项法求解数列的和即可．

【解答】解：，时，，（符合首项），

故；

数列，

故的前项和

．

．

【点评】本题考查数列的的通项公式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知，，．

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据集合的基本运算，求．

（2）利用”是“”的充分不必要条件，即，确定条件关系，即可求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由，等价于，解得，

即，

，，

当时，，

此时，

（2）因为是的充分不必要条件，所以，

所以，解得，

故的取值范围为，．

【点评】本题主要考查不等式的解法以及集合的基本运算，充分条件和必要条件的应用．综合性较强．

18．（12分）在等差数列中，，再从条件①、条件②设数列的前项和为，这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【分析】（1）直接利用已知条件的应用求出数列的通项公式；

（2）利用分组法的应用求出数列的和．

【解答】解：选①

（1）设数列公差为

，

，即．

．

选②（1）设数列公差为

因为，

，

，，

．

（2）由题得数列是以3为首项，1为公差的等差数列，数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

故：．

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

19．（12分）已知椭圆的的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，求中点的坐标和长度．

【分析】（1）由题意设出椭圆方程并求得，由椭圆定义求得，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；

（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得的中点坐标，再由弦长公式求弦长．

【解答】解：（1）由于椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为，

由椭圆定义知，，

，则，

所求椭圆标准方程为；

（2）设直线与椭圆的交点为，，，，

联立方程，得．

得，．

设的中点坐标为，，则，，

的中点坐标为．

由弦长公式可得：．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

20．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若存在，使得成立，求实数取值范围．

【分析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解，

（2）问题转化成立，利用换元法后结合二次函数的性质可求．

【解答】解：（1），

因为，所以，

（当且仅当即时取等号），

所以，即函数的最小值为6，此时，

（2）存在，使得成立，

所以，

即，则，

解得．

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化，体现了转化思想的应用．

21．（12分）已知等差数列满足公差，且，，数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明数列为等比数列；

（3）若，恒成立，求实数的最大值．

【分析】（1）利用已知条件求出数列的思想与公差，然后求解数列的通项公式．

（2）利用已知条件，结合等比数列的定义，推出是以1为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式．

（3）化简．利用错位相减法，求解数列的和，然后求解不等式，推出结果即可．

【解答】解：（1）由题意可知，，．

又，，，，，

故数列的通项公式为．

（2）证明：对于数列，当时，，解得．

当时，，，

两式相减，得，即，

当时，解得

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．

（3）由（2）可得．

令，

则，

两式相减，得

，

得，

故题中不等式可化为，

，，

因为数列是递增数列，所以，

综上，实数的最大值为2．

【点评】本题考查数列的递推关系式，等差数列的通项公式以及等比数列的定义，数列求和，不等式的解法，是中档题．

22．（12分）已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于、两点且不过原点．

（1）求椭圆方程；

（2）若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标；

（3）若直线、、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

【分析】（1）通过离心率以及，转化求解，，得到椭圆方程．

（2）设直线方程为设，、，，联立方程组，可得，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，得到直线系方程，然后求解定点坐标．

（3）利用（2）的结论，通过直线、、的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，利用弦长公式以及点到直线的距离，求解三角形的面积，推出范围即可．

【解答】解：（1）由已知得，，解得，，

所以椭圆标准方程为．

（2）设直线方程为，

设，、，，

联立方程组，可得，

，，由得，

所以，即，

化简得，，化简得，

，

所以或（舍去），

所以直线过定点．

直线方程为：，

当直线斜率不存在时也符合题意．

（3）由（2）知△且，，

，

因为直线、、的斜率依次成等比数列，所以，

即，又，所以，．

由于直线的斜率存在且不为0及△，得且．

设为点到直线的距离，

则

，

所以的取值范围为．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．

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日期：2021/2/23 14:38:37；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394